Giải bài tập SGK Toán 11 Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập các số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau. Hỏi:

a) Có tất cả bao nhiêu số?

b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?

c) Có bao nhiêu số bé hơn 432 000?

Phương pháp giải

Ta có thể coi mỗi một số có 6 chữ số được thành lập từ các chữ số đã cho là một sự sắp xếp thứ tự 6 số đó.

Hướng dẫn giải

Câu a

Từ đó ta có mỗi một số thoả mãn yêu cầu bài toán chính là một hoán vị của 6 phần tử đó. Số các số có 6 chữ số thành lập các chữ số trên:

P6 = 6! = 720 (số).

Câu b

Gọi số có 6 chữ số được thành lập từ các chữ số trên có dạng \(\overline{abcdeg}\) và là số chẵn (các chữ số đôi một khác nhau).

Có 3 cách chọn g (có thể chọn g là 2,4,6) 5 cách chọn e, 4 cách chọn d, 3 cách chọn c, 2 cách chọn b, 1 cách chọn a, do đó theo quy tắc nhân có tất cả: 3.5! = 360 (số)

Hoàn toàn tương tự số các số lẻ thoả mãn yêu cầu là 360 số.

Chú ý: Có thể lấy tổng tất cả các số là 720 số trừ đi số các số chẵn là 360 số ta có số các số lẻ.

Câu c

Ta cần tìm tất cả các số thoả mãn yêu cầu, ta có thể tìm lần lượt từng số các chữ số hàng trăm nghìn là 1,2,3,4 và số đó nhỏ hơn 432000.

Số các số có hàng trăm nghìn là 1 có dạng \(\overline{1abcde}\).

Có 5 cách chọn e, 4 cách chọn d, 3 cách chọn c, 2 cách chọn b, 1 cách chọn a, do đó có 5! = 120 số.

Hoàn toàn tương tự các số có chữ số hàng trăm nghìn là 2 và 3 là: 120 + 120 = 240 số.

Số có 6 chữ số có hàng trăm nghìn là 4 và nhỏ hơn 432 000 có dạng:

\(\overline{41abcd}\) hoặc \(\overline{42abcd}\) hoặc \(\overline{431abc}\).

Số các số có dạng \(\overline{41abcd}\) là 4! = 24 số.

Số các số có dạng \(\overline{42abcd}\) là 4! = 24 số.

Số các số có dạng \(\overline{431abc}\) là 3! = 6 số.

Vậy có tất cả: 24 + 24 + 6 = 54 (số)

Do đó có tất cả là: 3.120 + 54 = 414 số thoả mãn yêu cầu.

Có bao nhiêu cách để sắp xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười ghế kê thành một dãy?

Phương pháp giải

Sử dụng hoán vị 10 phần tử

Hướng dẫn giải

Mỗi cách xếp chỗ ngồi cho \(10\) người khách vào một dãy \(10\) ghế là một hoán vị của \(10\) người.

Suy ra số các cách để xếp chỗ ngồi cho \(10\) người khách vào một dãy \(10\) ghế là:

\(P_{10} = 10! = 3628800\) (cách)

Giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông)?

Phương pháp giải

Mỗi cách cắm ba bông hoa vào ba lọ khác nhau là 1 chỉnh hợp chập ba của 7 phần tử.

Hướng dẫn giải

Mỗi cách cắm ba bông hoa vào ba lọ là một cách chọn 3 bông hoa từ 7 bông và sắp thứ tự cho chúng (theo thứ tự của ba lọ).

Do đó mỗi cách cắm ba bông hoa vào ba lọ là một chỉnh hợp chập \(3\) của \(7\) bông hoa.

Vậy số cách cắm hoa là: \(A_7^3 = 210\) (cách).

Có bao cách mắc nối tiếp \(4\) bóng đèn được chọn từ \(6\) bóng đèn khác nhau?

