Giải bài tập SGK Toán 11 Ôn tập chương 4: Giới hạn

Hãy lập bảng liệt kê các giới hạn đặc biệt của dãy số và các giới hạn đặc biệt của hàm số.

Phương pháp giải

- Từ định nghĩa giới hạn của dãy số ta suy ra được các giới hạn đặc biệt của dãy số

- Giới hạn đặc biệt của hàm số ở SGK Đại số và Giải tích 11 trang 130

Hướng dẫn giải

Bảng liệt kê các giới hạn đặc biệt của dãy số $(u_n)$

Bảng liệt kê các giới hạn đặc biệt của hàm số y = f(x)

Cho hai dãy số $(u_n)$ và $(v_n)$. Biết $|u_n– 2| ≤ v_n$ với mọi $n$ và $\lim v_n=0$. Có kết luận gì về giới hạn của dãy số $(u_n)$?

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn $0$.

Dãy số $(u_n)$ có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực nếu $|{u_n}|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Hướng dẫn giải

Vì $\lim v_n=0$ nên $|{v_n}|$ nhỏ hơn một số dương $\varepsilon$ bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nghĩa là $|{v_n}| < \varepsilon$ kể từ một số hạng nào đó trở đi.

⇒ $|{u_n}-2| \le {v_n} \le |{v_n}| < \varepsilon$ hay $|{u_n}-2| < \varepsilon$ bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.

⇒ $\lim ({u_n}-2) = 0$ (theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0)

⇒ $\lim {u_n} = 2$.

Tên của một học sinh được mã hóa bởi số 1530. Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức A, H, N, O với:

$A=lim \frac{3n-1}{n+2}$                 $H=lim (\sqrt{n^2+2n}-n)$

$N=lim \frac{\sqrt{n}-2}{3n+7}$               $O=lim \frac{3^n-5.4^n}{1-4^n}$

Hãy cho biết tên của học sinh này, bằng cách thay các chữ số trên bởi các ký hiệu biểu thức tương ứng

Phương pháp giải

A: Chia cả tử và mẫu cho n.

H: Nhân liên hợp sau đó chia cả tử và mẫu cho n.

N: Chia cả tử và mẫu cho n.

O: Chia cả tử và mẫu cho $4^n$.

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l}A = \lim \dfrac{{3n - 1}}{{n + 2}} \\= \lim \dfrac{{n(3 - \dfrac{1}{n})}}{{n(1 + \dfrac{2}{n})}} \\= \lim \dfrac{{3 - \dfrac{1}{n}}}{{1 + \dfrac{2}{n}}} \\ = \dfrac{{3 - \lim \dfrac{1}{n}}}{{1 + \lim \dfrac{2}{n}}}= 3\\H = \lim (\sqrt {{n^2} + 2n}  - n) \\= \lim \dfrac{{({n^2} + 2n) - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 2n}  + n}}\\ = \lim \dfrac{{2n}}{{n\left[ {\sqrt {1 + \dfrac{2}{n}}  + 1} \right]}}\\ = \lim \dfrac{2}{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{n}}  + 1}} \\ =  \dfrac{2}{{\sqrt {1 + \lim \dfrac{2}{n}}  + 1}} \\= \dfrac{2}{{\sqrt {1 + 0}  + 1}}= 1\\N = \lim \dfrac{{\sqrt n  - 2}}{{3n + 7}} \\= \lim \dfrac{{n(\sqrt {\dfrac{1}{n}}  - \dfrac{2}{n})}}{{n(3 + \dfrac{7}{n})}}\\ = \lim \dfrac{{\sqrt {\dfrac{1}{n}}  - \dfrac{2}{n}}}{{3 + \dfrac{7}{n}}} \\ = \dfrac{{\sqrt {\lim \dfrac{1}{n}}  - \lim \dfrac{2}{n}}}{{3 + \lim \dfrac{7}{n}}} \\= \dfrac{{0 - 0}}{{3 + 0}}= 0\\O = \lim \dfrac{{{3^n} - {{5.4}^n}}}{{1 - 4^n}} \\= \lim \dfrac{{{4^n}\left[ {{{(\dfrac{3}{4})}^n} - 5} \right]}}{{{4^n}\left[ {{{(\dfrac{1}{4})}^n} - 1} \right]}}\\ = \lim \dfrac{{{{(\dfrac{3}{4})}^n} - 5}}{{{{(\dfrac{1}{4})}^n} - 1}} \\= \dfrac{{\lim {{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^n} - 5}}{{\lim {{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)}^n} - 1}} \\= \dfrac{{0 - 5}}{{0 - 1}}= 5\end{array}$

