Giải bài tập SGK Toán 11 Ôn tập chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

Hãy nêu những cách xác định mặt phẳng, kí hiệu mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Xem lại lý thuyết bài Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng.

Hướng dẫn giải:

Có 3 cách xác định mặt phẳng

– Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Kí hiệu: mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C là (ABC).

– Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.

Kí hiệu: mặt phẳng đi qua đường thẳng d và điểm A (không thuộc d) là (A,d).

– Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Kí hiệu: mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau a và b là (a, b).

Ngoài ra, từ định nghĩa của hai đường thẳng song song trong không gian ta còn có cách xác định:

– Hai đường thẳng song song xác định một mặt phẳng. Kí hiệu: mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song a và b là (a, b).

Thế nào là đường thẳng song song với đường thẳng? Đường thẳng song song với mặt phẳng? Mặt phẳng song song với mặt phẳng?

Phương pháp giải:

Xem lại lý thuyết bài 2, 3, 4.

Hướng dẫn giải:

- Đường thẳng song song với đường thẳng nếu chúng không có điểm chung và chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.

- Đường thẳng song song với mặt phẳng nếu chúng không có điểm chung.

- Mặt phẳng song song với mặt phẳng nếu chúng không có điểm chung.

Nêu phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Phương pháp giải:

Xem lại lý thuyết bài 1.

Hướng dẫn giải:

Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt.

Tức là chứng minh ba điểm này cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng.

Nêu phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy.

Phương pháp giải:

Xem lại lý thuyết bài 2.

Hướng dẫn giải:

Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ta chứng minh:

- Ba đường thẳng ấy không đồng phẳng và đôi một cắt nhau.

- Ba đường thẳng ấy là các giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau và chúng không song song.

Nêu phương pháp chứng minh.

- Đường thẳng song song với đường thẳng;

- Đường thẳng song song với mặt phẳng;

- Mặt phẳng song song với mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Xem lại lý thuyết bài 2, 3, 4.

Hướng dẫn giải:

- Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng:

Để chứng minh hai đường thẳng song song, ta sử dụng các định lí:

+ Ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng qui hoặc đôi một song song với nhau.

+ Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

+ Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

+ Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (β) chứa d và cắt (α) theo giao tuyến d’ thì d’ song song với d.

+ Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

+ Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho hai giao tuyến song song.

+ Sử dụng các phương pháp của hình học phẳng. Tính chất đường trung bình, định lí Ta-lét đảo, cạnh đối hình bình hành…

+ Sử dụng tính chất về cạnh bên, cạnh đáy của hình lăng trụ.

- Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng:

+ Chứng minh d song song với đường thẳng d’ nằm trong (α) và d không thuộc (α).

+ Có hai mặt phẳng song song, bất kì đường nào nằm trong hai mặt phẳng này cũng song song với mặt phẳng kia.

- Chứng minh mặt phẳng song song với mặt phẳng:

+ Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với mặt phẳng kia.

+ Chứng minh hai mặt phẳng đó cùng song song với mặt phẳng thứ ba.

Phát biểu định lí Ta - lét trong không gian.

Phương pháp giải:

Xem lại lý thuyết bài 4.

Hướng dẫn giải:

Định lí Ta - lét trong không gian:

- Định lí thuận (Định lí Ta - lét): Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

- Định lí đảo (Định lí Ta - lét đảo): Giả sử trên hai đường thẳng a và a' lần lượt lấy hai bộ ba điểm (A, B, C) và (A', B', C') sao cho \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{CA}}{{C'A'}}\). Khi đó ba đường thẳng AA', BB', CC' cùng song song với một mặt phẳng, nghĩa là ba đường thẳng đó nằm trên ba mặt phẳng song song với nhau.

Nêu cách xác định thiết diện được tạo bởi một mặt phẳng với một hình chóp, hình hộp, hình lăng trụ.

Phương pháp giải:

Xem lại lý thuyết bài 4.

Hướng dẫn giải:

Để dựng thiết diện tạo bởi một mặt phẳng với hình chóp, hình hộp, hình lăng trụ, ta phải xác định các giao tuyến của mặt phẳng ấy với các mặt của hình chóp, hình hộp, hình lăng trụ.

