Giải bài tập SGK Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Giải các phương trình sau

a) $\small sin (x + 2) =\frac{1}{3}$

b) $\small sin 3x = 1$

c) $\small sin (\frac{2x}{3} -\frac{\pi}{3}) =0$

d) $\small sin (2x + 20^0) =-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Phương pháp giải

$\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \alpha  + k2\pi }\\ {x = \pi  - \alpha  + k2\pi } \end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {k \in Z} \right)$

Hướng dẫn giải

Câu a: $sin (x + 2) =\frac{1}{3}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x+2=arcsin \frac{1}{3}+k2 \pi, k \in \mathbb{Z}\\ \\ x+2=\pi -arcsin \frac{1}{3}+k2 \pi, k \in \mathbb{Z} \end{matrix}$ 

$\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=arcsin \frac{1}{3}-2+k2 \pi, k\in \mathbb{Z}\\ \\ x=\pi - arcsin \frac{1}{3}-2+k2 \pi, k\in \mathbb{Z} \end{matrix}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=arcsin \frac{1}{3}-2+k2 \pi (k\in \mathbb{Z})$

và $x=\pi - arcsin \frac{1}{3}-2+k2 \pi (k\in \mathbb{Z})$

Câu b: $sin 3x = 1 \Leftrightarrow sin3x=sin\frac{\pi }{2}$

$\Leftrightarrow 3x=\frac{\pi }{2}+k2 \pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2 \pi}{3},(k\in \mathbb{Z})$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2 \pi}{3},(k\in \mathbb{Z})$

Câu c: $sin\left ( \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3} \right )=0 \Leftrightarrow \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}= k\pi, k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow \frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k \pi,k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+\frac{3k\pi }{2}, k\in Z$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{2}+k.\frac{3\pi }{2}, k\in Z$

Câu d: $sin(2x+20^0)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow sin (2x +20^0) = sin(-60^0)$

$\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} 2x+20^0=-60^0+k360^0, k\in \mathbb{Z}\\ \\ 2x+20^0=204^0+k360^0, k\in \mathbb{Z} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=-40^0+k180^0, k\in \mathbb{Z}\\ \\ x=110^0+k180^0, k\in \mathbb{Z} \end{matrix}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=-40^0+k180^0, (k\in \mathbb{Z}); x=110^0+k180^0, (k\in \mathbb{Z})$

Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sin x bằng nhau?

Phương pháp giải

Giải phương trình lượng giác cơ bản $\sin 3x = \sin x$.

Hướng dẫn giải

$x$ thỏa mãn yêu cầu bài ra khi và chỉ khi x là nghiệm của phương trình:             

$\begin{array}{l} \,\,\,\,\,\sin 3x = \sin x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = x + k2\pi \\ 3x = \pi - x + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = k2\pi \\ 4x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi \\ x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2} \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right) \end{array}$

Vậy $\left[ \matrix{ x = k\pi \hfill \cr  x = {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2} \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb{Z} )$ là nghiệm.

Giải các phương trình sau

a) $\small cos (x - 1) =\frac{2}{3}$

b) $\small cos 3x = cos 12^0$

c) $\small cos (\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{2}$

d) ${\cos ^2}2x = \frac{1}{4}$

Phương pháp giải

$\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = - \alpha + k2\pi  \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có

$\begin{array}{l} \,\,\cos \left( {x - 1} \right) = \frac{2}{3}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - 1 = \arccos \frac{2}{3} + k2\pi \\ x - 1 = - \arccos \frac{2}{3} + k2\pi  \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \arccos \frac{2}{3} + 1 + k2\pi \\ x = - \arccos \frac{2}{3} + 1 + k2\pi  \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\\\end{array}$

Câu b: Ta có

$\begin{array}{l}\,\,\cos 3x = \cos {12^0}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = {12^0} + k{360^0}\\ 3x = - {12^0} + k{360^0} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {4^0} + k{120^0}\\ x = - {4^0} + k{120^0} \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\\\end{array}$

