Giải bài tập SGK Toán 11 Chương 5 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{x-1}{5x-2}\)

b) \(y =\frac{2x+3}{7-3x}\)

c) \(y =\frac{x^{2}+2x+3}{3-4x}\)

d) \(y =\frac{x^{2}+7x+3}{x^{2}-3x}\)

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của 1 thương \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\) và bảng đạo hàm cơ bản

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\begin{array}{l}
y' = \frac{{\left( {x - 1} \right)'.\left( {5x - 2} \right) - \left( {x - 1} \right).\left( {5x - 2} \right)'}}{{{{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}\\
 = \frac{{5x - 2 - \left( {x - 1} \right).5}}{{{{\left( {5x - 2} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}
\end{array}\)

Câu b

 \(\begin{array}{l}
y' = \frac{{\left( {2x + 3} \right)'.\left( {7 - 3x} \right) - \left( {2x + 3} \right).\left( {7 - 3x} \right)'}}{{{{\left( {7 - 3x} \right)}^2}}}\\
 = \frac{{2\left( {7 - 3x} \right) - \left( {2x + 3} \right).\left( { - 3} \right)}}{{{{\left( {7 - 3x} \right)}^2}}} = \frac{{23}}{{{{\left( {7 - 3x} \right)}^2}}}
\end{array}\)

Câu c

 \(\begin{array}{l}
y' = \frac{{\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)'.\left( {3 - 4x} \right) - \left( {{x^2} + 2x + 3} \right).\left( {3 - 4x} \right)'}}{{{{\left( {3 - 4x} \right)}^2}}}\\
 = \frac{{\left( {2x + 2} \right).\left( {3 - 4x} \right) - \left( {{x^2} + 2x + 3} \right).\left( { - 4} \right)}}{{{{\left( {3 - 4x} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2\left( {2{x^2} - 3x - 9} \right)}}{{{{\left( {3 - 4x} \right)}^2}}}
\end{array}\)

Câu d

\(\begin{array}{l}
y' = \frac{{\left( {{x^2} + 7x + 3} \right)'.\left( {{x^2} - 3x} \right) - \left( {{x^2} + 7x + 3} \right).\left( {{x^2} - 3x} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} - 3x} \right)}^2}}}\\
 = \frac{{\left( {2x - 7} \right).\left( {{x^2} - 3x} \right) - \left( {{x^2} + 7x + 3} \right).\left( {2x - 3} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 3x} \right)}^2}}} = \frac{{ - 10{x^2} - 6x + 9}}{{{{\left( {{x^2} - 3x} \right)}^2}}}
\end{array}\)

Giải các bất phương trình sau:

a) \(y'<0\) với \(y = \frac{x^{2}+x+2}{x-1}\)

b) \(y'\geq 0\) với  \(y =\frac{x^{2}+3}{x+1}\)

c) \(y'>0\) với  \(y =\frac{2x-1}{x^{2}+x+4}\)

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc đạo hàm của 1 thương và bảng đạo hàm các hàm số cơ bản, tính đạo hàm của các hàm số và giải bất phương trình.

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có \(y = \frac{x^{2}+x+2}{x-1}\)

 \(y' = \frac{{\left( {{x^2} + x + 2} \right)'.\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + x + 2} \right).\left( {x - 1} \right)'}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Do đó, y'<0 ⇔ \(\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)<0 ⇔ x≠1 và x2 -2x -3 <0

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 1 < x < 3\\
x \ne 1
\end{array} \right.\)

Vậy bất phương trình có nghiệm \(x\in (-1;1)\cup (1;3)\)

Câu b

Ta có \(y =\frac{x^{2}+3}{x+1}\)

\(y' = \frac{{\left( {{x^2} + 3} \right)'.\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 3} \right).\left( {x + 1} \right)'}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

Do đó, y'≥0 ⇔ \(\frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) ≥0

⇔ x≠ -1 và x² +2x -3 ≥ 0

⇔ x≠ -1 và x ≥ 1 hoặc x ≤ -3

⇔ x ≥ 1 hoặc x ≤ -3

⇔ \(x\in (-\infty ;-3]\cup [1;+\infty )\).

Vậy bất phương trình có nghiệm: \(x\in (-\infty ;-3]\cup [1;+\infty )\)

Câu c

Ta có \(y =\frac{2x-1}{x^{2}+x+4}\)

\(y'=\frac{(2x-1)'.(x^{2}+x+4)-(2x-1).(x^{2}+x+4)'}{(x^{2}+x+4)^2}\)

\(=\frac{-2x^{2}+2x+9}{(x^{2}+x+4)}\)

Do đó, y'>0

⇔ \(\frac{{ - 2{x^2} + 2x + 9}}{{\left( {{x^2} + x + 4} \right)}} > 0\) ⇔ -2x2 +2x +9>0 ⇔  2x2 -2x -9 <0

⇔ \(\frac{{1 - \sqrt {19} }}{2} < x < \frac{{1 + \sqrt {19} }}{2}\)

⇔ \(x\in \left ( \frac{1-\sqrt{19}}{2};\frac{1+\sqrt{19}}{2} \right )\) 

Vậy bất phương trình có nghiệm \(x\in \left ( \frac{1-\sqrt{19}}{2};\frac{1+\sqrt{19}}{2} \right )\).