- Trước hết, ta cũng cần tìm giao điểm của các cạnh của hình chóp, hình hộp, hình lăng trụ.

- Các đoạn thẳng nối các giao điểm ấy chính là các cạnh của thiết diện.

- Ngoài ra, cần sử dụng các kiến thức về quan hệ song song để giúp cho việc xác định các giao tuyến được chính xác và nhanh gọn.

Cho hai hình thang ABCD và ABEF có chung đáy lớn AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau: (AEC) và (BFD), (BCE) và (ADF).

b) Lấy điểm M thuộc đoạn DF. Tìm giao điểm của đường thẳng AM với mặt phẳng (BCE).

c) Chứng minh hai đường thẳng AC và BF không cắt nhau.

Phương pháp giải:

a) Tìm hai điểm chung của các mặt phẳng sau: (AEC) và (BFD), (BCE) và (ADF).

b) Tìm một đường thẳng trong (BCE) cắt được AM.

→ Giao điểm cần tìm chính là giao điểm của AM và đường thẳng đó.

c) Sử dụng phương pháp phản chứng: Giả sử AC và BF đồng phẳng.

→ Điều mâu thuẫn với giả thiết.

Hướng dẫn giải:

a) Trong (ABCD), gọi I là giao điểm của AC và BD, ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l} I \in AC \subset \left( {AEC} \right)\\ I \in BD \subset \left( {BFD} \right) \end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {AEC} \right) \cap \left( {BFD} \right)\).

Trong (ABEF), gọi J là giao điểm của AE và BF, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} J \in AE \subset \left( {AEC} \right)\\ J \in BF \subset \left( {BFD} \right) \end{array} \right. \Rightarrow J \in \left( {AEC} \right) \cap \left( {BFD} \right)\).

Vậy \(\left( {AEC} \right) \cap \left( {BFD} \right)=IJ\).

Trong (ABCD), gọi G là giao điểm của AD và BC, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} G \in AD \subset \left( {ADF} \right)\\ G \in BC \subset \left( {BCE} \right) \end{array} \right. \Rightarrow G \in \left( {ADF} \right) \cap \left( {BCE} \right)\).

Trong (ABEF), gọi H là giao điểm của AF và BE, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} H \in AF \subset \left( {ADF} \right)\\ H \in BE \subset \left( {BCE} \right) \end{array} \right. \Rightarrow H \in \left( {ADF} \right) \cap \left( {BCE} \right)\).

Vậy \(\left( {ADF} \right) \cap \left( {BCE} \right)=GH\).

b) Trong (AGH), gọi N là giao điểm của AM và GH, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} N \in AM\\ N \in GH \subset \left( {BGH} \right) \equiv \left( {BCE} \right) \end{array} \right. \Rightarrow N = AM \cap \left( {BCE} \right)\).

c) Giả sử AC và BF cùng nằm trong một mặt phẳng.

Khi đó \(BF \subset \left( {ABCD} \right)\).

Suy ra \(\left( {ABCD} \right) \equiv \left( {ABEF} \right)\) (mẫu thuẫn với giả thiết).

Vậy AC và BF không cắt nhau.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của đoạn thẳng SA, BC, CD. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD, hãy tìm giao điểm của đường thẳng SO với mặt phẳng (MNP).

Phương pháp giải:

- Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt của hình chóp.

→ Thiết diện cần tìm là hình tạo bởi các giao tuyến.

- Tìm một đường thẳng trong (MNP) cắt được SO.

→ Giao điểm cần tìm chính là giao điểm của SO và đường thẳng đó.

Hướng dẫn giải:

* Tìm thiết diện của (MNP) với hình chóp:

Trong (ABCD), gọi F = AD ∩ PN và E = AB ∩ PN.

Trong (SAD), gọi Q = MF ∩ SD.

Trong (SAB), gọi R = ME ∩ SB.

Nối PQ, NR ta được các đoạn giao tuyến của (MNP) với các mặt bên và mặt đáy của hình chóp là MQ, QP, PN, NR, RM

Vậy thiết diện cắt bởi mặt phẳng (MNP) là ngũ giác MQPNR.

* Tìm giao điểm của SO với (MNP):

Gọi H là giao điểm của AC và PN .