Vậy số $1530$ là mã số của chữ $HOAN$.

a) Có nhận xét gì về công bội của các cấp số nhân lùi vô hạn.

b) Cho ví dụ về cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là số âm và một cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là số dương và tính tổng của mỗi cấp số nhân đó.

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa và công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Hướng dẫn giải

a) Công bội $q$ của cấp số nhân lùi vô hạn phải thoả mãn $|q| < 1$

b) Ví dụ: cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1= 2$ và công bội là: $q = {{ - 1} \over 2}$

$2, - 1,{1 \over 2}, - {1 \over {{2^2}}},...$

+ Và tổng là: $S = {{{u_1}} \over {1 - q}} = {2 \over {1 + {1 \over 2}}} = {4 \over 3}$

+ Cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là $u_1= 3$ và công bội là $q = {1 \over 3}$

$3,1,{1 \over 3},{1 \over {{3^2}}},...$

+ Và tổng là: $S = {{{u_1}} \over {1 - q}} = {3 \over {1 - {1 \over 3}}} = {9 \over 2}$

Tính các giới hạn sau

a) $\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x+3}{x^2+x+4}$

b) $\lim_{x\rightarrow -3}\frac{x^2+5x+6}{x^2+3x}$

c) $\lim_{x\rightarrow 4^-}\frac{2x-5}{x-4}$

d) $\lim_{x\rightarrow +\infty } (-x^3+x^2-2x+1)$

e) $\lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{x+3}{3x-1}$

f) $\lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{\sqrt{x^2-2x+4}-x}{3x-1}$

Phương pháp giải

a) Hàm số xác định tại $2$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$

b) Phân tích tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.

c) Đánh giá giới hạn dạng $\dfrac{L}{0}$

d) Đặt $x^3$ làm nhân tử chung.

e) Chia cả tử và mẫu cho $x$.

f) Chia cả tử và mẫu cho $x$.

Hướng dẫn giải

a) $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{x + 3} \over {{x^2} + x + 4}} = {{2 + 3} \over {{2^2} + 2 + 4}} = {1 \over 2}$

b) $\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} {{{x^2} + 5x + 6} \over {{x^2} + 3x}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} {{(x + 2)(x + 3)} \over {x(x + 3)}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} {{x + 2} \over x} \cr & = {{ - 3 + 2} \over { - 3}} = {1 \over 3} \cr}$

c) $\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} {{2x - 5} \over {x - 4}}$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} (2x - 5) =2.4-5= 3 > 0$

và $\left\{ \matrix{x - 4 < 0,\forall x < 4 \hfill \cr \mathop {\lim }\limits_{x \to  4^-} (x - 4) = 0 \hfill \cr} \right.$

$\displaystyle\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} {{2x - 5} \over {x - 4}} =  - \infty$

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ( - {x^3} + {x^2} - 2x + 1)$

$\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^3}( - 1 + {1 \over x} - {2 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}})$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^3} =  + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - 1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right) =  - 1 < 0$ nên

