Giải bài tập SGK Toán 11 Chương 5 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Tìm số gia của hàm số \(f(x) = x^3\), biết rằng :

a) \(x_0 = 1; \Delta x = 1\)

b) \(x_0 = 1; \Delta x = -0,1\)

Phương pháp giải

Số gia của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là: \(\Delta f\left( x \right) = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\)

Hướng dẫn giải

Câu a

Với \(x_0 = 1; \Delta x = 1\) ta có:

\(\Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0) = f(2) - f(1) = 2^3 - 1^3 = 7.\)

Câu b

Với \(x_0 = 1; \Delta x = -0,1\) ta có:

\(\Delta y = f(0,9) - f(1) = (0,9)^3 - 1^3 = -0,271.\)

Tính \(\Delta y\) và \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) của các hàm số sau theo x và \(\Delta x\):

a) \(y = 2x - 5\)

b) \(y = x^2 - 1\)

c) \(y = 2x^3\)

d) \(y = \frac{1}{x}\)

Phương pháp giải

Sử dụng công thức: \(\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\) tính \(\Delta y\), từ đó suy ra \(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)

(Trong công thức \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\) ta coi \(x_0=x\))

Hướng dẫn giải

Câu a

Giả sử \(\Delta x\) là số gia đối số tại x.

\(\Rightarrow \Delta y = f(x+\Delta x) - f(x)\)

\(= 2(x+\Delta x) - 5 - (2x - 5) = 2\Delta x\)

 \(\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2\Delta x}{\Delta x}=2.\)

Câu b

Giả sử \(\Delta x\) là số gia đối số tại x.

Suy ra \(\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x)\)

\(= (x+ \Delta x)^{2} - 1 - (x^{2} - 1) = 2x.\Delta x + (\Delta x)^2\)

\(\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2x.\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x} = \Delta x+2x.\)

Câu c

Giả sử \(\Delta x\) là số gia đối số tại x.

Suy ra \(\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x)\)

\(=2(x+\Delta x)^3=-2x^3-6x^2.\Delta x+6x.(\Delta x)^2+2(\Delta x)^3\)

\(\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{6x^2.\Delta x+6x(\Delta x)^2+2(\Delta x)^3}{\Delta x}\)

\(=2(\Delta x)^2+6x.\Delta x+6x^2.\)

Câu d

Giả sử \(\Delta x\) là số gia đối số tại x.

Suy ra \(\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x)\)

\(=\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{2x}=\frac{-\Delta x}{x.(x+\Delta x)}.\)

\(\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{-\Delta x}{x(x+\Delta x)}.\frac{1}{\Delta x}= \frac{-1}{x(x+\Delta x)}.\)

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

a) \(y = x^2 + x\) tại \(x_0 = 1\)

b) \(y = \frac{1}{x}\) tại \(x_0 = 2\)

c) \(y =\frac{x+1}{x-1}\) tại \(x_0 = 0\)

Phương pháp giải

Bước 1: Giả sử \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0\), tính \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\).

Bước 2: Lập tỉ số \(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Bước 3: Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Kết luận \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Hướng dẫn giải

Câu a

Giả sử ∆x là số gia của số đối tại x0 = 1. Ta có:

\(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=(1+\Delta x)^2+(1+\Delta x)-2\)

\(=(\Delta x)^2+3\Delta x\)

\(\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(\Delta x)^2+3\Delta x}{\Delta x}= \Delta x+3\)

Suy ra \(y'(1)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}(\Delta x+3)=3\).

Câu b

Giả sử ∆x là số gia của số đối tại x0 = 2. Ta có:

\(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)= \frac{1}{2+\Delta x}-\frac{1}{2}=\frac{-\Delta x}{2(2+\Delta x)}\)

\(\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-1}{2(2+\Delta x)}.\)

Vậy \(y'(2)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{-1}{2(2+\Delta x)} =-\frac{1}{4}\).

Câu c

Giả sử ∆x là số gia của số đối tại x0 = 0.Ta có:

\(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)= \frac{\Delta x+1}{\Delta x-1}+1=\frac{2.\Delta x}{\Delta x-1}\)

\(\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2\Delta x}{\Delta x-1}.\frac{1}{\Delta x} =\frac{2}{\Delta x-1}\)

Vậy \(y'(0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{2}{\Delta x-1}=-2.\)

Chứng minh rằng hàm số \(f(x) = (x - 1)^2\) nếu \(x \geq 0\) và \(f(x) = -x^2\) nếu \(x < 0\)

không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) nhưng có đạo hàm tại điểm \(x = 2\)

Phương pháp giải

Điều kiện cần để hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \(x=x_0\) là hàm số liên tục tại \(x=x_0\).

Sử dụng định nghĩa chứng minh hàm số có đạo hàm tại \(x=x_0\):

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\) và \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( x_0 \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì tồn tại đạo hàm của hàm số tại \(x_0\).

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\left( {x - 1} \right)^2} = {\left( {0 - 1} \right)^2} = 1\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - {x^2}} \right) = - {0^2} = 0\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)
\end{array}\)

Do đó hàm số \(y = f(x)\) gián đoạn tại \(x = 0\).

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) (vi phạm điều kiện cần).

Xét giới hạn: 

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 1}}{{x - 2}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x = 2
\end{array}\)

Vậy hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x = 2\) và \(f'(2) = 2\).

