Giải bài tập SGK Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Phần hướng dẫn giải bài tập một số phương trình lượng giác thường gặp sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng các giải bài tập từ SGK Đại số và Giải tích 11 Cơ bản-Nâng cao.

Giải bài tập SGK Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

1. Giải bài 1 trang 36 SGK Đại số & Giải tích 11

Giải phương trình: \(\small sin^2x - sinx = 0\)

Phương pháp giải

Đặt nhân tử chung, đưa phương trình về dạng tích và giải các phương trình lượng giác cơ bản:

\(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \alpha + k2\pi \\
x = \pi - \alpha + k2\pi 
\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}x - \sin x = 0\\\Leftrightarrow \sin x\left( {\sin x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\sin x - 1 = 0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\sin x = 1\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = k\pi \) hoặc \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

2. Giải bài 2 trang 36 SGK Đại số & Giải tích 11

Giải các phương trình sau

a) \(\small 2cos^2x - 3cosx + 1 = 0\)

b) \(\small 2sin2x + \sqrt{2}sin4x = 0\)

Phương pháp giải

a) Đặt \(t=cosx\), đưa về phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình bậc hai ẩn t sau đó giải các phương trình lượng giác cơ bản của cos.

b) Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 4x = 2\sin 2x\cos 2x\)

Đặt nhân tử chung, đưa phương trình về dạng tích.

Giải các phương trình lượng giác cơ bản của sin và cos.

Hướng dẫn giải

Câu a: Đặt \( t = cosx, t \in [-1 ; 1]\) ta được phương trình:

\(\begin{array}{l}2{t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = \frac{1}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\+ )\,\,t = 1 \Leftrightarrow \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\\+ )\,\,t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Vậy \(x = {\rm{ }}k2\pi \) hoặc \(x{\rm{ }} =  \pm {\pi  \over 3} + {\rm{ }}k2\pi \) \((k\in\mathbb{Z})\).

Câu b: Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,2\sin 2x + \sqrt 2 \sin 4x = 0\\\Leftrightarrow 2\sin 2x + 2\sqrt 2 \sin 2x\cos 2x = 0\\\Leftrightarrow 2\sin 2x\left( {1 + \sqrt 2 \cos 2x} \right) = 0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\1 + \sqrt 2 \cos 2x = 0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\\cos 2x = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k\pi \\2x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{2}\\x = \pm \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{k\pi }}{2}\) hoặc \(x =  \pm \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\).

3. Giải bài 3 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11

Giải các phương trình sau

a) \(sin^2(\frac{x}{2}) - 2cos(\frac{x}{2}) + 2 = 0\)

b) \(\small 8cos^2x + 2sinx - 7 = 0\)

c) \(\small 2tan^2x + 3tanx + 1 = 0\)

 d) \(\small tanx -2cotx + 1 = 0\)

Phương pháp giải

  • Sử dụng công thức lượng giác cơ bản đã học
  • Đặt ẩn phụ \(t = \cos \frac{x}{2}\,\,\,\left( {t \in \left[ { - 1;1} \right]} \right)\), đưa về phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình suy ra các nghiệm t.
  • Giải các phương trình lượng giác cơ bản của cos: \(\cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow x =  \pm \alpha  + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có

\(\begin{array}{l}
\,\,{\sin ^2}\frac{x}{2} - 2\cos \frac{x}{2} + 2 = 0\\
\Leftrightarrow 1 - {\cos ^2}\frac{x}{2} - 2\cos \frac{x}{2} + 2 = 0\\
\Leftrightarrow {\cos ^2}\frac{x}{2} + 2\cos \frac{x}{2} - 3 = 0
\end{array}\)

Đặt \(t = {\rm{ }}cos{x \over 2},{\rm{ }}t \in \left[ { - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right]\) thì phương trình trở thành

\(\begin{array}{l}{t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 3\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\Khi\,\,t = 1 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} = k2\pi\\ \Leftrightarrow x = k4\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = k4\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\).