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ( - {x^3} + {x^2} - 2x + 1)$$=  - \infty$

e) $\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x + 3} \over {3x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{x(1 + {3 \over x})} \over {x(3 - {1 \over x})}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{1 + {3 \over x}} \over {3 - {1 \over x}}} \cr & = \dfrac{{1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{3}{x}}}{{ - 3 - \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{1}{x}}} \cr &= \dfrac{{1 + 0}}{{ - 3 - 0}}= {1 \over 3} \cr}$

f) $\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} - 2x + 4} - x} \over {3x - 1}} \cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}} \right)}  - x}}{{3x - 1}}\cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{|x|\sqrt {1 - {2 \over x} + {4 \over {{x^2}}}} - x} \over {3x - 1}} \cr  &= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - x\sqrt {1 - {2 \over x} + {4 \over {{x^2}}}} - x} \over {x(3 - {1 \over x})}}\cr&  = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x\left[ { - \sqrt {1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}}  - 1} \right]}}{{x\left( {3 - \frac{1}{x}} \right)}}\cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - \sqrt {1 - {2 \over x} + {4 \over {{x^2}}}} - 1} \over {3 - {1 \over x}}}  \cr &= \dfrac{{ - \sqrt {1 - 0 + 0}  - 1}}{{3 - 0}}= {{ - 2} \over 3} \cr}$.

Cho hai hàm số $f(x)=\frac{1-x^2}{x^2}$ và $g(x)=\frac{x^3+x^2+1}{x^2}$

a) Tính $\lim_{x\rightarrow 0}f(x); \lim_{x\rightarrow 0}g(x); \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x); \lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)$

b) Hai đường cong sau đây (h.60) là đồ thị của hai hàm số đã cho. Từ kết quả câu a), hãy xác định xem đường cong nào là đồ thị của mỗi hàm số đó.

Phương pháp giải

+) Tính giới hạn khi x tiến đến 0: Đánh giá giới hạn $\frac{L}{0}$

+) Tính giới hạn khi x tiến ra vô cùng: Chia cả tử và mẫu cho x mũ bậc cao nhất của cả tử và mẫu.

Hướng dẫn giải

a) $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-x^2}{x^2}=+\infty .$

$\lim_{x\rightarrow 0}g(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^3+x^2+1}{x^2}=+\infty$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{1-x^2}{x^2}=\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{\frac{1}{x^2}-1}{1}=-1.$

$\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)= \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^3+x^2+1}{x^2}= \lim_{x\rightarrow +\infty}\left ( x+1+\frac{1}{x^2} \right )=+\infty .$

b) Từ a) và đồ thị hàm số đã cho ta có:

Hình a là đồ thị hàm số y = g(x) và hình b là đồ thị hàm số y = f(x).

Xét tính liên tục trên $\mathbb{R}$ của hàm số: $g(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x^2-x-2}{x-2} \ neu \ x>2\\ 5-x \ \ \ \ neu \ x\leq 2 \end{matrix}\right.$

Phương pháp giải

Hàm đa thức và hàm phân thức liên tục trên từng khoảng xác định của nó.

Xét tính liên tục của hàm số tại $x=2$. 

Hàm số liên tục tại $x=2$ $\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^2} - x - 2} \over {x - 2}}\cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{(x - 2)(x + 1)} \over {x - 2}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x + 1) = 3  \,\,\,\, (1)\cr}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} (5 - x) = 3\,\,\,\,(2)$

$g(2) = 5 – 2 = 3 \,\,\,\,\,\,\,\,\, (3)$

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = g(2)$ .

Do đó hàm số $y = g(x)$ liên tục tại $x_0= 2$

 Mặt khác trên $(-∞, 2)$, $g(x)$ là hàm đa thức và trên $(2, +∞)$, $g(x)$ là hàm số phân thức hữu tỉ xác định trên $(2, +∞)$ nên hàm số $g(x)$ liên tục trên hai khoảng $(-∞, 2)$ và $(2, +∞)$

Vậy hàm số $y = g(x)$ liên tục trên $\mathbb R$.