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = 5sinx -3cosx\)

b) \(y=\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}\)

c) \(y = x cotx\)

d) \(y =\frac{sinx}{x}\) + \(\frac{x}{{\sin x}}\)

e) \(y = \sqrt{(1 +2tan x)}\)

f) \(y = sin\sqrt{(1 +x^2})\)

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức tính đạo hàm của các hàm lượng giác:

\(\begin{array}{l}
\left( {\sin x} \right)' = \cos x,\,\,\left( {\cos x} \right)' = - \sin x,\\
\left( {\tan x} \right)' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}},\,\,\left( {\cot x} \right)' = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}
\end{array}\)

Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của 1 tích, 1 thương và quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp.

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có: \(y' = (5sinx-3cosx)'=(5sinx)'-(3cosx)'= 5cosx + 3sinx\)

Câu b

Ta có: \(y' = \frac{{\left( {\sin x + \cos x} \right)'.\left( {\sin x - \cos x} \right) - \left( {\sin x + \cos x} \right).\left( {\sin x - \cos x} \right)'}}{{{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}}\) 

\(=\frac{(cos x-sin x)(sin x -cos x)-(sin x+ cos x)(cosx+sinx)}{(sin x-cosx )^{2}}\) 

\(=\frac{-2}{(sin x-cos x)^{2}}=\frac{-2}{1-sin2x}\).

Câu c

Ta có

\(y'=(xcotx)'=x'.cotx+x.(cotx)'=cotx-\frac{x}{sin^2x}.\)

Câu d

Ta có

 \(y'=\left ( \frac{sinx}{x}+\frac{x}{sinx} \right )= \left ( \frac{sinx}{x} \right )+\left ( \frac{x}{sinx} \right )\)

\(=\frac{xcosx-sinx}{x^2}+\frac{sinx-xcosx}{sin^2x}= (x. cosx -sinx)\left ( \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{sin^{2}x} \right )\)

Câu e

\(y'=(\sqrt{1+2tanx})'=\frac{(1+2tanx)'}{2\sqrt{1+2tanx}} =\frac{2}{cos^2x}.\frac{1}{2\sqrt{1+2tanx}}= \frac{1+tan^2x}{\sqrt{1+2tanx}}\)

Câu f

\(y'=(sin\sqrt{1+x^2})'=(\sqrt{1+x^2})'.cos\sqrt{1+x^2}\)

\(=\frac{(1+x^2)}{2\sqrt{1+x^2}}.cos\sqrt{1+x^2}= \frac{x.cos\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}\)

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = (9 -2x)(2x^3- 9x^2 +1)\)

b) \(y=\left ( 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right )(7x -3)\)

c) \(y = (x -2)\sqrt{(x^2 +1)}\)

d) \(y = tan^2x +cotx^2\)

e) \(y = cos \frac{x}{1+x}\)

Phương pháp giải

Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của tích, thương, quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp và bảng đạo hàm cơ bản.

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có

\(y'=\left [ (9-2x)(2x^3-9x^2+1) \right ]'\)

\(= (9-2x)'(2x^3-9x^2+1)+(9-2x)(2x^3-9x^2+1)'\)

\(=-2(2x^3-9x^2+1)+(9-2x)(6x^2-18x)\)

\(=-16x^3+108x^2-162x-2\)

Câu b

\(y'=\left [ \left ( 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right ).(7x -3) \right ]'\)

 = \(=\left ( 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right )'(7x -3)+ \left ( 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right )(7x -3)'\)

\(=\left ( \frac{3}{\sqrt{x}} +\frac{2}{x^{3}}\right )(7x -3) +7\left ( 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right )\)

\(=-\frac{6}{x^3}+\frac{7}{x^2}-\frac{9}{\sqrt{x}}+63\sqrt{x}\)

Câu c

\(y' = (x -2)'\sqrt{(x^2 +1) }+ (x -2)(\sqrt{x^2 +1})'\)

\(= \sqrt{(x^2 +1) }+ (x -2).\frac{(x^2+1)'}{2\sqrt{x^2+1}}\)

\(=\sqrt{x^2+1}+\frac{x(x-2)}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{2x^{2}-2x+1}{\sqrt{x^{2}+1}}\).