Trong (SAC), SO ∩ MH = I, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} I \in SO\\ I \in MH \subset \left( {MNP} \right) \end{array} \right.\)

Vậy I = SO ∩ (MNP).

Cho hình chóp đỉnh S có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN)

c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN)

Phương pháp giải:

a) Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

b) Tìm giao tuyến của (SAD) với (AMN).

→ Giao điểm cần tìm chính là giao điểm của SD và giao tuyến đó.

c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (AMN) với các mặt của hình chóp S.ABCD.

→ Thiết diện cần tìm là hình tạo bởi các giao tuyến đó.

Hướng dẫn giải:

a) Trong (ABCD), gọi E là giao điểm của AD và BC, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} E \in AD \subset \left( {SAD} \right)\\ E \in BC \subset \left( {SBC} \right) \end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right).\)

Mà \(S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right).\)

Vậy \(SE=\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right).\)

b) Trong (SBE), gọi F = MN ∩ SE, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {F \in SE \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow F \in \left( {SAD} \right)}\\ {F \in MN \subset \left( {AMN} \right) \Rightarrow F \in \left( {AMN} \right)} \end{array}} \right.\) ⇒ F ∈ (SAD) ∩ (AMN).

⇒ AF = (SAD) ∩ (AMN).

Trong (SAD), gọi AF ∩ SD = P.

⇒ P = SD ∩ (AMN).

c) Ta có:

(AMN) ∩ (SAB) = AM.

(AMN) ∩ (SBC) = MN.

(AMN) ∩ (SCD) = NP.

(AMN) ∩ (SAD) = PA.

⇒ Thiết diện cần tìm là tứ giác AMNP.

Cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn nửa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt ở cùng phía đối với mặt phẳng (ABCD), song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (β) lần lượt cắt Ax, By, Cz và Dt tại A’, B’, C’ và D’.

a) Chứng minh: mặt phẳng (Ax, By) song song với mặt phẳng (Cz, Dt).

b) Gọi I = AC ∩ BD, J = A’C’ ∩ B’D’. Chứng minh: IJ song song với AA’.

c) Cho AA’ = a, BB’ = b, CC’ = c. Hãy tính DD’.

Phương pháp giải:

a) Chứng minh trong (Ax, By) có hai đường thẳng song song với mặt phẳng (Cz, Dt).

b) Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành.

→ IJ là đường trung bình của hình thang AA’C’C.

c) Áp dụng tính chất đường trung bình của hình thang.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

Ax // Dt (giả thiết) => Ax // (Cz, Dt) (1).

AB // CD \(\subset\) (Cz, Dt) => AB // (Cz, Dt) (2).

Từ (1) và (2) suy ra: (Ax, AB) // (Cz, Dt) hay (Ax, By) // (Cz, Dt).

b) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} \left( {A'B'C'D'} \right) \cap \left( {Ax,By} \right) = A'B'\\ \left( {A'B'C'D'} \right) \cap \left( {Cz,Dt} \right) = C'D'\\ \left( {Ax,By} \right)//\left( {Cz,Dt} \right) \end{array} \right. \Rightarrow A'B'//C'D' \ (3)\)

Chứng minh tương tự ta được A'D' // B'C' (4)

Từ (3) và (4) suy ra: tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.

Ta có: J = A’C’ ∩ B’D’ nên J là trung điểm của A’C’ (tính chất hình bình hành).

Tứ giác AA’C’C là hình thang vì AA’ // CC’ (giả thiết).

Lại có, I và J lần lượt là trung điểm của AC và A’C’ nên IJ là đường trung bình của hình thang.

=> IJ // AA’ // CC’ ( đpcm).

c) Ta có:

IJ là đường trung bình của hình thang ACC’A’ nên IJ = \(\frac{1}{2}\) (AA’ + CC’).

IJ cũng là đường trung bình của hình thang BDD’B’: IJ = \(\frac{1}{2}\) (BB’ + DD’).

Từ đây suy ra: DD’ + BB’ = AA’ + CC’.

=> DD’ = AA’ + CC’ – BB’ = a + c – b.

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:

(A) Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa;

(B) Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ 3 thì chúng song song với nhau;

(C) Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau;

(D) Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song với nhau thì chúng sẽ cắt mặt phẳng còn lại.

Phương pháp giải:

Suy luận từng đáp án.