Câu b: Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,8{\cos ^2}x + 2\sin x - 7 = 0\\\Leftrightarrow 8\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 2\sin x - 7 = 0\\\Leftrightarrow 8{\sin ^2}x - 2\sin x - 1 = 0\end{array}\)

Đặt \(t = sinx, t ∈ [-1 ; 1]\) thì phương trình trở thành

\(\begin{array}{l}8{t^2} - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\\t = - \frac{1}{4}\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\\+ )\,\,t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}  \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\\+ )\,\,t = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sin x = - \frac{1}{4} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k2\pi \\x = \pi - \arcsin \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Câu c: ĐK: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Đặt \(t = tanx\) thì phương trình trở thành 

\(2{t^{2}} + {\rm{ }}3t{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = - 1 \hfill \cr 
t = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\tan x = - 1 \hfill \cr 
\tan x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr 
x = \arctan \left( { - {1 \over 2}} \right) + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z}) (tm)\)

Câu d: ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\tan x - 2\cot x + 1 = 0\\\Leftrightarrow \tan x - \frac{2}{{\tan x}} + 1 = 0\\\Leftrightarrow {\tan ^2}x + \tan x - 2 = 0\end{array}\)

Đặt \(t = tanx\) thì phương trình trở thành

\(\begin{array}{l}{t^2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 2\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = - 2\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \left( { - 2} \right) + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right) (tm)\end{array}\)

4. Giải bài 4 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) \(\small 2sin^ 2x + sinxcosx - 3cos^2x = 0\)

b) \(\small 3sin^2x - 4sinxcosx + 5cos^2x = 2\)

c) \(\small 3sin^2x - sin2x + 2cos^2x = \frac{1}{2}\)

d) \(\small 2cos^2x -3\sqrt{3}sin2x -4sin^2x = -4\)

Phương pháp giải

Xét phương trình: \(a\sin {}^2x + b\sin x\cos x + c\cos {}^2x = d \)

Xét \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) có là nghiệm của (1) hay không

Xét \(\cos x \ne 0\), chia hai vế của (1) cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(a{\tan ^2}x + b\tan x + c = d(1 + {\tan ^2}x)\)

\( \Leftrightarrow \left( {a - d} \right){\tan ^2}x + b\tan x + c - d = 0\)  \(\left( {1'} \right)\)

Đặt \(t = \tan x\)

Phương trình \(\left( {1'} \right)\) trở thành: \((a - d){t^2} + bt + c - d = 0{\rm{   (2)}}\)

Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x  theo \(t = \tan x\).

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta nhận thấy cosx = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia hai vế cho cos2x ta được:

\(\Rightarrow 2tan^2x+tanx-3=0\)

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} tan x = 1\\ \\ tan x = -\frac{3}{2} \end{matrix}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} x= \frac{\pi }{4}+k \pi \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \\ x= arctan\left (-\frac{3}{2} \right )+k \pi \end{matrix} , k\in \mathbb{Z}\)

Câu b: Ta nhận thấy cosx = 0 không là nghiệm của phương trình:

\(3sin^2x+4sinxcosx+5cos^2x=2\), nên chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: \(3tan^2x-4tanx+5=2(1+tan^2x)\)

\(\Leftrightarrow tan^2x-4tanx+3=0\)

Đặt t = tanx

Ta có phương trình \(t^2-4t+3=0 \Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} t=1\\ t=3 \end{matrix}\)

\(t=1\Rightarrow tanx=1\Rightarrow tanx=tan\frac{\pi }{4}\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k \pi, k\in \mathbb{Z}\).

\(t=3\Rightarrow tanx=3\Rightarrow x= arctan(3)+k \pi, (k\in \mathbb{Z})\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{4}+k \pi \\ \\ x= arctan(3)+k \pi \end{matrix} , (k\in \mathbb{Z})\)

Câu c: \(sin^2x+sin2x-2cos^2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow sin^2x+2sinxcosx-2cos^2x=\frac{1}{2}\)  (3)

\(cosx=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k \pi, k\in \mathbb{Z}\) không là nghiệm của (3)

\(cosx\neq 0\), chia hai vế của (3) cho \(cos^2x\), ta được:

