Giải bài tập SGK Toán 11 Chương 5 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = 7 + x - x^2\) tại \(x_0 = 1\)

b) \(y = x^3 - 2x + 1\) tại \(x_0 = 2\)

Phương pháp giải

Bước 1: Giả sử \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0\), tính \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\).

Bước 2: Lập tỉ số \(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Bước 3: Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Kết luận \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Hướng dẫn giải

Câu a

\(y = 7 + x - x^2\) 

Tính y'(1)

Ta có: \(\Delta y=7+(1+\Delta x)-(1+\Delta x)^2-(7+1-1^2)\)

\(=7+1+\Delta x-1-2\Delta x-(\Delta x)^2-7-1+1\)

\(=-\Delta x -(\Delta x)^2\)

\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=-1-\Delta x\)

\(y'(1)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}(-1-\Delta x)=-1\)

Vậy y'(1) = -1.

Câu b

\(y = x^3 - 2x + 1\)

Tính y'(2)

Ta có:

\(\Delta y=(2+\Delta x)^3-2(2+\Delta x)+1-(2^3-2.2.+1)\)

\(=2^3+12\Delta x+6(\Delta x)^2+(\Delta x)^3-4-2 \Delta x+1-5\)

\(=10\Delta x+6(\Delta x)^2+(\Delta x)^3\)

\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=10+6\Delta x+(\Delta x)^2\)

\(y'(2)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(10+6\Delta x+(\Delta x)^2) =10\).

Vậy y'(2) = 10.

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = x^5 - 4 x^3 + 2x - 3\)

b) \(y =\frac{1}{4}-\frac{1}{3}x+x^2-0,5x^4\)

c) \(y =\frac{x^{4}}{2}-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{4x^{2}}{5}-1\)

d) \(y = 3x^5(8 - 3x^2)\)

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\).

Hướng dẫn giải

Câu a

\(y = x^5 - 4 x^3 + 2x - 3\)

\(y'= (x^5 - 4 x^3 + 2x - 3)'= (x^5)' - (4 x^3)' + (2x)' - (3)'\)

\(= 5x^4-12x^3+2\)

Câu b

\(y =\frac{1}{4}-\frac{1}{3}x+x^2-0,5x^4\)

\(y' =\left (\frac{1}{4}-\frac{1}{3}x+x^2-0,5x^4 \right )'= (\frac{1}{4})'-(\frac{1}{3}x)'+(x^2)'-(0,5x^4)'\)

\(=-\frac{1}{3}+2x-2x^3\)

Câu c

\(y =\frac{x^{4}}{2}-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{4x^{2}}{5}-1\)

\(y' =\left (\frac{x^{4}}{2}-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{4x^{2}}{5}-1 \right )'= \left (\frac{x^{4}}{2} \right )'-\left (\frac{2x^{3}}{3} \right )'+\left (\frac{4x^{2}}{5} \right )'-(1)'\)

\(=\frac{4x^3}{2}-\frac{2.3x^2}{3}+\frac{8x}{5}= 2x^3-2x^2+\frac{8}{5}x.\)

Câu d

 \(y = 3x^5(8 - 3x^2)\)

\(y' = (3x^5)'(8 - 3x^2)+(3x^5)(8 - 3x^2)'\)

\(= 15x^4(8 - 3x^2)+3x^5(-6x)\)

\(=120x^4-45x^6-18x^6=120x^4-63x^3\)

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = (x^7 - 5x^2)^3\)

b) \(y = (x^2 + 1)(5 - 3x^2)\)

c) \(y = \frac{2x}{x^{2}-1}\)

d) \(y =\frac{3-5x}{x^{2}-x+1}\)

e) \(y =\left ( m+\frac{n}{x^{2}} \right )^{3}\) (m, n là các hằng số)

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\), đạo hàm của hàm hợp \(\left[ {f\left( u \right)} \right]' = u'.f'\left( u \right)\), các quy tắc tính đạo hàm của tích và thương:

\(\begin{array}{l}\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\\\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\end{array}\)

Hướng dẫn giải

Câu a

Đặt \(u=x^7-5x^2\Rightarrow u'_x=7x^6 -10x\)

\(\Rightarrow y=u^3\Rightarrow y'_u=3u^2\)

\(\Rightarrow y'_x=y'_u.u'_x=3(x^7-5x^2)^2.(7x^6-10)\)

Vậy \(\left [ (x^7-5x^2)^3 \right ]'=3(x^7-5x^2)^2(7x^6-10x).\)

Câu b

\(y'=\left [ (x^2+1)(5-3x^2) \right ]'\)

\(=(x^2+1)'.(5-3x^2)+(x^2+1).(5-3x^2)'\)

