Giải bài tập SGK Toán 11 Chương 3 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Chứng minh rằng với $n \in N*$, ta có đẳng thức:

a) $2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 =\frac{n(3n+1)}{2}$

b) $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} = \frac{{{2^n} - 1}}{{{2^n}}}$

c) $1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

Phương pháp giải

Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với $n=1$.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến $n=k \ge 1$ (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến $n=k+1$.

Khi đó đẳng thức đúng với mọi $n \in N^*$.

Hướng dẫn giải

Câu a

Khi n=1 ta thấy đẳng thức đã cho đúng. Giả sử đẳng thức đúng với $n=k\geq 1,$ nghĩa là: $2+5+8+...+3k-1=\frac{k(3k+1)}{2} (1)$ giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh rằng đẳng thức đã cho cũng đúng với $n=k+1$, tức là $2+5+8+....+3k-1+3k+2=\frac{(k+1)(3k+4)}{2} \ \ (2)$

Thật vậy từ (1) ta có:

$(2+5+8+....+3k-1)+3k+2=\frac{(k+1)(3k+4)}{2}+3k+2$

$=\frac{k(3k+1)+2(3k+1)}{2}=\frac{3k^2+7k+4}{2}=\frac{(k+1)(3k+4)}{2}$

Vậy (2) đúng ⇒ (đpcm)

Câu b

Khi n = 1, đẳng thức đã cho là đúng.

Giả sử đẳng thức đúng với $n=k\geq 1,$ tức là: $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^k}=\frac{2^k-1}{2^k} \ (1)$

Ta phải chứng minh rằng đẳng thức đã cho cũng đúng với n = k + 1, tức là $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}} =\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}} \ (2)$

Thật vậy từ (1) ta có: $\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^k} \right )+\frac{1}{2^{k+1}} =\frac{2^k-1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}}$

$=\frac{2(2^k-1)+1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$

Câu c

Khi n = 1, đẳng thức đã cho là đúng.

Giả sử đẳng thức với $n=k\geq 1$, tức là: 

 $1^2+2^2+3^2+...+k^2 =\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

Ta phải chứng minh rằng đẳng thức đã cho cũng đúng với n = k +1, tức là:$1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} +(k+1)^2$

$=\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2}{6}=\frac{(k+1)(2k^2+k+6k+6)}{6}$

$=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

Vậy (2) đúng, từ đó ⇒ (đpcm).

Chứng minh rằng với n $\in$ N* ta luôn có:

a) $n^3 + 3n^2 + 5n$ chia hết cho 3

b) $4n + 15n - 1$ chia hết cho 9

c) $n^3 + 11n$ chia hết cho 6

Phương pháp giải

Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với $n=1$.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến $n=k \ge 1$ (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến $n=k+1$.

Khi đó đẳng thức đúng với mọi $n \in N^*$.

Hướng dẫn giải

Câu a

Đặt $S_n={n^3} + {\rm{ }}3{n^2} + {\rm{ }}5n$

Với $n = 1$ thì $S_1= {1^3} + {3.1^2} + 5.1 = 9$ chia hết cho $3$

Giả sử với $n = k ≥ 1$, $S_k= ({k^3} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}5k)  \vdots$ $3$

Ta phải chứng minh rằng $S_{k+1}$$\vdots$ $3$

Thật vậy :

$S_{k+1}={\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^3} + {\rm{ }}3{\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2} + {\rm{ }}5\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)$

$= {k^3}{\rm{ }} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}6k{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}5k{\rm{ }} + {\rm{ }}5$

$=( {\rm{ }}{k^3} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}5k{\rm{ }}) + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}9k{\rm{ }} + {\rm{ }}9$

$= {S_k} + {\rm{ }}3({k^2} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}3)$

Theo giả thiết quy nạp thì $S_k$ $\vdots$ $3$

Mà $3({k^2} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}3) \vdots$ $3$ nên $S_{k+1} \vdots$ $3$.

Vậy ${n^3} + {\rm{ }}3{n^2} + {\rm{ }}5n$ chia hết cho $3$ với mọi $n\in {\mathbb N}^*$.

Câu b

Đặt ${S_n} = {4^n} + {\rm{ }}15n{\rm{ }} - {\rm{ }}1$

Với $n{\rm{ }} = {\rm{ }}1,{S_1} = {\rm{ }}{4^1} + {\rm{ }}15.1{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}18$ nên $S_1  \vdots$ $9$

Giả sử với $n = k ≥ 1$ thì ${S_k} = {\rm{ }}{4^k} + {\rm{ }}15k{\rm{ }} - {\rm{ }}1$ chia hết cho $9$.

Ta phải chứng minh $S_{k+1} \vdots$ $9$.

Thật vậy, ta có:

${S_{k + 1}} = {\rm{ }}{4^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}1}} + {\rm{ }}15\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}1$ 

$= {4.4^k} + 15k + 15 - 1$

$= {4.4^k} + 15k + 14$

$= {4.4^k} + 60k - {45k} + 18 - 4$

$= \left( {{{4.4}^k} + 60k - 4} \right) - 45k + 18$

$= {\rm{ }}4({4^k} + {\rm{ }}15k{\rm{ }}-{\rm{ }}1){\rm{ }}-{\rm{ }}45k{\rm{ }} + {\rm{ }}18{\rm{ }}$

$= {\rm{ }}4{S_k}-{\rm{ }}9\left( {5k{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)$

Theo giả thiết quy nạp thì $S_k  \vdots$ $9$  nên $4S_k   \vdots 9$

Mặt khác $9(5k - 2)   \vdots$ $9$, nên $S_{k+1}  \vdots 9$

Vậy $(4^n+ 15n - 1)  \vdots$ $9$ với mọi $n\in {\mathbb N}^*$

Câu c

Đặt ${S_n} = {n^3} + {\rm{ }}11n$

Với $n = 1$, ta có ${S_1} = {\rm{ }}{1^3} + {\rm{ }}11.1{\rm{ }} = {\rm{ }}12$ nên $S_1$ $\vdots$ $6$

Giả sử với $n = k ≥ 1$ , ${S_{k}} = {k^3} + {\rm{ }}11k$ chia hết cho 6.