Phương pháp giải

Mỗi cách mắc nối tiếp \(4\) bóng đèn được chọn từ \(6\) bóng đèn khác nhau đã cho là một chỉnh hợp chập \(4\) của \(6\) bóng đèn đã cho.

Hướng dẫn giải

Mỗi cách mắc nối tiếp \(4\) bóng đèn được chọn từ \(6\) bóng đèn khác nhau đã cho là một chỉnh hợp chập \(4\) của \(6\) bóng đèn đã cho. Do đó số các cách mắc là: \(A_6^4 = 360\) (cách).

Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông) nếu:

a) Các bông hoa khác nhau?

b) Các bông hoa như nhau?

Phương pháp giải

a) Mỗi cách cắm hoa là một cách chọn ra \(3\) lọ và sắp thứ tự cho chúng (theo thứ tự của \(3\) bông hoa), nên mỗi cách cắm là một chỉnh hợp chập \(3\) của \(5\) lọ.

b) Vì \(3\) bông hoa là như nhau, nên mỗi cách cắm \(3\) bông hoa vào \(5\) lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông) là một cách chọn ra một tập hợp \(3\) phần tử (không phân biệt thứ tự) từ \(5\) lọ.

Hướng dẫn giải

Câu a

Đánh số thứ tự cho \(3\) bông hoa.

Mỗi cách cắm hoa là một cách chọn ra \(3\) lọ và sắp thứ tự cho chúng nên mỗi cách cắm là một chỉnh hợp chập \(3\) của \(5\) lọ.

(Vì các bông hoa khác nhau nên mỗi cách sắp xếp cho ta 1 kết quả khác nhau)

Vậy số cách cắm \(3\) bông hoa vào 5 lọ là: \(A_5^3  = 60\) (cách).

Câu b

Việc cắm 3 bông hoa giống nhau vào 3 lọ chính là việc chọn 3 lọ hoa khác nhau từ tập hợp 5 lọ hoa để cắm và chính là kết quả của tổ hợp chập 3 của 5.

(Vì các bông hoa giống nhau nên sắp xếp các lọ theo cách nào cũng đều cho cùng một kết quả).

Vậy có \(C_5^3 = 10\) (cách).

Trong mặt phẳng, cho sáu điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao  nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho?

Phương pháp giải

Mỗi tam giác được chọn từ 6 điểm đã cho là một tổ hợp chập 3 của 6 phần tử.

Hướng dẫn giải

Ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một tam giác.

Do đó mỗi tập con gồm \(3\) điểm (không phân biệt thứ tự) của tập hợp \(6\) điểm đã cho xác định duy nhất một tam giác.

Vậy số tam giác chính bằng số tổ hợp chập 3 của 6.

Vậy có \(C_6^3 = 20\) (tam giác)

Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng song song với nhau và năm đường thẳng vuông góc với bốn đường thẳng song song đó?

Phương pháp giải

Một hình chữ nhật được tạo thành từ hai trong bốn đường thẳng này và hai trong năm đường thẳng kia.

Chọn \(2\) đường thẳng (không phân biệt thứ tự) từ nhóm \(4\) đường thẳng song song đã cho. 

Chọn \(2\) đường thẳng (không phân biệt thứ tự) từ nhóm \(5\) đường thẳng đã cho, vuông góc với \(4\) đường thẳng song song.

Sau đó sử dụng quy tắc nhân.

Hướng dẫn giải

Ta thấy: Một hình chữ nhật được tạo thành từ hai trong bốn đường thẳng này và hai trong năm đường thẳng kia.

Chọn \(2\) đường thẳng (không phân biệt thứ tự) từ nhóm \(4\) đường thẳng song song đã cho có \(C_4^2  = 6 \) (cách)

Chọn \(2\) đường thẳng (không phân biệt thứ tự) từ nhóm \(5\) đường thẳng đã cho, vuông góc với \(4\) đường thẳng song song có \(C_5^2 = 10\) (cách).

Vậy theo quy tắc nhân có \(6 . 10 = 60\) (cách) hay \(60\) hình chữ nhật.