\(=2x(5-3x^2)+(x^2+1)(-6x)=-12x^3+4x\)

Câu c

 \(y'=\left ( \frac{2x}{x^2-1} \right )'= \frac{\left ( 2x \right )'.\left ( x^{2}-1 \right )-2x\left ( x^{2}-1 \right )'}{\left ( x^{2}-1 \right )^{2}}\) \(=\frac{2.\left ( x^{2}-1 \right )-2x.2x}{\left ( x^{2}-1 \right )^{2}}= \frac{-2\left ( x^{2}+1 \right )}{\left ( x^{2}-1 \right )^{2}}\) 

Câu d

 \(y'=\left ( \frac{3-5x}{x^2-x+1} \right )'\)\(= \frac{\left ( 3-5x \right )\left ( x^{2}-x+1 \right )-\left ( 3-5x \right ).\left ( x^{2}-x+1 \right )'}{\left ( x^{2}-x+1 \right )^{2}}\)

 \(=\frac{-5\left ( x^{2}-x+1 \right )-\left ( 3-5x \right ).\left ( 2x-1 \right )}{\left ( x^{2}-x+1 \right )^{2}} =\frac{5x^{2}-6x-2}{\left ( x^{2}-x+1 \right )^{2}}\) 

Câu e

Ta có:

\(y'=\left ( \left ( m+\frac{n}{x^2} \right )^3 \right )'= 3.\left ( m+\frac{n}{x^2} \right )^2.\left ( m+\frac{n}{x^2} \right )'\)

\(=-\frac{6n}{x^3}.\left ( m+\frac{n}{x^2} \right )^2.\)

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = x^2 - x\sqrt{x} + 1\)

b) \(y = \sqrt{(2 - 5x - x^2)}\)

c) \(y =\frac{x^{3}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\) ( a là hằng số)

d) \(y = \frac{1+x}{\sqrt{1-x}}\)

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức tính đạo hàm: \(\left( {{x^n}} \right)' = n.{x^{n - 1}};\,\,\left( {\sqrt x } \right)' = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\).

Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, quy tắc tính đạo hàm của tích, thương.

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có:

\(y'=(x^2-x\sqrt{x}+1)'=(x^2)'-(x\sqrt{x})'+1'=2x-\frac{3}{2}\sqrt{x}.\)

Câu b

\(y'=(\sqrt{2-5x-x^2})'= \frac{\left ( 2-5x-x^{2} \right )'}{2.\sqrt{2-5x-x^{2}}}=\frac{-5-2x}{2\sqrt{2-5x-x^{2}}}\).

Câu c

\(y'=\left ( \frac{x^3}{\sqrt{a^2-x^2}} \right )'= \frac{(x^3)'.\sqrt{a^2-x^2}-x^3(\sqrt{a^2-x^2})'}{a^2-x^2}\)

\(=\frac{3x^2.\sqrt{a^2-x^2}-x^3.\frac{(a^2-x^2)'}{2\sqrt{a^2-x^2}}}{a^2-x^2}\)

\(=\frac{3x^2.\sqrt{a^2-x^2}+\frac{x^4}{\sqrt{a^2-x^2}}}{a^2-x^2}\)

\(=\frac{x^2(3a^2-2x^2)}{\sqrt{(a^2-x^2)^3}}\)

Câu d

\(y'=\left ( \frac{1+x}{\sqrt{1-x}} \right )'= \frac{(1+x)'\sqrt{1-x}-(1+x)(\sqrt{1-x})'}{1-x}\)

\(=\frac{\sqrt{1-x}-(1+x)\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}}{1-x}= \frac{3-x}{2\sqrt{(1-x)^2}}\)

Cho \(y = x^3 -3x^2 + 2\). Tìm x để:

a) \(y' > 0\)

b) \(y' < 3\)

Phương pháp giải

Tính đạo hàm của hàm số và giải các bất phương trình.

Hướng dẫn giải

Câu a 

Ta có:

\(\begin{array}{l}
y' = \left( {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right)'\\
= \left( {{x^3}} \right)' - \left( {3{x^2}} \right)' + \left( 2 \right)'\\
= 3{x^2} - 3.2x + 0\\
= 3{x^2} - 6x
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
y' > 0\\
\Leftrightarrow 3{x^2} - 6x > 0\\ \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) > 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 2\\
x < 0
\end{array} \right.\\
\Rightarrow S = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)
\end{array}\)

Câu b

\(\begin{array}{l}
\,\,y' < 3\\
\Leftrightarrow 3{x^2} - 6x < 3\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 3 < 0\\
\Leftrightarrow 1 - \sqrt 2 < x < 1 + \sqrt 2 \\
\Rightarrow S = \left( {1 - \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right)
\end{array}\)