Ta phải chứng minh $S_{k+1}$$\vdots$ 6

Thật vậy, ta có 

${S_{k + 1}} = {\rm{ }}\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^3{\rm{ }} + {\rm{ }}11\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }}$

$= {\rm{ }}{k^3} + {\rm{ }}3k^2+ {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}11k{\rm{ }} + {\rm{ }}11$

$= \left( {{k^3} + 11k} \right) + \left( {3{k^2} + 3k + 12} \right)$

$= ({\rm{ }}{k^3} + {\rm{ }}11k){\rm{ }} + {\rm{ }}3({k^2} + {\rm{ }}k{\rm{ }} + {\rm{ }}4){\rm{ }}$

$= {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}3({k^2} + {\rm{ }}k{\rm{ }} + {\rm{ }}4)$

Theo giả thiết quy nạp thì  $S_k$$\vdots$ $6$, mặt khác $k^2+ k + 4 = k(k + 1) + 4$ là số chẵn nên $3(k^2+ k + 4)$ $\vdots$ $6$, do đó $S_{k+1}$$\vdots$ $6$

Vậy $n^3+ 11n$ chia hết cho $6$ với mọi $n\in {\mathbb N}^*$.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 2$, ta có các bất đẳng thức:

a) $3^n > 3^n + 1$

b) $2^{n + 1} > 2n + 3$

Phương pháp giải

Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với $n=2$.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến $n=k \ge 2$ (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến $n=k+1$.

Khi đó đẳng thức đúng với mọi $n \in N^*$.

Hướng dẫn giải

Câu a

Khi n = 2 bất đẳng thức đã cho đúng.

Giả sử bất đẳng thứ luôn đúng đên $n=k\geq 2$, tức là $3^k> 3k+1 (1).$

Ta phải chứng minh đẳng thức luôn đúng đến n=k+1, tức là: $3^{k+1}>3k+4 (2).$

Thật vậy, ta có: 

$3^{k+1}=3.3^k>3(3k+1)=9k+3=(3k+4)+(6k-1)>3k+4$ (do (1))

⇒ (2) đúng ⇒ (đpcm)

Câu b

Khi n = 2 bất đẳng thức đã cho luôn đúng.

giả sử bất đẳng thức luôn đúng đến $n=k\geq 2$, tức là $2^{k+1}> 2k+3$ (1)

Ta phải chứng minh đẳng thức đúng đến n=k+1, tức là:

$2^{k+2}>2k+5 \ (2)$

Thật vậy, ta có

$2^{k+2}=2.2^{k+1}>2(2k+3)=4k+6=(2k+5)+(2k+1)>2k+5$ (do (1))

Vậy (2) đúng ⇒ (đpcm).

Cho tổng $S_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}$với n $\in$  N* 

a) Tính $S_1, S_2, S_3$

b) Dự đoán công thức tính tổng $S_n$ và chứng minh bằng quy nạp

Phương pháp giải

a) Tính các giá trị $S_1;S_2;S_3$ bằng cách thay lần lượt $n=1;n=2;n=3$.

b) Dựa vào các giá trị $S_1;S_2;S_3$ tính được ở trên, dự đoán tổng $S_n$.

Chứng minh kết quả vừa dự đoán bằng phương pháp quy nạp toán học.

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có: $S_1=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{2}$

$S_2=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}=\frac{2}{3}$

$S_3=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=\frac{3}{4}$

Câu b

Từ câu a) ta dự đoán $S_n=\frac{n}{n+1} (1)$, với mọi n ε  N* .

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp

Theo a) ta thấy (1) đúng khi n = 1, n=2,n=3.

Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là 

$S_k=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}$ (2)

Ta phải chứng minh (1) đúng đến khi n = k + 1, tức là

$S_k+1=\frac{k+1}{k+2}$ (3)

Thật vậy ta có:

$S_{k+1}=\left [ \frac{1}{1.2}+ \frac{1}{2.3}+...+ \frac{1}{k.(k+1)} \right ]+ \frac{1}{(k+1)(k+2)}$

$=S_k+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}= \frac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)}$

$=\frac{k+1}{k+2}$

⇒ (3) đúng ⇒ (đpcm)

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là $\frac{n(n-3)}{2}$

Phương pháp giải

Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi $n \in{\mathbb N}^*$, $n ≥ 4$.

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh.

Hướng dẫn giải

Ta chứng minh bài toán trên bằng phương pháp quy nạp

Dễ kiểm tra được bài toán trên đúng khi n = 4. Giả sử bài toán đúng đến $n=k\geq 4$, tức là đa giác lồi k cạnh có số đường chéo là $\frac{k(k-3)}{2}$

Ta phải chứng minh bài toán đúng đến n =k +1, tức là đa giác lồi k + 1 cạnh có $\frac{(k+1)(k-2)}{2}$ đường chéo.

Thật vậy đa giác lồi k +1 cạnh có số đường chéo bẳng số đường chéo của đa giác lồi k cạnh cộng với k - 1 đường chéo.

Như vậy theo giả thiết quy nạp ta có số đường chéo của đa giác lồi k + 1 cạnh là: $\frac{k(k-3)}{2}+k-1=\frac{k^2-k-2}{2}=\frac{(k+1)(k-2)}{2}$

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.