Câu c: Ta có

$\begin{array}{l}\,\,\cos \left( {\frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{{2\pi }}{3}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\ \frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4} = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi  \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{3x}}{2} = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \\ \frac{{3x}}{2} = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi  \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{11\pi }}{{18}} + \frac{{4k\pi }}{3}\\ x = \frac{{ - 5\pi }}{{18}} + \frac{{4k\pi }}{3} \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\\\end{array}$

Câu d: Ta có

$\begin{array}{l}\,\,{\cos ^2}2x = \frac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 2x = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi }{3}\\ \cos 2x = - \frac{1}{2} = \cos \frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \\ 2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi  \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \\ x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi  \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right) \end{array}$

Giải phương trình sau: $\small \frac{2cos2x}{1-sin2x}=0$

Phương pháp giải

• Tìm ĐKXĐ.
• $\dfrac{A}{B} = 0 \Rightarrow A = 0$
• Giải phương trình lượng giác cơ bản: $\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $\sin 2x\neq 1\Leftrightarrow 2x\neq \dfrac{\pi }{2}+k2 \pi$ $\Leftrightarrow x\neq \dfrac{\pi }{4}+k \pi(k\in \mathbb{Z})$

$\displaystyle {{2\cos 2x} \over {1 - \sin 2x}} = 0$

$\Rightarrow 2\cos 2x=0$ 

$\Leftrightarrow \cos 2x = 0$

$\Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Kiểm tra ĐK: $\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2} \ne \dfrac{\pi }{4} + l\pi$

$\Leftrightarrow \dfrac{{k\pi }}{2} \ne l\pi$

$\Leftrightarrow \dfrac{k}{2} \ne l$

$\Leftrightarrow k \ne 2l$

Hay $k$ không thể nhận các giá trị chẵn.

Do đó k lẻ nên $k = 2m + 1$.

Vậy $x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\left( {2m + 1} \right)\pi }}{2} = \dfrac{{3\pi }}{4} + m\pi$.

Vậy phương trình có nghiệm $x = \dfrac{{3\pi }}{4} + m\pi ,m\in Z$.

Giải các phương trình sau

a) $\small tan (x - {15^0}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

b) $\small cot (3x - 1) = -\sqrt{3}$

c) $\small cos 2x . tan x = 0$

d) $\small sin 3x . cot x = 0$

Phương pháp giải

$\begin{array}{l} \,\,\tan x = \tan a \Leftrightarrow x =a + k180^0 \\ \left( {k \in Z} \right)\\\end{array}$

$\begin{array}{l}\,\,\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\\\end{array}$

$\begin{array}{l}\,\,AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} A = 0\\ B = 0 \end{array} \right. \end{array}$

Hướng dẫn giải

Câu a: Điều kiện $x - 15^0\neq 90^0+k180^0$ hay $x\neq 105^0+k.180^0.$

$tan (x - 15^0) = \frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow tan(x-15^0)=tan30^0$, với điều kiện:

Ta có phương trình $tan (x - 15^0) = tan30^0$

$\Leftrightarrow x - 15^0 = 30^0 + k180^0 , (k \in \mathbb{Z}).$

$\Leftrightarrow x = 45^0 + k180^0 , (k \in \mathbb{Z}).$ (thoả điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là: $x = 45^0 + k180^0 , (k \in \mathbb{Z}).$

Câu b: $cot (3x - 1) = -\sqrt{3}$, với điều kiện $3x-1\neq k\pi (k\in \mathbb{Z})$ hay $x\neq \frac{1+k \pi}{3}(k\in \mathbb{Z})$

Ta có phương trình $cot (3x - 1) = cot(-\frac{\pi }{6})$

 $\Leftrightarrow 3x-1=-\frac{5\pi }{6}+k \pi, k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+k.\frac{\pi }{3},(k\in \mathbb{Z})$ (thoả điều kiện)