Chứng minh rằng phương trình $x^5– 3x^4+ 5x – 2 = 0$ có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng $(-2, 5)$.

Phương pháp giải

- Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ và có $f\left( a \right).f\left( b \right) < 0$. Khi đó phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất 1 nghiệm ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$.

- Xét hàm số $f(x)=x^5– 3x^4+ 5x – 2$

- Thay một số giá trị của $x$ (trong khoảng $(-2;5)$ vào $f(x)$ và tính giá trị.

- Sử dụng lý thuyết trên đánh giá số nghiệm ít nhất của phương trình trong khoảng $(-2;5)$.

Hướng dẫn giải

Đặt $f(x) = x^5– 3x^4+ 5x – 2$, ta có:

+) Hàm số $f(x)$ là hàm số đa thức liên tục trên $\mathbb R$.

$\eqalign{ & \left\{ \matrix{ f(0) = - 2 < 0 \hfill \cr f(1) = 1 - 3 + 5 - 2 = 1 > 0 \hfill \cr f(2) = {2^5} - {3.2^4} + 5.2 - 2 = - 8 < 0 \hfill \cr f(3) = {3^5} - {3.3^4} + 5.3 - 2 = 13 > 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ f(0).f(1) < 0\,\,\,\,(1) \hfill \cr f(1).f(2) < 0\,\,\,\,(2) \hfill \cr f(2).f(3) < 0\,\,\,\,(3) \hfill \cr} \right. \cr}$

Do đó $f(x)$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(0, 1)$, một nghiệm trên khoảng $(1, 2)$, một nghiệm trên khoảng $(2, 3)$.

Mà các khoảng $\left( {0;1} \right)$, $\left( {1;2} \right)$ và $\left( {2;3} \right)$ đôi một không có điểm chung.

Vậy phương trình $x^5– 3x^4+ 5x – 2=0$ có ít nhất ba nghiệm trên khoảng $(-2, 5)$ (đpcm)

Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

(A) Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm

(B) Nếu (un) là dãy số tăng thì lim un = +∞

(C) Nếu lim un = +∞ và  lim vn = +∞ thì lim (un – vn) = 0

(D) Nếu un = an và -1< a < 0 thì lim un = 0

Phương pháp giải

Xét tính đúng sai của từng đáp án.

Hướng dẫn giải

+) Câu A sai

“Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn giảm” là mệnh đề sai.

Xét phần ví dụ sau:

Dãy số: ${u_n} = {{{{(-1)}^n}} \over n}$ có $\lim {{{{( - 1)}^n}} \over n} = 0$

Ta có: ${u_1} =  - 1 < {u_2} = {1 \over 2},{u_2} = {1 \over 2} > {u_3} =  - {1 \over 3}$

$⇒$ Dãy số $u_n$ không tăng cũng không giảm.

+) Câu B sai

“Nếu $(u_n)$ là dãy số tăng thì $\lim(u_n) = + ∞$” là mệnh đề sai, chẳng hạn: Dãy số $(u_n)$ với ${u_n} = 1 - {1 \over n}$

Xét hiệu: ${u_{n + 1}} - {u_n} = (1 - {1 \over {n + 1}}) - (1 - {1 \over n})$ $= {1 \over n} - {1 \over {n + 1}}$ $= {1 \over {n(n + 1)}} > 0$

$⇒ (u_n)$ là dãy số tăng.

 ${{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} = \lim (1 - {1 \over n}) = 1$

+) Câu C sai, xem phần ví dụ sau:

Hai dãy số ${u_n} = {{{n^2}} \over {n + 2}},{v_n} = n + 1$

+ ${{\mathop{\rm \lim u}\nolimits} _n} = \lim {{{n^2}} \over {n + 2}} = \lim {{{n^2}} \over {{n^2}({1 \over n} + {1 \over {{n^2}}})}}$ $= \lim {1 \over {{1 \over n} + {2 \over {n^2}}}} =  + \infty$