\(\frac{sin^2x}{cos^2x}+\frac{2sinx}{cosx}-2=\frac{1}{2cos^2x}\Rightarrow tan^2x+2tanx-2=\frac{1}{2}(1+tan^2x)\)

\(\Rightarrow 2tan^2x+4tanx-4=1+tan^2x\)

\(\Rightarrow tan^2x +4tanx-5=0\)

Đặt t = tanx, ta có phương trình

\(t^2+4t-5=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=1\\ t=-5 \end{matrix}\)

\(t=1\Rightarrow tanx=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k \pi, k\in \mathbb{Z}\)

\(t=-5 \Rightarrow tanx=-5\Rightarrow x=arctan(-5)+k\pi, k\in \mathbb{Z}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(\bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{4}+k \pi \\ \\ x=arctan(-5)+k\pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z}\)

Câu d: \(2cos^2x - 3\sqrt{3}sin2x - 4sin^2x = -4\)

\(\Leftrightarrow 2cos^2x - 6\sqrt{3}sinxcosx -4(1-cos^2x)+4= 0\)

\(\Leftrightarrow 2cos^2x - 6\sqrt{3}sinxcosx - 4+4cos^2x+4= 0\)

\(\Leftrightarrow 6cos^2x-6\sqrt{3}sinxcosx=2\)

\(\Leftrightarrow 6cosx(cosx - \sqrt{3}sinx) = 0\)

\(\Bigg \lbrack\begin{matrix} cosx=0\\ \\ cosx-\sqrt{3}sinx=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{2}+k\pi,k\in \mathbb{Z}\\ \\ cosx=\sqrt{3}sinx \end{matrix}\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{2}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\\ \\ tanx=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{2}+k\pi\\ \\ x=\frac{\pi }{6}+k\pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z}\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{2}+k\pi\\ \\ x=\frac{\pi }{6}+k\pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z}\)

5. Giải bài 5 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11

Giải các phương trình sau

a) \(\small cosx - \sqrt{3}sinx = \sqrt{2}\)

b) \(\small 3sin3x - 4cos3x = 5\)

c) \(\small 2sin2x + 2cos2x -\sqrt{2} = 0\)

d) \(\small 5cos2x + 12sin2x - 13 = 0\) 

Phương pháp giải

Xét phương trình: \(a\sin x + b\cos x = c{\rm{  (1)}}\)

Điều kiện có nghiệm: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)

Chia hai vế của (1) cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \), ta được:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Vì \({\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1\) nên ta đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \varphi  = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\\{\cos \varphi  = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\end{array}} \right.\)

Phương trình trở thành

\(\sin x\sin \varphi  + \cos x\cos \varphi  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \cos \left( {x - \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Đặt \(\cos \alpha  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) ta được phương trình lượng giác cơ bản.

Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi  = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\\sin \varphi  = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\end{array} \right.\)

Khi đó phương trình trở thành: \({\mathop{\rm sinxcos}\nolimits} \varphi  + cosxsin\varphi  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Hướng dẫn giải

Câu a: \(\cos x - \sqrt 3 \sin x = \sqrt 2 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}{\mathop{\rm sinx}\nolimits}  = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{6}.\cos x - \cos \frac{\pi }{6}.\sin x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{6} - x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\\frac{\pi }{6} - x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x =  - \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)

Câu b: \(3\sin 3x - 4\cos 3x = 5 \Leftrightarrow \frac{3}{5}\sin 3x - \frac{4}{5}\cos 3x = 1.\)

Đặt \(\cos \alpha  = \frac{3}{5},\,\sin \alpha  = \frac{4}{5},\) suy ra:

\(\sin (3x - \alpha ) = 1 \Leftrightarrow 3x - \alpha  = \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + \frac{\alpha }{3} + k\frac{{2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}.\)

Câu c

\(\begin{array}{l}2\sin x + 2{\mathop{\rm cosx}\nolimits}  - \sqrt 2  = 0\\ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)

