Giải bài tập SGK Toán 11 Ôn tập chương 5: Đạo Hàm

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x-5$

b) $y=\frac{2}{x}-\frac{4}{x^2}+\frac{5}{x^3}-\frac{6}{7x^4}$

c) $y=\frac{3x^2-6x+7}{4x}$

d) $y=\left ( \frac{2}{x}+3x \right )(\sqrt{x}-1)$

e) $y=\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}$

f) $y=\frac{-x^2+7x+5}{x^2-3x}$

Phương pháp giải

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm của tích, thương.

Hướng dẫn giải

Câu a

$\begin{array}{l} y' = \left( {\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right)' - \left( {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)' + \left( x \right)' - \left( 5 \right)'\\ = \dfrac{{3{x^2}}}{3} - \dfrac{{2x}}{2} + 1\\ = {x^2} - x + 1 \end{array}$

Câu b

$\begin{array}{l} y' = \left( {\dfrac{2}{x}} \right)' - \left( {\dfrac{4}{{{x^2}}}} \right)' + \left( {\dfrac{5}{{{x^3}}}} \right)' - \left( {\dfrac{6}{{7{x^4}}}} \right)\\ =  - \dfrac{2}{{{x^2}}} - \dfrac{{ - 4.\left( {{x^2}} \right)'}}{{{x^4}}} + \dfrac{{ - 5\left( {{x^3}} \right)'}}{{{x^6}}} - \dfrac{{ - 6\left( {{x^4}} \right)'}}{{7{x^8}}}\\ =- \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{{4.2x}}{{{x^4}}} - \dfrac{{5.3{x^2}}}{{{x^6}}} + \dfrac{{6.4{x^3}}}{{7{x^8}}}\\ = - \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{8}{{{x^3}}} - \dfrac{{15}}{{{x^4}}} + \dfrac{{24}}{{7{x^5}}}\\ \end{array}$

Câu c

$\begin{array}{l} y' = \dfrac{{\left( {3{x^2} - 6x + 7} \right)'.4x - \left( {3{x^2} - 6x + 7} \right).\left( {4x} \right)'}}{{{{\left( {4x} \right)}^2}}}\\= \dfrac{{\left( {6x - 6} \right).4x - 4\left( {3{x^2} - 6x + 7} \right)}}{{16{x^2}}}\\  = \dfrac{{24{x^2} - 24x - 12{x^2} + 24x - 28}}{{16{x^2}}}\\ = \dfrac{{12{x^2} - 28}}{{16{x^2}}} = \dfrac{{3{x^2} - 7}}{{4{x^2}}}\\ \end{array}$

Câu d

$\begin{array}{l} y'  = \left( {\dfrac{2}{x} + 3x} \right)'\left( {\sqrt x  - 1} \right) + \left( {\dfrac{2}{x} + 3x} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)'\\= \left( { - \dfrac{2}{{{x^2}}} + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) + \left( {\dfrac{2}{x} + 3x} \right).\dfrac{1}{{2\sqrt x }}\\ = \dfrac{{ - 2}}{{x\sqrt x }} + \dfrac{2}{{{x^2}}} + 3\sqrt x - 3 + \dfrac{1}{{x\sqrt x }} + \dfrac{3}{2}\sqrt x \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - 1}}{{x\sqrt x }} + \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{{9\sqrt x }}{2} - 3\\ \end{array}$

Câu e

$\begin{array}{l} y'  = \dfrac{{\left( {1 + \sqrt x } \right)'\left( {1 - \sqrt x } \right) - \left( {1 + \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)'}}{{{{\left( {1 - \sqrt x } \right)}^2}}}\\ =\dfrac{{\dfrac{1}{{2\sqrt x }}\left( {1 - \sqrt x } \right) + \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\left( {1 + \sqrt x } \right)}}{{{{\left( {1 - \sqrt x } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{1}{{\sqrt x {{\left( {1 - \sqrt x } \right)}^2}}}\\ \end{array}$

Câu f

$\begin{array}{l} y'  = \dfrac{{\left( { - {x^2} + 7x + 5} \right)'\left( {{x^2} - 3x} \right) - \left( { - {x^2} + 7x + 5} \right)\left( {{x^2} - 3x} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} - 3x} \right)}^2}}}\\= \dfrac{{\left( { - 2x + 7} \right)\left( {{x^2} - 3x} \right) - \left( {2x - 3} \right)\left( { - {x^2} + 7x + 5} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 3x} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - 2{x^3} + 13{x^2} - 21x + 2{x^3} - 17{x^2} + 11x + 15}}{{{{\left( {{x^2} - 3x} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - 4{x^2} - 10x + 15}}{{{{\left( {{x^2} - 3x} \right)}^2}}} \end{array}$

Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) $y=2\sqrt{x} .sinx-\frac{cosx}{x}$

b) $y= \frac{3cosx}{2x+1}$

c) $y= \frac{t^2+2cost}{sin t}$

d) $y=\frac{2cos\varphi -sin\varphi }{3sin\varphi +cos\varphi }$

e) $y=\frac{tanx}{sinx+2}$

f) $y=\frac{cotx}{2\sqrt{x}-1}$

Phương pháp giải

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm của tích, thương.

Hướng dẫn giải

Câu a

$y'=(2\sqrt{x} .sinx)'-\left (\frac{cosx}{x} \right )'$

$=(2\sqrt{x})' .sinx+2\sqrt{x} .(sinx)'-\frac{(cosx)'.x-cosx .x'}{x^2}$

$=\frac{1}{\sqrt{x}}.sinx+2\sqrt{x}cosx-\frac{-sinx.x-cosx}{x^2}$

$=\frac{x\sqrt{x}.sinx+2x^2\sqrt{x}.cosx+xsinx+cosx}{x^2}$

$=\frac{(x\sqrt{x}+x)sinx+(1+2x^2\sqrt{x}).cosx}{x^2}$

Câu b

Ta có:

$y'=\frac{(3cosx)'.(2x+1)-3cosx(2x+1)'}{(2x+1)^2}$

$=\frac{-3(2x+1).sinx-6cosx}{(2x+1)^2}$

Câu c

$y'=\frac{(t^2+2cost)'.sint-(t^2+2cost).(sint)'}{(sint)'}$

$=\frac{(2t-2sin t).sin t -(t^2+2cost).cost}{cost}$

$=\frac{2t sin t-t^2cost -2}{cost}.$

Câu d

Ta có: $y'=\frac{(2cos\varphi -sin\varphi )'.(3sin\varphi +cos\varphi )-(2cos\varphi -sin\varphi ).(3sin\varphi +cos\varphi )'}{(3sin\varphi +cos\varphi )^2}$

$=\frac{(-2sin\varphi -cos\varphi )(3sin\varphi +cos\varphi )-(2cos\varphi -sin\varphi )(3cos\varphi -sin\varphi )}{(3sin\varphi +cos\varphi )^2}$

$=\frac{-7}{(3sin\varphi +cos\varphi )^2}.$

Câu e

Ta có: $y'=\frac{(tanx)'.(sinx+2)-tanx.(sinx+2)'}{(sinx+2)^2}$

$=\frac{\frac{1}{cos^2x}.(sinx+2)-tanx.cosx}{(sinx+2)^2}$

$=\frac{\frac{1}{cos^2x}.(sinx+2)-sinx}{(sinx+2)^2}$

$=\frac{2+sin^3x}{cos^2x(sinx+2)^2}$

Câu f

Ta có: $y'=\frac{(cotx)'.(2\sqrt{x}-1)-cotx.(2\sqrt{x}-1)'}{(2\sqrt{x}-1)^2}$

$=\frac{\frac{-1}{sin^2x}.(2\sqrt{x}-1)-cotx.(2\sqrt{x}-1)'}{(2\sqrt{x}-1)^2}$

$=\frac{(1-2\sqrt{x})(1+cot^2x)-\frac{cotx}{\sqrt{x}}}{(2\sqrt{x}-1)^2}.$

Cho hàm số: $f(x)=\sqrt{1+x}$. Tính $f(3)+(x-3).f'(3)$​

Phương pháp giải

Tính $f'(x)$ theo công thức đạo hàm hàm số căn $\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\eqalign{ & f(3) = \sqrt {1 + 3} = 2  \cr & f'(x) = \dfrac{{\left( {1 + x} \right)'}}{{2\sqrt {1 + x} }}= {1 \over {2\sqrt {1 + x} }}\cr & \Rightarrow f'(3) = {1 \over {2\sqrt {1 + 3} }} = {1 \over 4} \cr}$

Suy ra: $f(3) + (x - 3)f'(3) = 2 + {{x - 3} \over 4} = {{5 + x} \over 4}$.

Cho hàm số $f(x)=tan x$ và $g(x)=\frac{1}{1-x}$. Tính $\frac{f'(0)}{g'(0)}$

Phương pháp giải

Tính $f'(0)$ và $g'(0)$ sau đó thực hiện phép chia.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\eqalign{ & f'(x) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} \Rightarrow f'(0) = {1 \over {{{\cos }^2}0}} = 1 \cr & g'(0) = - {{(1 - x)'} \over {{{(1 - x)}^2}}} = {1 \over {{{(1 - x)}^2}}}\cr& \Rightarrow g'(0) = {1 \over {{{(1 - 0)}^2}}} = 1 \cr & \Rightarrow {{f'(0)} \over {g'(0)}} = 1 \cr}$

Giải phương trình f'(x) = 0, biết rằng: 

$f(x)=3x+\frac{60}{x}-\frac{64}{x^3}+5$​

Phương pháp giải

Tính đạo hàm của hàm số $f(x)$ và giải phương trình $f'(x)=0$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\eqalign{ &  f'(x)  = \left( {3x} \right)' + \left( {\frac{{60}}{x}} \right)' - \left( {\frac{{64}}{{{x^3}}}} \right)' + \left( 5 \right)' \cr&= 3 + \frac{{ - 60.1}}{{{x^2}}} - \frac{{ - 64\left( {{x^3}} \right)'}}{{{x^6}}} \cr&= 3 - \frac{{60}}{{{x^2}}} + \frac{{64.3{x^2}}}{{{x^6}}} \cr&= 3 - {{60} \over {{x^2}}} + {{192} \over {{x^4}}} \cr&= {{3{x^4} - 60{x^2} + 192} \over {{x^4}}} \cr}$

Vậy:

$\eqalign{ & f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3{x^4} - 60{x^2} + 192 = 0(x \ne 0) \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x^2} = 16 \hfill \cr {x^2} = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = \pm 4 \hfill \cr x = \pm 2 \hfill \cr} \right.\text{ thỏa mãn  } \cr}$

Cho $f_1(x)=\frac{cosx}{x}, f_2(x)=xsinx.$ Tính $\frac{f_1(1)}{f_2(1)}$

Phương pháp giải

Tính $f_1'\left( 1 \right);\,\,f_2'\left( 1 \right)$ sau đó tính thương.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{array}{l} {f_1}'\left( x \right)  = \dfrac{{\left( {\cos x} \right)'.x - x'\cos x}}{{{x^2}}}\\= \dfrac{{ - x\sin x - \cos x}}{{{x^2}}}\\ \Rightarrow {f_1}'\left( 1 \right) = \dfrac{{ - 1.\sin 1 - \cos 1}}{1} \\= - \sin 1 - \cos 1\\ {f_2}'\left( x \right)  = x'\sin x + x\left( {\sin x} \right)'\\= \sin x + x\cos x\\ \Rightarrow {f_2}'\left( 1 \right) = \sin 1 + \cos 1\\ \Rightarrow \dfrac{{{f_1}'\left( 1 \right)}}{{{f_2}'\left( 1 \right)}} = \dfrac{{ - \sin 1 - \cos 1}}{{\sin 1 + \cos 1}} \\ = \dfrac{{ - \left( {\sin 1 + \cos 1} \right)}}{{\sin 1 + \cos 1}}= - 1 \end{array}$

Viết phương trình tiếp tuyến:

a) Của hypebol $y=\frac{x+1}{x-1}$ tại điểm A(2;3)

b) Của đường cong $y=x^3+4x^2-1$ tại điểm có hoành độ $x_0=-1$

c) Của Parabol $y=x^2-4x+4$ tại điểm có tung độ $y_0=1$

Phương pháp giải

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x_0$ là: $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có: $y' = f'(x) = {{ - 2} \over {{{(x - 1)}^2}}} \Rightarrow f'(2) = {{ - 2} \over {{{(2 - 1)}^2}}} =  - 2$

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

$y =  - 2\left( {x - 2} \right) + 3 =  - 2x + 7$

Câu b

Ta có: $y’ = f’(x) = 3x^2+ 8x ⇒ f’(-1) = 3 – 8 = -5$

Mặt khác: $x_0= -1 ⇒ y_0= -1 + 4 – 1 = 2$

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

$y – 2 = -5 (x + 1) ⇔ y = -5x – 3$

Câu c

Ta có:

$y_0= 1 ⇒ 1 = x_0^2- 4x_0+ 4 ⇒ x_0^2– 4x_0+ 3 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 1\\ {x_0} = 3 \end{array} \right.$

$f’(x) = 2x – 4 ⇒ f’(1) = -2$ và $f’(3) = 2$

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là:

$y – 1 = -2 (x – 1) ⇔ y = -2x + 3$

$y – 1 = 2 (x – 3) ⇔ y = 2x – 5$

Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: $s=t^3-3t^2-9t$ trong đó t được tính bẳng giây và s được tính bằng mét.

a) Tính vận tốc của chuyển động khi t = 3s

b) Tính gia tốc của chuyển động khi t = 3s

c) Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu

d) Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu

Phương pháp giải

Vận tốc tại thời điểm t: $v(t)=s'=3t^2-6t-9$.

Gia tốc tại thời điểm t: $a(t)=\ s''=6t-6.$

Hướng dẫn giải

Câu a

Khi t = 2s, vận tốc của chuyển động là 

$v(t_0)=s'(2)=3.4-6.2-9=-9 \ m/s.$

Câu b

Khi t = 3s, gia tốc của chuyển động là 

$a (t_0)=a (3)=s''(3)=6.3-6=12 \ m/s^2.$

Câu c

Khi vận tốc triệt tiêu thì s' = 0.

$\Leftrightarrow 3t^2-6t-9=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} t=-1\\ t=3 \end{matrix}$

Tại t = 3, gia tốc của chuyển động là: 

$a(t_0)=a (3)=12 \ m/s^2$

Câu d

Khi gia tốc triệt tiêu thì $s''=0$

$\Leftrightarrow 6t-6=0\Leftrightarrow t=1 .$

Khi đó vận tốc của chuyển động là: 

$v(t_0)=v(1)'=s'(1)=3.1-6.1-9=-12 m/s.$

Cho hai hàm số $y=\frac{1}{x\sqrt{2}}$ và $y=\frac{x^2}{\sqrt{2}}$

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mỗi hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.

Phương pháp giải

Lập phương trình hoành độ giao điểm.

Áp dụng các bước viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm $M_0(x_0;y_0) \in (C):$

• Bước 1: Tính $f'({x_0})$.
• Bước 2: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại $M_0$ là $k=f'(x_0)$
• Bước 3: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm $M_0(x_0;y_0) \in (C)$ là: $y = f'({x_0}).(x - {x_0}) + {y_0}$

Hướng dẫn giải

Toạ độ giao điểm của hai hàm số $y=\frac{1}{x\sqrt{2}}$ và $y=\frac{x^2}{\sqrt{2}}$ là nghiệm của hệ:

$\left\{\begin{matrix} y=\frac{1}{x\sqrt{2}} \\ \\ y=\frac{x^2}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=\frac{1}{\sqrt{2}}. \end{matrix}\right.$

Ta có với $y=\frac{1}{x\sqrt{2}}\Rightarrow y'=-\frac{1}{\sqrt{2}x^2}$

$\Rightarrow y'(1)=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

⇒ phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x\sqrt{2}}$ tại điểm $(1;\frac{1}{\sqrt{2}})$ là $y-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}(x-1)$

$\Leftrightarrow y=-\frac{1}{\sqrt{2}}x+\sqrt{2}.$

Với $y=\frac{x^2}{\sqrt{2}}\Rightarrow y'=\sqrt{2}x$

$\Rightarrow y'(1)=\sqrt{2}$

⇒ phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2}{\sqrt{2}}$ tại điểm $(1;\frac{1}{\sqrt{2}})$ là: $y-\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}(x-1)$

$\Leftrightarrow y=\sqrt{2}x-\frac{1}{\sqrt{2}}$

Do $\left ( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right ).(\sqrt{2})=-1$

⇒ góc giữa hai tiếp tuyến $y=-\frac{1}{\sqrt{2}}x+\sqrt{2}$ và $y=\sqrt{2}x-\frac{1}{\sqrt{2}}$ là 900

Với $g(x)=\frac{x^2-2x+5}{x-1}; g'(2)$ bằng:

(A) 1

(B) -3

(C) -5

(D) 0

Phương pháp giải

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và quy tắc tính đạo hàm của thương.

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l} g'\left( x \right)  = \dfrac{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)'\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 5} \right)\left( {x - 1} \right)'}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\= \dfrac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ g'\left( x \right) = \dfrac{{2{x^2} - 4x + 2 - {x^2} + 2x - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ g'\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow g'\left( 2 \right) = \dfrac{{{2^2} - 2.2 - 3}}{{{{\left( {2 - 1} \right)}^2}}} = - 3 \end{array}$

Chọn đáp án B.

Nếu $f(x)=sin^3x+x^2$ thì $f''(\frac{\pi }{2})$ bằng: 

(A) 0

(B) 1

(C) -2

(D) 5

Phương pháp giải

Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $f(x)$ sau đó tính $f''\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có $f'(x)=3sin^2x.cosx+2x.$

$\Rightarrow f''(x)=(3sin^2x.cosx)'+2$

$=3(2.sinx.cos^2x-sin^3x)+2$

$\Rightarrow f''\left ( -\frac{\pi }{2} \right )=3\left ( 2.sin\left ( -\frac{\pi }{2} \right ) .cos^2\left ( -\frac{\pi }{2} \right )-sin^3\left ( -\frac{\pi }{2} \right ) \right )+2$

$=3+2=5.$

Chọn đáp án D

Giả sử $h(x)=5(x+1)^3+4(x+1).$

Tập nghiệm của phương trình h''(x) = 0 là:

(A) $[-1;2]$

(B) $(-\infty ;0]$

(C) $\left \{ -1 \right \}$

(D) $\varnothing$

Phương pháp giải

Tính $h''(x)$ và giải phương trình $h''(x)=0$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$h’(x) = 15 (x + 1)^2+ 4$

$⇒ h’’(x) = 30(x + 1)$

Vậy $h’’(x) = 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1$

Chọn đáp án C.

Cho $f(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x.$

Tập nghiệm của bất phương trình $f'(x)\leq 0$ là:

(A) $\varnothing$

(B) $(0;+\infty )$

(C) $[-2;2]$

(D) $(-\infty ;+\infty )$

Phương pháp giải

Tính $f'(x)$ và giải bất phương trình $f'\left( x \right) \le 0$, sử dụng hằng đẳng thức.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\eqalign{ & f'(x) = {x^2} + x + 1 \cr & f'(x) = {x^2} + x + 1 \le 0\cr & \Leftrightarrow {(x + {1 \over 2})^2} + {3 \over 4} \le 0\,\,\,(*) \cr}$

Bất phương trình (*) vô nghiệm vì vế trái dương $∀ x ∈\mathbb R$.

Chọn đáp án A.