Hướng dẫn giải:

Đáp án A đúng, nếu hai mặt phẳng có 1 điểm chung, chứng tỏ chúng cắt nhau, tập hợp các điểm chung của hai mặt phẳng chính là giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Vậy chúng có vô số điểm chung khác nữa.

Đáp án B và D hiển nhiên đúng.

Đáp án C sai, chẳng hạn trong trường hợp dưới đây: d1 // (P); d2 // (P); d1 ∩ d2.

Vậy chọn đáp án C.

Nếu ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một cắt nhau thì ba đường thẳng đó

(A) Đồng quy;

(B) Tạo thành tam giác;

(C) Trùng nhau;

(D) Cùng song song với một mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Suy luận từng đáp án.

Hướng dẫn giải:

Nếu ba đường thẳng đó tạo thành một tam giác hay trùng nhau thì chúng đồng phẳng, do đó B và C sai.

Nếu ba đường thẳng đó cùng song song với một mặt phẳng và đôi một cắt nhau thì chúng đồng phẳng, do đó D sai.

Đáp án A đúng (Xem bài tập 3 trang 53 SGK hình học 11).

Vậy chọn đáp án A.

Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của AC, BC và BD (h.2.75). Giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và (IJK) là:

(A) KD;

(B) KI;

(C) Đường thẳng qua K và song song với AB;

(D) Không có.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} AB \subset \left( {ABD} \right)\\ IJ \subset \left( {IJK} \right)\\ AB//IJ\\ K \in \left( {ABD} \right) \cap \left( {IJK} \right) \end{array} \right.\)

Suy ra giao tuyến của (ABD) và (IJK) là đường thẳng qua K và song song với AB.

Vậy chọn đáp án C.

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

(A) Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng (α) đều song song với (β);

(B) Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (α) đều song song với mọi đường thẳng nằm trong (β);

(C) Nếu hai đường thẳng song song với nhau lần lượt nằm trong hai mặt phẳng phân biệt (α) và(β) thì (α) và(β) song song với nhau;

(D) Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước đó.

Phương pháp giải:

Dựa vào phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song và đường thẳng song song với mặt phẳng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án A: đúng suy ra từ định nghĩa hai mặt phẳng song song.

Đáp án B: sai vì có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng thuộc hai mp chéo nhau.

Đáp án C: sai vì có thể hai mp đó cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đã cho (hệ quả trang 57 SGK hình học 11)

Đáp án D: sai vì ta vẽ được vô số đường thẳng, các đường thẳng này cùng nằm trong mp đi qua điểm đó và song song với mp đã cho.

Vậy chọn đáp án A.

Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC (h.2.76), E là điểm trên cạnh CD với ED = 3EC. Thiết diện tạo mặt phẳng (MNE) và tứ diện ABCD là:

(A) Tam giác MNE;

(B) Tứ giác MNEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD;

(C) Hình bình hành MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF//BC;

(D) Hình thang MNEF với F là điểm trên cạnh BD mà EF//BC.

Phương pháp giải:

Thiết diện là hình tạo bởi giao tuyến của (MNE) với các mặt của tứ diện.

Xác định hình tính của thiết diện dựa vào kiến thức hình học lớp 8.

Hướng dẫn giải:

Tam giác ABC có M, N là trung điểm của AB và AC 

=> MN là đường trung bình =>  MN // BC và MN = \(\frac{1}{2}\)BC (1).

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} BC \subset \left( {BCD} \right)\\ MN \subset \left( {MNE} \right)\\ BC//MN\\ E \in \left( {BCD} \right) \cap \left( {MNE} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left( {BCD} \right) \cap \left( {MNE} \right) = EF//BC\begin{array}{*{20}{c}} {}&{\left( {F \in BD} \right)}. \end{array}\)

Vậy thiết diện tạo mặt phẳng (MNE) và tứ diện ABCD là tứ giác MNEF.

Lại có MN // EF // BC (2) 

Áp dụng định lí TA - lét trong tam giác BCD, ta có:

\(\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{DE}}{{DC}} = \frac{3}{4} \Rightarrow EF = \frac{3}{4}BC\) (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra MNEF là hình thang.

Vậy chọn đáp án D.