+ $\lim {v_n} = \lim (n + 1) =  + \infty$

+ Nhưng :

$\eqalign{ & \lim ({u_n} - {v_n}) = \lim \left[ {{{{n^2}} \over {n + 2}} - (n + 1)} \right]\cr& = \lim {{ - 3n - 2} \over {n + 2}} = \lim {{n( - 3 - {2 \over n})} \over {n(1 + {2 \over n})}}\cr& = \lim {{ - 3 - {2 \over n}} \over {1 + {2 \over n}}} = - 3 \ne 0 \cr}$

+) Câu D đúng vì $\lim q^n= 0$ khi $|q| <1$. Do đó: $-1 < a < 0$ thì $\lim a^n= 0$

Chọn đáp án D.

Cho dãy số (un) với $u_n=\frac{1+2+3+....+n}{n^2+1}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

(A) $lim \ u_n=0$

(B) $lim \ u_n=\frac{1}{2}$

(C) $lim \ u_n= 1$

(D) Dãy (un) không có giới hạn khi $n\rightarrow +\infty$

Phương pháp giải

$1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$

Hướng dẫn giải

Vì $1 + 2 + 3 + .... + n = {{n(n + 1)} \over 2}$

Nên: ${u_n} = {{n(n + 1)} \over {2({n^2} + 1)}}$

$\eqalign{ & \Rightarrow \lim {u_n} = \lim {{n(n + 1)} \over {2({n^2} + 1)}} = \lim {{{n^2}(1 + {1 \over n})} \over {{n^2}(2 + {2 \over {{n^2}}})}} \cr & = \lim {{1 + {1 \over n}} \over {2 + {2 \over {{n^2}}}}} = {1 \over 2}  \cr }$

Chọn đáp án B.

Cho dãy số (un) với: $u_n=\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2+...+(\sqrt{2})^n$. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

(A) $lim \ u_n=\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2+...+(\sqrt{2})^n+...=\frac{\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}$

(B) $lim \ u_n=-\infty$

(C) $lim \ u_n=+\infty$

(D) Dãy số (un) không có giới hạn khi $n\rightarrow +\infty$

Phương pháp giải

$(u_n)$ là tổng $n$ số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu là $u_1= \sqrt 2$ và công bội $q = \sqrt 2$

Hướng dẫn giải

+ Ta có $(u_n)$ là tổng $n$ số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu là $u_1= \sqrt 2$ và công bội $q = \sqrt 2$ nên:

$\eqalign{ & {u_n} = {{{u_1}(1 - {q^n})} \over {1 - q}} = {{\sqrt 2 \left[ {1 - {{(\sqrt 2 )}^n}} \right]} \over {1 - \sqrt 2 }}\cr&= {{\sqrt 2 \left[ {{{(\sqrt 2 )}^n} - 1} \right]} \over {\sqrt 2 - 1}} \cr & \Rightarrow \lim {u_n} = \lim {{\sqrt 2 \left[ {{{(\sqrt 2 )}^n} - 1} \right]} \over {\sqrt 2 - 1}} = + \infty \cr}$

(vì $\sqrt 2 > 1$ nên $\lim(\sqrt 2)^n= + ∞$.

Chọn đáp án C.

$\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{-3x-1}{x-1}$ bằng:

(A) -1

(B) $-\infty$

(C) -3

(D) $+\infty$

Phương pháp giải

Đánh giá giới hạn $\frac{L}{0}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} ( - 3x - 1) =  - 4 < 0$

$\left\{ \matrix{ x - 1 < 0,\forall x < 1 \hfill \cr \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (x - 1) = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \lim {{ - 3x - 1} \over {x - 1}} = + \infty$

Chọn đáp án D.