Cho đường cong \(y = x^3.\) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong trong các trường hợp:

a) Tại điểm có tọa độ (-1;-1)

b) Tại điểm có hoành độ bằng 2

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3

Phương pháp giải

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\begin{array}{l} y = {x^3}\\ \Delta y = {(x + \Delta x)^3} - {x^3}\\ = {x^3} + 3{x^2}\Delta x + 3x{\left( {\Delta x} \right)^2} + {\left( {\Delta x} \right)^3} - {x^3}\\ = 3{x^2}\Delta x + 3x{\left( {\Delta x} \right)^2} + {\left( {\Delta x} \right)^3} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 3{x^2} + 3x\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2}\\ y'(x)= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 3{x^2} \end{array}\)

Câu a

Với \(x_0=-1\Rightarrow y'(-1)=3.\)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=x^3\) tại điểm (-1;-1) là:

\(y-y_0=y'(x_0)(x-x_0)\) hay \(y+1=3(x+1)\Leftrightarrow y=3x+2\)

Câu b

Với \(x_0=2\Rightarrow y'(2)=12\) và \(y_0=f(2)=8\)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = x^3\) tại điểm có hoành độ bằng 2 là:

\(y-y_0=y'(x_0)(x-x_0)\) hay 

\(y-8=12(x-2)\Leftrightarrow y=12x-16.\)

Câu c

Do hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3, nên 

\(f' (x_0) = 3 \Leftrightarrow 3x_0^2 = 3 \Leftrightarrow x_0^2= 1 \Leftrightarrow x_0 = \pm 1.\)

Với \(x_0 = 1 \Rightarrow y_0=1\)

Nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y-1=3(x-1)\) hay \(y=3x-2.\)

Với \(x_0 = -1 \Rightarrow y_0=-1\)

Nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y+1=3(x+1)\) hay \(y=3x+2.\)

Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol  \(y =\frac{1}{x}\):

a) Tại điểm \((\frac{1}{2} ; 2)\)

b) Tại điểm có hoành độ bằng -1

c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(- \frac{1}{4}\)

Phương pháp giải

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\)

Hướng dẫn giải

Ta có 

\(\begin{array}{l} y = \frac{1}{x}\\ \Delta y = \frac{1}{{x + \Delta x}} - \frac{1}{x} = \frac{{x - (x + \Delta x)}}{{x\left( {x + \Delta x} \right)}} = - \frac{{\Delta x}}{{{x^2} + x.\Delta x}}\\ \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = - \frac{1}{{{x^2} + x.\Delta x}}\\ y'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = - \frac{1}{{{x^2}}} \end{array}\)

Câu a

Tại \(x_0=\frac{1}{2}\Rightarrow y'(\frac{1}{2})=-4\)

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đường hypebol \(y=\frac{1}{x}\) tại điểm \(\left ( \frac{1}{2};2 \right )\) là:

\(y-2=-4(x-\frac{1}{2})\) hay \(y=-4x+4\)

Câu b

Tại \(x_0=-1\Rightarrow y_0=y(-1)=-1\) và \(y'(-1)=-1\)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường hypebol \(y=\frac{1}{x}\) tại điểm có hoành độ -1 là:

\(y-y_0=y'(x_0)(x-x_0)\)

Hay \(y+1=-1(x+1)\Leftrightarrow y=-x-2.\)

Câu c

Do hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(-\frac{1}{4}\), nên

\(-\frac{1}{x^2_0}=-\frac{1}{4}\Leftrightarrow x_0=\pm 2.\)

Với \(x_0=2\Rightarrow y_0=\frac{1}{2}.\)

Vậy phương trình tiếp tuyến là:

\(y-y_0=-\frac{1}{4}(x-x_0)\) hay \(y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x-2)\)

\(\Leftrightarrow y=-\frac{1}{4}x+1\)

Với \(x_0=-2\Rightarrow y_0=-\frac{1}{2}.\)

Vậy phương trình tiếp tuyến là:

\(y-y_0=-\frac{1}{4}(x-x_0)\) hay \(y+\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x+2)\)

\(\Leftrightarrow y=-\frac{1}{4}x-1\).

Một vật rơi tự do theo phương trình \(s=\frac{1}{2}gt^2,\) trong đó g ≈ 9,8 m/s² là gia tốc trọng trường

a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t=5s) đến t + ∆t, biết rằng ∆t = 0,1s; ∆t = 0,05s; ∆t = 0,001s

b) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5s

Phương pháp giải

Vận tốc trung bình trong khoảng thời gian \(t+ \Delta t\) là: \({v_{tb}} = \frac{{S(t + \Delta t) - S(t)}}{{\Delta t}}.\)

Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: \(s=s(t)\) tại thời điểm \(t_0\) là \(v(t_0)=s'(t_0).\)​

Hướng dẫn giải

Câu a

Khi \(\Delta t =0,1s\), vận tốc trung bình của chuyển độnh là:

 \(v_{tb}= \frac{\frac{1}{2}g(5,1^2-5^2)}{0,1}=\frac{\frac{1}{2}.9,8.0,1 10,1}{0,1}=49,49m/s\)

Khi \(\Delta t = 0,05s\), vận tốc trung bình của chuyển động là:

\(v_{tb}= \frac{\frac{1}{2}g(5,05^2-5^2)}{0,05}=49,245 m/s.\)

Khi \(\Delta t = 0,001s\), vận tốc trung bình của chuyển động là:

\(v_{th}=\frac{\frac{1}{2}g(5,001^2-5^2)}{0,001^2}=49,005m/s\) 

Câu b

Ta có: \(v_{tb}=s'(t_0)=\left ( \frac{1}{2}.g.t^2 \right )'_{t_0}=gt_0\)

Với \(t_0=5s\Rightarrow v_{t_0}=9,8.5=49 m/s\)