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I,J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A’B’C’(h.2.77). Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AIJ) với hình lăng trụ đã cho là:

(A) Tam giác cân;

(B) Tam giác vuông;

(C) Hình thang;

(D) Hình bình hành.

Phương pháp giải:

Thiết diện là hình tạo bởi giao tuyến của (AIJ) với các mặt của lăng trụ.

Xác định hình tính của thiết diện dựa vào kiến thức hình học lớp 8.

Hướng dẫn giải:

Gọi M, M' lần lượt là trung điểm của BC, B'C'.

Ta có I, J là trọng tâm tam giác ABC, A'B'C' nên A, I, M thẳng hàng và A', J, M' thẳng hàng.

Suy ra (AA'M'M) \( \equiv \) (AIJ).

Vậy thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AIJ) với hình lăng trụ là tứ giác AA'M'M.

Lại có:

\(\left\{ \begin{array}{l} \left( {AA'M'M} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = A'M'\\ \left( {AA'M'M} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AM\\ \left( {ABC} \right)//\left( {A'B'C'} \right) \end{array} \right. \Rightarrow A'M'//AM.\)

Mặt khác: \(\Delta ABC = \Delta A'B'C' \Rightarrow AM = A'M'.\)

Nên tứ giác AA'M'M là hình bình hành.

Vậy chọn đáp án D.

Cho tứ diện S.ABC cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, M là điểm di động trên đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SIC).

Thiết diện tạo bởi (α) và tứ diện S.ABC là:

(A) Tam giác cân tại MM;

(B) Tam giác đều;

(C) Hình bình hành;

(D) Hình thoi.

Phương pháp giải:

- Xác định giao tuyến của (α) với các mặt của tứ diện S.ABC bằng cách áp dụng tính chất:

Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó.

- Áp dụng định lí Ta-let và tam giác bằng nhau → MN = MP.

Hướng dẫn giải:

Qua M kẻ MN // SI và MP // IC.

Suy ra thiết diện tạo bởi (α) và tứ diện S.ABC là tam giác MNP.

Ta có: \(\Delta SAB = \Delta CAB \Rightarrow SI = IC\).

Áp dụng định lí Ta - let trong tam giác AIC: \(\frac{{MP}}{{IC}} = \frac{{AM}}{{AI}}\).

Áp dụng định lí Ta - let trong tam giác SAI: \(\frac{{MN}}{{IS}} = \frac{{AM}}{{AI}}\).

Nên \(\frac{{MP}}{{IC}} =\frac{{MN}}{{IS}} \Rightarrow MP = MN\).

Suy ra tam giác MNP cân tại M.

Vậy chọn đáp án A.

Với giả thiết của bài tập 7, chu vi của thiết diện tính theo \(AM = x\) là:

(A) \(x\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\);

(B) \(2x\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\);

(C) \(3x\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\);

(D) Không tính được.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí Ta-let tính các cạnh của tam giác MNP.

Hướng dẫn giải:

Tam giác ABC đều có I là trung điểm AB nên CI \( \bot \) AB.

Xét tam giác AIC vuông tại I có:

IC = AC.sin \(60^o\) = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Ta có: MP // IC

\( \Rightarrow \frac{{AM}}{{AI}} = \frac{{MP}}{{IC}} \Rightarrow MP = \frac{{AM.IC}}{{AI}} = \frac{{x\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{a}{2}}} = x\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow MP=MN=x\sqrt 3 \).

Áp dụng định lí Ta-let trong tam giác SAC có:

\( \frac{{NP}}{{SC}} = \frac{{AP}}{{AC}} = \frac{{AM}}{{AI}} \Rightarrow NP = SC.\frac{{AM}}{{AI}} = a.\frac{x}{{\frac{a}{2}}} = 2x\).

Chu vi tam giác MNP là:

MN + MP + NP = \( x\sqrt 3 + x\sqrt 3 +2x=2x(1+\sqrt 3 )\).

Vậy chọn đáp án B.

Cho hình bình hành ABCD. Gọi Bx, Cy, Dz là các nửa đường thẳng song song với nhau lần lượt đi qua B, C, D và nằm về một phía của mặt phẳng (ABCD) đồng thời không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng đi qua A và cắt Bx, Cy, Dz lần lượt tại B', C', D' với BB' = 2, DD' = 4. Khi đó CC' bằng:

(A) 3;

(B) 4;

(C) 5;

(D) 6.