Cho hàm số: $f(x)=\frac{1-x^2}{x}$ bằng:

(A) $+\infty$

(B) 1

(C) $-\infty$

(D) -1

Phương pháp giải

Chia cả tử và mẫu của hàm số cho lũy thừa bậc cao nhất của $x$ và tính giới hạn.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{1 - {x^2}} \over x} = \lim {{{x^2}({1 \over {{x^2}}} - 1)} \over {{x^2}.{1 \over x}}} = \lim {{{1 \over {{x^2}}} - 1} \over {{1 \over x}}}$

 Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {{1 \over {{x^2}}} - 1} \right] =  - 1 < 0$                       (1)

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{x} = 0,\,\,x \to  - \infty  \Rightarrow \frac{1}{x} < 0$              (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x)= +∞$    

Chọn đáp án A.

Cho hàm số: $f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{3-x}{\sqrt{x+1}}-2 \ \ nếu \ x\neq 3\\ m \ \ \ \ \ nếu \ x = 3 \end{matrix}\right.$

Để hàm số liên tục tại x = 3 thì phải chọn m bằng bao nhiêu:

(A) 4

(B) -1

(C) 1

(D) -4

Phương pháp giải

Hàm số liên tục tại $x=3$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có:

+) $\displaystyle f(3) = m$

+) $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x)$ $\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{3 - x} \over {\sqrt {x + 1} - 2}}$$\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {3 - x} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)}}{{x + 1 - 4}}$ $\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{(3 - x)(\sqrt {x + 1} + 2)} \over { - (3 - x)}}$ $\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{\sqrt {x + 1} + 2} \over { - 1}}$ $\displaystyle = \dfrac{{\sqrt {3 + 1}  + 2}}{{ - 1}}$ $\displaystyle = - 4$

Hàm số $\displaystyle y = f(x)$ liên tục tại $\displaystyle x = 3$$\displaystyle ⇔ \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = f(3) \Leftrightarrow m =  - 4$

Chọn đáp án D.

Cho phương trình: -4x3 + 4x – 1 = 0 (1)

Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai

(A) Hàm số f(x) = -4x3 + 4x – 1 liên tục trên $\mathbb{R}$

(B) Phương trình (1) không có nghiệm trên khoảng $(-\infty , 1)$

(C) Phương trình (1) có nghiệm trên khoảng $(-2, 0)$

(D) Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trên khoảng $(-3,\frac{1}{2})$

Phương pháp giải

Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( {a;b} \right)$ và có $f\left( a \right).f\left( b \right) < 0$. Khi đó phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất 1 nghiệm ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$

Hướng dẫn giải

Mệnh đề A đúng vì $f(x)$ là hàm số đa thức nên liên tục trên $\mathbb R$.

Mệnh đề B sai vì:

+ Xét hàm số $f(x) = -4x^3+ 4x – 1$, ta có $f(1)  = -1; f(-2) = 23 \Rightarrow f(1).f(-2) = -23 < 0$

+ Ta lại có hàm số $f(x)$ liên tục trên $(-2, 1)$ nên phương trình có ít nhất một  nghiệm $x_0 ∈ (-2, 1)$

Do đó, phương trình $-4x^3+ 4x – 1 = 0$ có nghiệm trên $(-∞, 1)$

Mệnh đề C đúng vì:

$f\left( 0 \right) =  - 1,f\left( { - 2} \right) = 23$ $\Rightarrow f\left( { - 2} \right).f\left( 0 \right) =  - 23 < 0$

nên phương trình $f(x)=0$ có nghiệm thuộc khoảng $(-2;0)$.

Mệnh đề D đúng vì:

$f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) =  - 4.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^3} + 4.\dfrac{1}{2} - 1 = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \left( { - 1} \right).\dfrac{1}{2} =  - \dfrac{1}{2} < 0$ nên phương trình $f(x)=0$ có nghiệm ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)$

Mà pt $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(-2;0)$ nên $f(x)=0$ có ít nhất 2 nghiệm thuộc $\left( { - 2;\dfrac{1}{2}} \right) \subset \left( { - 3;\dfrac{1}{2}} \right)$.

Chọn đáp án B.