Câu d

Ta có \(y'=(tan^2x-cotx^2)'=(tan^2x)'-(cotx^2)'\)

\(=2tanx.(tanx)'+\frac{(x^2)'}{sin^2(x^2)}= \frac{2tanx}{cos^2x}+\frac{2x}{sin^2(x^2)}.\)

Câu e

\(\begin{array}{l} y' = \left( {cos\frac{x}{{1 + x}}} \right) = - \left( {\frac{x}{{1 + x}}} \right)'.sin\frac{x}{{1 + x}}\\ = - \frac{{(1 + x) - x}}{{{{(1 + x)}^2}}}.sin\frac{x}{{1 + x}} = - \frac{1}{{{{(1 + x)}^2}}}.sin\frac{x}{{1 + x}}. \end{array}\)

Tính \(\frac{{f'\left( 1 \right)}}{{\varphi '\left( 1 \right)}}\), biết rằng \(f(x) = x^2\) và \(\varphi (x) = 4x +sin\)\(\frac{{\pi x}}{2}\)

Phương pháp giải

Tính đạo hàm tại 1 của hai hàm số \(f(x)\) và \(\varphi \left( x \right)\) sau đó tính tỉ số.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = {x^2}\\
\Rightarrow f'\left( x \right) = \left( {{x^2}} \right)' = 2x\\
\Rightarrow f'\left( 1 \right) = 2.1 = 2\\
\varphi \left( x \right) = 4x + \sin \dfrac{{\pi x}}{2}\\
\Rightarrow \varphi '\left( x \right) = \left( {4x + \sin \dfrac{{\pi x}}{2}} \right)'\\
= \left( {4x} \right)' + \left( {\sin \dfrac{{\pi x}}{2}} \right)'\\
= 4 + \left( {\dfrac{{\pi x}}{2}} \right)'\cos \dfrac{{\pi x}}{2}\\
= 4 + \dfrac{\pi }{2}\cos \dfrac{{\pi x}}{2}\\
\Rightarrow \varphi '\left( 1 \right) = 4 + \dfrac{\pi }{2}\cos \dfrac{{\pi .1}}{2}\\
= 4 + \dfrac{\pi }{2}.0\\
= 4\\
\Rightarrow \dfrac{{f'\left( 1 \right)}}{{\varphi '\left( 1 \right)}} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}
\end{array}\)

Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:

a) \(sin^6x + cos^6x + 3sin^2x.cos^2x\)

b) \(cos^2\)\(\left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\) \(+\) \(cos^2\)\(\left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\) \(+\)  \(cos^2\)\(\left( {\frac{2\pi }{3} - x} \right)\)  \(+\) \(cos^2\) \(\left( {\frac{2\pi }{3} + x} \right)\) \(-2sin^2x\)

Phương pháp giải

a) Tính đạo hàm của các hàm số đã cho và rút gọn.

b) Sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích: \(\sin x - \sin y = 2\cos \dfrac{{x + y}}{2}\sin \dfrac{{x - y}}{2}\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(y=sin^6x+cos^6x+3sin^2xcos^2x\)

\(y'=6cosxsin^5x-6sinxcos^5x+3(2sinxcosxcos^2x-2sin^2xcosxsinx)\)

\(=6cosxsin^5x-6sinxcox^5x+6sinxcos^3x-6cosxsin^3x\)

\(=3sin^4xsin2x-3cos^4xsin2x+3sin2xcos^2x-3sin2xsin^2x\)

\(=3sin2x(sin^4x-cos^4x)+3sin2x(cos^2x-sin^2x)\)

\(=3sin2x(sin^2x-cos^2x)(sin^2x+cos^2x)-3sin2x(sin^2x-cos^2x)\)

\(=3sin2x(sin^2x-cos^2x)-3sin2x(sin^2x-cos^2x)=0\)

Vậy y'=0 với mọi x hay y' không phụ thuộc x

Câu b

\(y = {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} - 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} - 2x} \right)} \over 2} \)

\(+ {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} - 2{\sin ^2}x\)

\( = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)\) \( - 2.\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}\)

\( = 1 + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)\) \( + \cos 2x\)

Do đó \(y' = \dfrac{1}{2}.\left( { - 2} \right).\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - 2x} \right)} \right]\) \( + \dfrac{1}{2}.2.\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)} \right]\) \( + \dfrac{1}{2}.\left( { - 2} \right).\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)} \right]\) \( + \dfrac{1}{2}.2.\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)} \right]\) \( - 2\sin 2x\)

\(=\sin \left ( \dfrac{2\pi }{3}-2x \right ) - \sin \left ( \dfrac{2\pi }{3}+2x \right )+ \sin \left ( \dfrac{4\pi }{3}-2x \right )\) \(- \sin \left ( \dfrac{4\pi }{3}+2x \right )- 2\sin 2x \)

\(= 2\cos \dfrac{2\pi }{3}.\sin(-2x) + 2\cos \dfrac{4\pi }{3}. \sin (-2x) - 2\sin 2x \)

\(= \sin 2x + \sin 2x - 2\sin 2x = 0\),

(Vì \(\cos \dfrac{2\pi }{3}\) = \(\cos \dfrac{4\pi }{3}\) = \( -\dfrac{1}{2}\).)