Phương pháp giải:

- Chứng minh AB′C′D′, AB′C′D′ là hình bình hành.

- Gọi O, O′ lần lượt là tâm của  ABCD, AB′C′D′, dựa vào tính chất đường trung bình của hình thang và của tam giác để tính độ dài CC′.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} BC//AD \Rightarrow BC//\left( {AD,Dz} \right)\\ Bx//Dz \Rightarrow Bx//\left( {AD,Dz} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left( {BC,Bx} \right)//\left( {AD,Dz} \right)\).

\(\left\{ \begin{array}{l} \left( {A'B'C'D'} \right) \cap \left( {BC;Bx} \right) = B'C'\\ \left( {A'B'C'D'} \right) \cap \left( {AD;Dz} \right) = AD'\\ \left( {BC;Bx} \right)//\left( {AD;Dz} \right) \end{array} \right. \Rightarrow AD'//B'C'.\)

Chứng minh tương tự ta có: AB' // C'D'. Do đó AB'C'D' là hình bình hành.

Gọi O, O' lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD, AB'C'D' ta có OO' là đường trung bình của hình thang BDD'B'.

Suy ra: BB' + DD' = 2OO' (1).

OO' là đường trung bình của tam giác ACC' nên CC' = 2OO' (2).

Từ (1) và (2) suy ra: BB' + DD' = CC'.

Suy ra CC' = 2 + 4 = 6.

Vậy chọn đáp án D.

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

(A) Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau;

(B) Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau;

(C) Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau;

(D) Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau.

Phương pháp giải:

Dựa vào vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt.

Hướng dẫn giải:

Đáp án A: Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì hoặc song song hoặc cắt nhau chứ không chéo nhau nên A đúng.

Đáp án B: Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì hoặc chéo nhau hoặc song song.

Đáp án C: Hai đường thẳng phân biệt không song song thì hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau.

Đáp án D: Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì hoặc chéo nhau, hoặc song song, hoặc cắt nhau.

Vậy chọn đáp án A.

Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là điểm di động trên đoạn AB. Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SBC).

Thiết diện tạo bởi (α) và hình chóp S.ABCD là hình gì?

(A) Tam giác;

(B) Hình bình hành;

(C) Hình thang;

(D) Hình vuông.

Phương pháp giải:

Xác định giao tuyến của (α) với các mặt của hình chóp S.ABCD bằng cách áp dụng tính chất:

Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

→ Thiết diện là hình tạo bởi các giao tuyến.

Xác định hình tính dựa vào kiến thức hình học lớp 8.

Hướng dẫn giải:

Trong (ABCD) qua M kẻ MN // BC.

Trong (SAB) qua M kẻ MQ // SB.

Trong (SCD) qua N kẻ NP // SC.

Từ đó ta có thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (α) là tứ giác MNPQ.

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} \left( {MNPQ} \right) \cap \left( {SAD} \right) = PQ\\ \left( {MNPQ} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\\ \left( {ABCD} \right) \cap \left( {SAD} \right) = AD \end{array} \right. \Rightarrow PQ//MN//AD.\)

Suy ra MNPQ là hình thang.

Vậy chọn đáp án C.

Với giả thiết của bài tập 11, gọi N,P,Q lần lượt là giao của mặt phẳng (α) với các đường thẳng CD,DS,SA. Tập hợp các giao điểm I của hai đường thẳng MQ và NP là:

(A) Đường thẳng;

(B) Nửa đường thẳng;

(C) Đoạn thẳng song song với AB;

(D) Tập hợp rỗng.

Phương pháp giải:

Chứng minh điểm I thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} MQ \subset \left( {SAB} \right)\\ NP \subset \left( {SCD} \right)\\ I = MQ \cap NP \end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right).\)

\(\left\{ \begin{array}{l} AB \subset \left( {SAB} \right)\\ CD \subset \left( {SCD} \right)\\ AB//CD\\ S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) \end{array} \right.\)

Suy ta giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng đi qua S và song song với AB, CD.

Do M chạy trên đọa thẳng AB nên I chạy trên đoạn thẳng song song với AB.

Vậy chọn đáp án C.