Giải bài tập SGK Toán 11 Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-Tơn

a) \((a + 2b)^5\)

b) \(\small (a - \sqrt{2})^6\)

c) \(\small (x - \frac{1}{x})^{13}\)

Phương pháp giải

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton:

\(\begin{array}{l}
{\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ...\\
... + C_n^k{a^{n - k}}{b^k} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}
\end{array}\)

Trong trường hợp số mũ \(n\) khá nhỏ (chẳng hạn trong các câu a) và b) trên đây) thì ta có thể sử dụng tam giác Pascal để tính nhanh các hệ số của khai triển.

Hướng dẫn giải

Câu a

Áp dụng công thức (*), ta có:

\((a + 2b)^5= C_{5}^{0}a^5+C_{5}^{1}a^4(2b)+C_{5}^{2}a^3(2b)^2\)

\(+ C_{5}^{3}a^2(2b)^3+C_{5}^{4}a(2b)^4+C_{5}^{5}(2b)^5\)

\(= a^5 + 10a^4b + 40a^3b^2 + 80a^2b^3 + 80ab^4 + 32b^5\)

Câu b

Theo dòng 6 của tam giác Pascal, ta có:

\((a - \sqrt{2})^6 = [a + (\sqrt{2})]^6\)

\(=a^6 + 6a^5 (\sqrt{2}) + 15a^4 (\sqrt{2})^2 + 20a^3 (\sqrt{2})^3\)

\(+ 15a^2 (\sqrt{2})^4 + 6a(\sqrt{2})^5 + (-\sqrt{2})^6.\)

\(= a^6 - 6\sqrt{2}a^5 + 30a^4 - 40\sqrt{2}a^3 + 60a^2 - 20\sqrt{2}a + 8.\)

Câu c

Theo công thức nhị thức Niu – Tơn, ta có

\(\left ( x-\frac{1}{x} \right )^{13}=C_{13}^{0}x^{13}-C_{13}^{1}x^{12}\frac{1}{x}+ C_{13}^{2}x^{11}\frac{1}{x^2}-C_{13}^{3}x^{10}\frac{1}{x^3}\)

\(+C_{13}^{4}x^{9}\frac{1}{x^4}-C_{13}^{5}x^{8}\frac{1}{x^5}+ C_{13}^{6}x^{7}\frac{1}{x^6} -C_{13}^{7}x^{6}\frac{1}{x^7}\)

\(+ C_{13}^{8}x^{5}\frac{1}{x^8}-C_{13}^{9}x^{4}\frac{1}{x^9}+ C_{13}^{10}x^{3}\frac{1}{x^{10}}-C_{13}^{11}x^{2}\frac{1}{x^{11}}\)

\(+C_{13}^{12}x\frac{1}{x^{12}}-C_{13}^{13}\frac{1}{x^{13}}\)

\(=x^{13}-13x^{11}+78x^{9}-286x^{7}+715x^{5}-1287x^{3}+1716x\)

\(-\frac{1716}{x}+\frac{1287}{x^3}-\frac{715}{x^5}+\frac{286}{x^7}- \frac{78}{x^9}+\frac{13}{x^{11}}-\frac{1}{x^{13}}\)

Tìm hệ số của \(x^3\) trong khai triển của biểu thức: \({\left( {x + {2 \over {{x^2}}}} \right)^6}\).

Phương pháp giải

Sử dụng công thức số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Newton: \(T_{k+1}={C_n^k{a^{n-k}}{b^k}} \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số: \({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}};\dfrac{{{x^m}}}{{{x^n}}} = {x^{m - n}}\).

Để tìm hệ số của \(x^3\) ta cho số mũ của x bằng 3, giải phương trình tìm \(k\)

Hướng dẫn giải

Số hạng tổng quát

\(\begin{array}{l}
{T_{k + 1}} = C_6^k.{x^{6 - k}}.{\left( {\dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)^k}\\ = C_6^k.{x^{6 - k}}.\dfrac{{{2^k}}}{{{{\left( {{x^2}} \right)}^k}}}\\
= C_6^k.{x^{6 - k}}.\dfrac{{{2^k}}}{{{x^{2k}}}}\\
= C_6^k{x^{6 - k - 2k}}{.2^k}\\
= C_6^k{.2^k}.{x^{6 - 3k}}
\end{array}\)

Số hạng chứa \(x^3\) ứng với \(6 - 3k = 3 \Leftrightarrow k = 1\)

Do đó hệ số của \(x^3\) trong khai triển của biểu thức đã cho là: \(C_6^1.2^1 = 2.6 = 12\)

Biết hệ số của \(x^2\) trong khai triển của \((1 - 3x)^n\) là \(90\). Tìm \(n\).

Phương pháp giải

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của nhị thức Newton: \({T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\)

Sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số: \({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}};\,\,\dfrac{{{x^m}}}{{{x^n}}} = {x^{m - n}}\).

Để tìm hệ số của \(x^2\) ta cho số mũ của x bằng 2, giải phương trình tìm n.

Hướng dẫn giải

Số hạng tổng quát:

\(\begin{array}{l}{T_{k + 1}} = C_n^k{.1^{n - k}}.{\left( { - 3x} \right)^k}\\ = C_n^k.{\left( { - 3} \right)^k}.{x^k}\end{array}\)

Hệ số của \({x^2}\) ứng với \(k = 2\) hay hệ số của \({x^2}\) là \(C_n^2.{\left( { - 3} \right)^2} = 9C_n^2\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}9C_n^2 = 90 \Leftrightarrow C_n^2 = 10\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 10\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 10\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 10\\ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) = 20\\ \Leftrightarrow {n^2} - n - 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\left( {TM} \right)\\n =  - 4\left( \text{loại} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(n = 5\).

Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển của \(\displaystyle{\left( {{x^3} + {1 \over x}} \right)^8}\)

Phương pháp giải

Sử dụng công thức số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Newton: \({T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\)

Sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số: \({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}};\,\,\dfrac{{{x^m}}}{{{x^n}}} = {x^{m - n}}\).

Để tìm hệ số của số hạng không chứa \(x\) ta cho số mũ của x bằng 0, giải phương trình tìm \(k\)

Hướng dẫn giải

Số hạng tổng quát

\(\begin{array}{l}{T_{k + 1}} = C_8^k.{\left( {{x^3}} \right)^{8 - k}}.{\left( {\dfrac{1}{x}} \right)^k}\\ = C_8^k.{x^{24 - 3k}}.\dfrac{1}{{{x^k}}}\\ = C_8^k{x^{24 - 3k - k}}\\ = C_8^k{x^{24 - 4k}}\end{array}\)  

Số hạng không chứa \(x\) ứng với \(24 - 4k = 0 \Leftrightarrow 4k = 24 \Leftrightarrow k = 6\)

Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển \({\left( {{x^3} + \dfrac{1}{x}} \right)^8}\) là \(C_8^6 = 28\).

Từ khai triển biểu thức \((3x – 4)^{17}\) thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.

Phương pháp giải

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton:

\(\begin{array}{l}
{\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ...\\
... + C_n^k{a^{n - k}}{b^k} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}
\end{array}\)

Để tính tổng các hệ số của khai triến trên ta cho \(x= 1\).

Hướng dẫn giải

Sử dụng khai triển của nhị thức Newton ta có: 

\(\begin{array}{l}
{\left( {3x - 4} \right)^{17}} \\
= C_{17}^0{\left( {3x} \right)^{17}} + C_{17}^1{\left( {3x} \right)^{16}}\left( { - 4} \right) + ... + C_{17}^{17}{\left( { - 4} \right)^{17}}
\end{array}\)

Ta thấy, tổng các hệ số trong khai triển \((3x – 4)^{17}\) là

\(C_{17}^0{3^{17}} + C_{17}^1{3^{16}}\left( { - 4} \right) + ... + C_{17}^{17}{\left( { - 4} \right)^{17}}\)

Cho \(x=1\) ta có

\({\left( {3.1 - 4} \right)^{17}} = C_{17}^0{3^{17}} + C_{17}^1{3^{16}}\left( { - 4} \right) + ... + C_{17}^{17}{\left( { - 4} \right)^{17}}\)

hay \((-1)^{17}=C_{17}^0{3^{17}} + C_{17}^1{3^{16}}\left( { - 4} \right) + ... + C_{17}^{17}{\left( { - 4} \right)^{17}}\)

Do đó

\(C_{17}^0{3^{17}} + C_{17}^1{3^{16}}\left( { - 4} \right) + ... + C_{17}^{17}{\left( { - 4} \right)^{17}}=-1\)

Vậy tổng các hệ số của đa thức nhận được bằng \(-1\).

Chứng minh rằng

a) \(\small 11^{10} - 1\) chia hết cho 100

b) \(\small 101^{100} - 1\) chia hết cho 10000

c) \(\small \sqrt{10}[(1+\sqrt{10})^{100}-(1-\sqrt{10})^{100}]\) là một số nguyên

Phương pháp giải

Sử dụng khai triển nhị thức Newton.

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có

\(11^{10}- 1 = (1 + 10)^{10} =C_{10}^{0}.10^{10}+C_{10}^{1}.10^9+...\)\(+ C_{10}^{8}.10^2+C_{10}^{9}.10+C_{10}^{10}\)

\(=100(C_{10}^{0}.10^8+C_{10}^{1}.10^7+...+ C_{10}^{8}+1)+1\)

Tổng sau cùng chia hết cho 100 suy ra 1110 – 1 chia hết cho 100.

Câu b

Ta có \(101^{100}=(100+1)^{100}=C_{100}^{0}.100^{100}\)

\(+C_{100}^{1}.100^{99}+...+ C_{100}^{99}.100+C_{100}^{100}\)

\(=100^2\left [ C_{100}^{0}.100^{98}+C_{100}^{1}.100^{97}+...+1 \right ]\)

Vậy \(101^{100}=10000\left [ C_{100}^{0}.100^{98}+C_{100}^{1}.100^{97}+...+1 \right ]\) chia hết cho 10 000.

Câu c

Ta có \((1+\sqrt{10})^{100}=C_{100}^{0}+C_{100}^{1}\sqrt{10}+C_{100}^{2}\sqrt{10^2}+...+\)\(C_{100}^{99}\sqrt{10^{99}}+C_{100}^{100}\)

\((1-\sqrt{10})^{100}=C_{100}^{0}+C_{100}^{1}\sqrt{10}+C_{100}^{2}\sqrt{10^2}+...-\)\(C_{100}^{99}\sqrt{10^{99}}+C_{100}^{100}\)

Do đó: \((1+\sqrt{10})^{100}-(1-\sqrt{10})^{100}=2 \left ( C_{100}^{0}+C_{100}^{1}\sqrt{10}+C_{100}^{2}\sqrt{10^2}+...+ C_{100}^{99}\sqrt{10^{99}}\right )\)

Vậy nên: \(\sqrt{40}\left [ (1+\sqrt{10})^{100}-(1-\sqrt{10})^{100} \right ].\)