Giải bài tập SGK Toán 11 Chương 5 Bài 5: Đạo hàm cấp hai
Phần hướng dẫn giải bài tập SGK bài 5 Đạo hàm cấp hai sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng giải bài tập tính đạo hàm cấp hai của hàm số,...từ SGK Đại số và Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Mục lục nội dung
1. Giải bài 1 trang 174 SGK Đại số & Giải tích 11
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:
a) \(f(x)=(x+10)^6, f''(2)\)
b) \(f(x)=sin3x,f'(-\frac{\pi }{2}),f''(0),f''(\frac{\pi }{18})\)
Phương pháp giải
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số (đạo hàm hai lần), sau đó tính đạo hàm cấp hai tại điểm bất kì.
Hướng dẫn giải
Câu a
Ta có: \(f'(x)=((x+10)^6)'=6.(x+10)^5\)
\(f''(x)=(6(x+10)^5)'=30.(x+10)^4\)
Suy ra \(f''(2)=30.12^4\)
Câu b
Ta có: \(f'(x)=(sin3x)'=(3x)'.cos3x=3cos3x\)
\(f''(x)=(f'(x))'=(3.cos3x)'=-3.(3x)'.sin3x=-9sin3x.\)
Suy ra: \(f''(-\frac{\pi }{2})=-9.sin(3.(-\frac{\pi }{2}))=-9.sin\left ( -\frac{3\pi }{2} \right )=-9\)
\(f''(0)=-9.sin 0 =0;\)
\(f''\left ( \frac{\pi }{18} \right )=-9.sin \frac{\pi }{6}=-9.\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}\)
2. Giải bài 2 trang 174 SGK Đại số & Giải tích 11
Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) \(y=\frac{1}{1-x}\)
b) \(y=\frac{1}{\sqrt{1-x}}\)
c) \(y= tanx\)
d) \(y= cos^2x\)
Phương pháp giải
Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản, các quy tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số.
Hướng dẫn giải
Câu a
Ta có: \(y'=\left (\frac{1}{1-x} \right )'=\frac{-(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1}{(1-x)^2}.\)
\(y''=(y')'=\left ( \frac{1}{(1-x)^2} \right )'= \frac{-((1-x)^2)'}{(1-x)^4}\)
\(=\frac{-2.(1-x).(1-x)'}{(1-x)^4}=\frac{2}{(1-x)^3}.\)
Câu b
\(y=\frac{1}{\sqrt{1-x}}\Rightarrow y'=\left ( \frac{1}{\sqrt{1-x}} \right )'= \frac{-(\sqrt{1-x})'}{1-x}\)
\(=\frac{-(1-x)'}{2\sqrt{1-x}.(1-x)}=\frac{1}{2\sqrt{(1-x)^3}}.\)
\(y''=\left ( \frac{1}{2\sqrt{(1-x)^3}} \right )'= \frac{-(2\sqrt{(1-x)}^3)'}{4(1-x)^3}\)
\(=\frac{-2((1-x)^3)'}{2\sqrt{(1-x)^3}.(1-x)^3}= \frac{6.(1-x)^2}{8.\sqrt{(1-x)^8}.(1-3)^3}\)
\(=\frac{3}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-x)^5}}.\)
Câu c
Ta có: \(y=tanx\Rightarrow y'=(tanx)'=\frac{1}{cos^2x}\)
\(\Rightarrow y''=\left ( \frac{1}{cos^2x} \right )'=\frac{-(cos^2x)'}{cos^4x}= \frac{-2.cosx.(cosx)'}{cos^4x}=\frac{2sinx}{cos^3x}\)
Câu d
Ta có \(y=cos^2x\)
\(\Rightarrow y'=(cos^2x)'=-2sinx.cosx=-sin2x.\)
\(y''=(-sin2x)'=-(2x)'.cos2x=-2cos2x.\)
Tham khảo thêm
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Chương 5 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Chương 5 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Chương 5 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Chương 5 Bài 4: Vi phân
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Ôn tập chương 5: Đạo Hàm