Vậy nghiệm phương trình là $x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+k.\frac{\pi }{3},(k\in \mathbb{Z})$

Câu c: $cos2x.tanx=0 \Leftrightarrow \cos 2x.\frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 0$, với điều kiện $cosx\neq 0$

$\Leftrightarrow x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$, ta có phương trình: $cos2x . sinx = 0$

$\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} cos2x=0\\ sin2x=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=k\pi \end{matrix}(k\in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{4}+k.\frac{\pi }{2}\\ x=k \pi \end{matrix}(k\in \mathbb{Z})$ (thoả điều kiện)

Vậy nghiệm phương trình là: $x=\frac{\pi }{4}+k.\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$ hoặc $x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$

Câu d: $sin 3x . cot x = 0 \Leftrightarrow \sin 3x.\frac{{\cos x}}{{\sin x}} = 0$, với điều kiện $sinx\neq 0\Leftrightarrow x\neq k.2\pi (k\in \mathbb{Z})$

Ta có phương trình sin3x.cos = 0

$\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} sin3x=0\\ cosx=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 3x=k2\pi\\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{matrix} (k\in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{k2 \pi}{3}\\ \\ x=\frac{\pi }{2}+k \pi \end{matrix}(k \in \mathbb{Z})$

So sánh với điều kiện ta thấy khi $k = 3m,m \in \mathbb{Z}$ thì $x = 2m\pi  \Rightarrow \sin x = 0$ không thỏa điều kiện.

Vậy phương trình có nghiệm là: $x=\frac{k2 \pi}{3}$ và $x=\frac{\pi }{2}+k \pi (k \neq 3m, m\in \mathbb{Z})$

Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số $\small y = tan ( \frac{\pi}{4}- x)$ và $\small y = tan2x$ bằng nhau?

Hướng dẫn giải

Giá trị của các hàm số: $tan\left ( \frac{\pi }{4}-x \right )$ và $y=tan 2x$ bằng nhau khi:

Ta có $tan\left ( \frac{\pi }{4}-x \right )=tan2x \Rightarrow 2x=\frac{\pi }{4}-x+k\pi$

$\Rightarrow x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi}{3}(k\neq 3m-1,m\in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi}{3}(k\neq 3m-1,m\in \mathbb{Z})$

Giải các phương trình sau:

a) $sin 3x - cos 5x = 0$

b) $\small tan 3x . tan x = 1$

Phương pháp giải

a) Chuyển vế, sử dụng công thức $\sin x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$ đưa phương trình về dạng $\cos \alpha = \cos \beta \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha = \beta + k2\pi \\\alpha = - \beta + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)$

b) Tìm ĐKXĐ.

Sử dụng các công thức: $\frac{1}{{\tan x}} = \cot x = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$ đưa phương trình về dạng $\tan \alpha  = \tan \beta  \Leftrightarrow \alpha  = \beta  + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có

$\begin{array}{l}\,\,\sin 3x - \cos 5x = 0\\\Leftrightarrow \cos 5x=\sin 3x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 3x} \right)\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = \frac{\pi }{2} - 3x + k2\pi \\5x = - \frac{\pi }{2} + 3x + k2\pi \end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{4}\\x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}$

Vậy nghiệm phương trình là: $x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4} (k\in Z)$ và $x=-\frac{\pi }{4} +k\pi, (k\in \mathbb{Z})$

Câu b: Điều kiện:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\cos 3x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}\\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Rightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\tan 3x\tan x = 1\\\Leftrightarrow \tan 3x = \frac{1}{{\tan x}} \\ \Leftrightarrow \tan 3x = \cot x \\ \Leftrightarrow \tan 3x = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\\ \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{2} - x + k\pi \\\Leftrightarrow 4x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy nghiệm phương trình là $x=\frac{\pi }{8}+\frac{k \pi }{4},$$k \in \mathbb{Z}$.