Vậy \(y' = 0\) với mọi \(x\), do đó \(y'\) không phụ thuộc vào \(x\).

Giải phương trình \(f'(x) = 0\), biết rằng:

a) \(f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x\)

b) \(f(x) = 1 - sin(\pi + x) + 2cos \left ( \frac{2\pi +x}{2} \right )\)

Phương pháp giải

a) Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm, tính đạo hàm của hàm số, sau đó giải phương trình lượng giác.

Phương pháp giải phương trình dạng \(a\sin x + b\cos x = c\): Chia cả 2 vế cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

b) Sử dụng mối liên hệ của các góc phụ nhau, bù nhau, hơn kém nhau \(\pi\), hơn kém nhau \(\dfrac{\pi }{2}\) và giải phương trình lượng giác cơ bản

Hướng dẫn giải

Câu a 

\(f'(x) = - 3\sin x + 4\cos x + 5\). Do đó

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow - 3\sin x + 4\cos x + 5 = 0\)

\(\Leftrightarrow3 \sin x - 4\cos x = 5\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{3}{5}\sin x -  \dfrac{4}{5}\ cos x = 1\).    (1)

Đặt \(\cos φ =  \dfrac{3}{5}\), \(\left(φ ∈ \left ( 0;\dfrac{\pi }{2} \right )\right ) \Rightarrow \sin φ =  \dfrac{4}{5}\), ta có:

(1)   \(\Leftrightarrow \sin x.\cos φ - \cos x.\sin φ = 1   \Leftrightarrow \sin(x - φ) = 1\)

\(\Leftrightarrow x - φ =  \dfrac{\pi }{2} + k2π   \Leftrightarrow x = φ + \dfrac{\pi }{2} + k2π, k ∈ \mathbb Z\)

Câu b

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = \left( 1 \right)' - \left[ {\sin \left( {\pi + x} \right)} \right]' + 2\left[ {\cos \left( {\pi + \dfrac{x}{2}} \right)} \right]'\\
= - \left( {\pi + x} \right)'\cos \left( {\pi + x} \right) + 2\left( {\pi + \dfrac{x}{2}} \right)'.\left[ { - \sin \left( {\pi + \dfrac{x}{2}} \right)} \right]\\
= - \cos \left( {\pi + x} \right) + 2.\dfrac{1}{2}.\left[ { - \sin \left( {\pi + \dfrac{x}{2}} \right)} \right]
\end{array}\)

\(f'(x) = - \cos(π + x) - \sin \left (\pi + \dfrac{x}{2} \right ) = \cos x + \sin  \dfrac{x }{2}\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos x +  \sin \dfrac{x }{2} = 0 \Leftrightarrow \sin \dfrac{x }{2} = - cosx\)

\(\Leftrightarrow sin \dfrac{x }{2} = sin \left (x-\dfrac{\pi}{2}\right )\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\dfrac{x}{2} = x - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\
\dfrac{x}{2} = \pi - x + \dfrac{\pi }{2} + k2\pi 
\end{array} \right.
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- \frac{x}{2} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
\frac{{3x}}{2} = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \pi - k4\pi \\
x = \pi + \frac{{k4\pi }}{3}
\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow x = \pi + \frac{{k4\pi }}{3}\)

Giải bất phương trình \(f'(x) > g'(x)\), biết rằng:

a) \(f(x) = x^3 + x - \sqrt{2}, g(x) = 3x^2 + x + \sqrt{2}\)

b) \(f(x) = 2x^3 - x^2 + \sqrt{3}, g(x) = x^3 +\frac{x^{2}}{2}-\sqrt{3}\)

Phương pháp giải

Tính đạo hàm f'(x), g'(x).

Giải bất phương trình f'(x)>g'(x).

Để giải bài tập này các em cần ôn lại các phương pháp giải bất phương trình đã học ở lớp 10.

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có: \(f'(x)=3x^2+1; g'(x)=6x+1.\)

\(\Rightarrow f'(x)>g'(x)\Leftrightarrow 3x^2+1>6x+1\)

\(\Leftrightarrow 3x^2-6x>0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x>2\\ x<0 \end{matrix}\)

Câu b

Ta có \(f'(x)=6x^2-2x; g'(x)=3x^2+x\)

\(\Rightarrow f'(x)>g'(x)\Leftrightarrow 6x^2-2x>3x^2+x\)

\(\Leftrightarrow 3x^2-3x>0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x>1\\ x<0 \end{matrix}\)