Câu d

\(\begin{array}{l}5\cos 2x + 12\sin 2x - 13 = 0\\ \Leftrightarrow 12\sin 2x + 5\cos 2x = 13\\ \Leftrightarrow \frac{{12}}{{13}}\sin 2x + \frac{5}{{13}}\cos 2x = 1\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \sin (2x + \alpha ) = 1\)  \(\left( {\sin \alpha  = \frac{5}{{13}};\,\cos \alpha  = \frac{{12}}{{13}}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x + \alpha  = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} - \frac{\alpha }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)

6. Giải bài 6 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11

Giải phương trình

a) \(\small tan(2x + 1) tan(3x - 1) = 1\)

b) \(\small tanx + tan(x + \frac{\pi }{4}) = 1\)

Phương pháp giải

Câu a: Sử dụng công thức \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\) và \(\cos (a + b) = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b\) để biến đổi phương trình.

Câu b: Sử dụng công thức \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\); \(\sin (a + b) = \sin a.\cos b + {\mathop{\rm cosa}\nolimits} .\sin b\) và \(\cos a.\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos (a + b) + \cos (a - b)} \right]\) để biến đổi phương trình

Hướng dẫn giải

Câu a: Với điều kiện

\(\left\{\begin{matrix} 2x+1\neq \frac{\pi }{2}+k \pi\\ \\ 3x-1\neq \frac{\pi }{2}+k \pi \end{matrix}\right. , k\in \mathbb{Z}\) hay \(\left\{\begin{matrix} x\neq \frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}+\frac{k \pi}{2}\\ \\ x\neq \frac{\pi }{6}+\frac{1}{2}+\frac{k \pi}{3} \end{matrix}\right. , k\in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow tan(2x + 1) tan(3x - 1) = 1\)

(1) \(\Leftrightarrow \frac{sin(2x+1)sin(3x-1)}{cos(2x+1)cos(2x-1)}=1\)

\( \Rightarrow \cos(2x+1) \cos(3x-1)-\sin(2x+1) \sin(3x-1) =0\)

\(\Leftrightarrow cos(2x+1+3x-1)\Leftrightarrow cos5x=0\)

\(\Leftrightarrow 5x=\frac{\pi }{2}+k\pi,k\in \mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{10}+\frac{k \pi}{5},k\in \mathbb{Z}\) (thoả điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=\frac{\pi }{10}+\frac{k \pi}{5},k\in \mathbb{Z}.\)

Câu b: Điều kiện \(\left\{\begin{matrix} cosx\neq 0\\ cos(x+\frac{\pi }{4})\neq 0 \end{matrix}\right.\)

Khi đó \(tanx+tan\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )=1\)

\(\Leftrightarrow sinx.cos\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )+cosx.sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )= cosx.cos\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )\)

\(\Leftrightarrow sin\left ( 2x+\frac{\pi }{4} \right )=\frac{1}{2} \left [ cos\left ( 2x+\frac{\pi }{4} \right ) +cos \left ( - \frac{\pi }{4}\right )\right ]\)

\(\Leftrightarrow 2sin\left ( 2x+\frac{\pi }{4} \right )-cos\left (2 x+\frac{\pi }{4} \right )= \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{5}}sin\left ( 2x+\frac{\pi }{4} \right ) -\frac{1}{\sqrt{5}}cos \left (2x+\frac{\pi }{4} \right )=\frac{\sqrt{2}}{10}\)

\(\Leftrightarrow sin\left (2x+\frac{\pi }{4} -\alpha \right )=\frac{\sqrt{2}}{10}\)

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} 2x+\frac{\pi }{4}-\alpha = arcsin \frac{\sqrt{2}}{10} + k2 \pi\\ \\ 2x+\frac{\pi }{4}-\alpha = \pi - arcsin \frac{\sqrt{2}}{10} + k2 \pi \end{matrix}\)

\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x= \frac{\alpha }{2}-\frac{\pi }{8}+ \frac{1}{2}arcsin \frac{\sqrt{2}}{10} + k\pi\\ \\ x = \frac{\alpha }{2}+\frac{3\pi }{8}- \frac{1}{2} arcsin \frac{\sqrt{2}}{10} + k\pi \end{matrix}, k\notin \mathbb{Z}\)

Ngày:14/07/2020 Chia sẻ bởi:Denni Trần

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM