Giải bài tập SGK Toán 11 Ôn tập chương 3: Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân
Mời các em học sinh lớp 11 cùng tham khảo nội dung giải bài tập SGK bài Ôn tập chương 3 Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân dưới đây. Bài gồm các bài tập được eLib sưu tầm và tổng hợp. Với nội dung chi tiết, rõ ràng giúp các em ôn tập lại các kiến thức đã học và vận dụng vào giải các bài tập tương tự. Hi vọng rằng đây sẽ là những tài liệu hữu ích trong công tác giảng dạy của quý thầy cô và học tập của các em học sinh.
Mục lục nội dung
1.1. Giải bài 1 trang 107 SGK ĐS & GT 11
1.2. Giải bài 2 trang 107 SGK ĐS & GT 11
1.3. Giải bài 3 trang 107 SGK ĐS & GT 11
1.4. Giải bài 4 trang 107 SGK ĐS & GT 11
1.5. Giải bài 5 trang 107 SGK ĐS & GT 11
1.6. Giải bài 6 trang 107 SGK ĐS & GT 11
1.7. Giải bài 7 trang 107 SGK ĐS & GT 11
1.8. Giải bài 8 trang 107 SGK ĐS & GT 11
1.9. Giải bài 9 trang 107 SGK ĐS & GT 11
1.10. Giải bài 10 trang 108 SGK ĐS & GT 11
1.11. Giải bài 11 trang 108 SGK ĐS & GT 11
1.12. Giải bài 12 trang 108 SGK ĐS & GT 11
1.13. Giải bài 13 trang 108 SGK ĐS & GT 11
2.1. Giải bài 14 trang 108 SGK ĐS & GT 11
2.2. Giải bài 15 trang 108 SGK ĐS & GT 11
2.3. Giải bài 16 trang 109 SGK ĐS & GT 11
2.4. Giải bài 17 trang 109 SGK ĐS & GT 11
1. Bài tập tự luận
1.1. Giải bài 1 trang 107 SGK Đại số & Giải tích 11
Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng, dãy số giảm?
Phương pháp giải
Dựa vào định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm.
– Dãy số Un được gọi là dãy số tăng nếu un+1 > un với mọi n ε N*
– Dãy số Un được gọi là dãy số giảm nếu un+1 < un với mọi n ε N*
Hướng dẫn giải
Xét cấp số cộng \((u_n)\) với \(u_{n+1}= u_n+ d\), ta có: \(u_{n+1}– u_n= d\)
+) \(u_{n+1}> u_n\) nếu \(d > 0\)
+) \(u_{n+1}< u_n\) nếu \(d < 0\)
Vậy cấp số cộng \((u_n)\)
+) Tăng nếu \(d > 0\)
+) Giảm nếu \(d < 0\).
1.2. Giải bài 2 trang 107 SGK Đại số & Giải tích 11
Cho cấp số nhân có u1 < 0 và công bội q. Hỏi các số hạng khác sẽ mang dấu gì trong các trường hợp sau:
a) q > 0
b) q < 0
Phương pháp giải
SHTQ của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\) với \(u_1\) là số hạng đầu của CSN và \(q\) là công bội của CSN.
Hướng dẫn giải
Câu a
Ta có: \(u_n=u_1q^{n-1}\)
\(q > 0 \Rightarrow {q^{n - 1}} > 0 \Rightarrow {u_1}.{q^{n - 1}} < 0\)
(vì \(u_1 < 0\))
\( \Rightarrow {u_n} < 0,\forall n\)
Câu b
Với q < 0
+ Nếu n chẵn ⇒ n – 1 lẻ ⇒ qn-1 < 0
⇒ u1.qn-1 > 0 (vì u1 < 0).
⇒ un > 0
+ Nếu n lẻ ⇒ n – 1 chẵn ⇒ qn-1 > 0
⇒ u1.qn-1 < 0 (Vì u1 < 0)
⇒ un < 0
Vậy nếu q < 0, u1 < 0 thì các số hạng thứ chẵn dương và các số hạng thứ lẻ âm
1.3. Giải bài 3 trang 107 SGK Đại số & Giải tích 11
Cho hai cấp số cộng có cùng số các số hạng. Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành một cấp số cộng không? Vì sao? Cho ví dụ minh họa.
Phương pháp giải
Cho \(u_1\) là số hạng đầu của CSC và \(d\) là công sai của CSC đó, ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = d = const\)
Hướng dẫn giải
Gọi (un) và (an) là hai cấp số cộng có công sai lần lượt là d1 và d2 và có cùng n số hạng
Ta có:
un = u1 + (n -1)d1
an = a1 + (n – 1)d2
⇒ un + an = u1 + a1 + (n – 1).(d1 + d2)
Do đó un + an là cấp số cộng có số hạng đầu là u1 + a1 và công sai là d1 + d2
Ví dụ:
1, 3, 5, 7,.... là cấp số cộng có công sai d1 = 2
0, 5, 10, 15,.... là cấp số cộng có công sai d2 = 5
⇒ 1, 8, 15, 22,... là cấp số cộng có công sai là d = d1 + d2 = 2 + 5 = 7
Vậy tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành một cấp số cộng
1.4. Giải bài 4 trang 107 SGK Đại số & Giải tích 11
Cho hai cấp số nhân có cùng có các số hạng. Tích các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.
Phương pháp giải
Định nghĩa CSN: \((u_n)\) là CSN công bội q thì \({u_{n + 1}} = q{u_n}\)
Hướng dẫn giải
Gọi (an); (bn) là cấp số nhân
Ta có:
an= a1. q1n-1, q1 là hằng số
bn= b1. q1n-1, q2 là hằng số
Khi đó: an.bn = = a1. q1n-1. b1. q1n-1 = (a1b1)(q1q2)n-1
Vậy dãy số anbn là một cấp số nhân có công bội: q = q1.q2
Ví dụ:
1, 2, 4,... là cấp số nhân có công bội q1 = 2
3, 9, 27, .... là cấp số nhân có công bội q2 = 3
⇒ Suy ra: 3, 8, 108.. là cấp số nhân có công bội: q = q1.q2 = 2.3 = 6
Vậy tích các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân
1.5. Giải bài 5 trang 107 SGK Đại số & Giải tích 11
Chứng minh rằng với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\), ta có:
a) \(13^n-1\) chia hết cho \(6\)
b) \(3n^3+ 15n\) chia hết cho \(9\)
Phương pháp giải
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh.
Hướng dẫn giải
Câu a
Với \(n = 1\), ta có: \(13^1– 1 = 13– 1 = 12 \,\,⋮\,\, 6\)
Giả sử: \(13^k- 1\) \( ⋮ \) \(6\) với mọi \(k ≥ 1\)
Ta chứng minh: \(13^{k+1}– 1\) chia hết cho \(6\)
Thật vậy:
\({13^{k + 1}}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}{13^{k + 1}}-{\rm{ }}{13^k} + {\rm{ }}{13^k} - 1{\rm{ }} \)
\(\begin{array}{l}
= \left( {{{13}^{k + 1}} - {{13}^k}} \right) + \left( {{{13}^k} - 1} \right)\\
= {13^k}\left( {13 - 1} \right) + \left( {{{13}^k} - 1} \right)
\end{array}\)
\(= {\rm{ }}{12.13^k} + {13^k}-{\rm{ }}1\)
Vì : \(12.13^k\) \(⋮\) \(6\) và \(13^k– 1\) \(⋮\) \(6\) (theo giả thiết quy nạp)
Nên : \(13^{k+1}– 1\) \(⋮\) \(6\)
Vậy \(13^n-1\) chia hết cho \(6\) với mọi \(n \in N^*\).
Câu b
Với \(n = 1\), ta có: \(3.1^3+ 15.1 = 18\) \(⋮\) \(9\)
Giả sử: \(3k^3+ 15k\) \(⋮\) \(9\) \(\forall k \ge 1\).
Ta chứng minh: \(3(k + 1)^3+ 15(k + 1)\) \(⋮\) \(9\)
Thật vậy:
\(3{\left( {k + 1} \right)^3} + 15\left( {k + 1} \right) \)
\(= 3.{\rm{ }}({k^3} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}3k + 1) + 15\left( {k + 1} \right)\)
\(= 3k^3+ 9k^2+ 9k + 15k + 18\)
\(= (3k^3+ 15k ) + 9(k^2+ k + 2)\)
Vì \(3k^3 + 15k\) \(⋮ \) \(9\) (theo giả thiết quy nạp) và \(9(k^2+ k + 2)\) \(⋮\) \(9\)
Nên: \(3(k + 1)^3+ 15(k + 1)\) \(⋮\) \(9\)
Vậy: \(3n^3+ 15n\) chia hết cho \(9\) với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\)
1.6. Giải bài 6 trang 107 SGK Đại số & Giải tích 11
Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_1= 2, u_{n+1} =2u_n– 1\) (với \(n ≥ 1\))
a) Viết năm số hạng đầu của dãy
b) Chứng minh: \(u_n= 2^{n-1}+ 1\) bằng phương pháp quy nạp.
Phương pháp giải
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
Hướng dẫn giải
Câu a: Ta có
\(\begin{array}{l}
{u_1} = 2\\
{u_2} = 2{u_1} - 1 = 3\\
{u_3} = 2{u_2} - 1 = 5\\
{u_4} = 2{u_3} - 1 = 9\\
{u_5} = 2{u_4} - 1 = 17
\end{array}\)
Câu b: Với \(n = 1\), ta có: \(u_1= 2^{1-1}+ 1 = 2\) công thức đúng
Giả sử công thức đúng với mọi \(n = k\ge 1\). Nghĩa là: \({u_k} = {\rm{ }}{2^{k - 1}} + {\rm{ }}1\)
Ta chứng minh công thức cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta phải chứng minh:
\({u_{k + 1}} = {\rm{ }}{2^{\left( {k + 1} \right) - 1}} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^k} + {\rm{ }}1\)
Ta có: \({u_{k + {\rm{ }}1}} = 2{u_k} - 1 = 2({2^{k{\rm{ }} - 1}} + {\rm{ }}1) - 1 \)\(= {2.2^{k{\rm{ }} - 1}} + {\rm{ }}2-1 = {2^k} + 1\) (đpcm)
Vậy \(u_n= 2^{n-1}+ 1\) với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\)
1.7. Giải bài 7 trang 107 SGK Đại số & Giải tích 11
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số (un), biết:
a) \(u_n=n+\frac{1}{n}\)
b) \(u_n=(-1)^{n-1}sin\frac{1}{n}\)
c) \(u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
Phương pháp giải
*) Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\).
Nếu hiệu trên dương thì dãy số là dãy số tăng.
Nếu hiệu trên âm thì dãy số là dãy số giảm.
Nếu hiệu trên bằng 0 thì dãy số là dãy không đổi.
*) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số \(M\) sao cho \({u_n} \le M\,\,\forall n \in {N^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số \(m\) sao cho \({u_n} \ge m\,\,\forall n \in {N^*}\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số \(M,m\) sao cho \(m \le {u_n} \le M\,\,\forall n \in {N^*}\).
Hướng dẫn giải
Câu a
Xét hiệu:
\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,{u_{n + 1}} - {u_n}\\
= \left( {n + 1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right) - \left( {n + \frac{1}{n}} \right)\\
= n + 1 + \frac{1}{{n + 1}} - n - \frac{1}{n}\\
= 1 + \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n}\\
= \frac{{{n^2} + n + n - n - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{{n^2} + n - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} > 0\,\,\forall n \in {N^*}
\end{array}\)
Do \(n^2+n-1 \ge 1^2+1-1=1>0\) và n(n+1) > 0 với \(\forall n\in N^*\)
Suy ra: \(u_n\) là dãy số tăng.
Mặt khác: \({u_n} = n + {1 \over n} \ge 2\sqrt {n.{1 \over n}} = 2,\forall n \in {N^*}\) \(\Rightarrow u_n\) là dãy số bị chặn dưới.
Khi \(n\) càng lớn thì \(u_n\) càng lớn nên \(u_n\) là dãy số không bị chặn trên.
Vậy \(u_n\) là dãy số tăng và bị chặn dưới.
Câu b: Ta có
\(u_1= (-1)^{1-1}\sin 1 = \sin 1 > 0\)
\(\eqalign{& {u_2} = {\left( { - 1} \right)^{2-1}}.\sin {1 \over 2} = - \sin {1 \over 2} < 0 \cr & {u_3} = {( - 1)^{3-1}}.\sin {1 \over 3} = \sin {1 \over 3} > 0 \cr} \)
\(⇒ u_1> u_2\) và \(u_2< u_3\)
Vậy \(u_n\) là dãy số không tăng không giảm.
Ta lại có: \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}\sin \frac{1}{n}} \right| = \left| {\sin \frac{1}{n}} \right| \le 1 \)\(\Leftrightarrow - 1 \le {u_n} \le 1\)
Vậy \(u_n\) là dãy số bị chặn.
Câu c: Ta có
\({u_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \) \( = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \)\(= {{n + 1 - n} \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \) \(= {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\)
Xét hiệu:
\(\eqalign{
& {u_{n + 1}} - {u_n} \cr&= {1 \over {\sqrt {(n + 1) + 1} + \sqrt {n + 1} }} - {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr
& = {1 \over {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} - {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr} \)
Ta có:
\(\left\{ \matrix{
\sqrt {n + 2} > \sqrt {n + 1} \hfill \cr
\sqrt {n + 1} > \sqrt n \hfill \cr} \right. \)
\(\Rightarrow \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} > \sqrt {n + 1} + \sqrt n \)
\( \Rightarrow {1 \over {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} < {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \)
\(\Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0\)
⇒ \(u_n\) là dãy số giảm.
Mặt khác: \({u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > 0,\forall n \in N^*\) \(\Rightarrow\) un là dãy số bị chặn dưới.
Ta lại có: với n ≥ 1 thì \(\sqrt {n + 1} + \sqrt n \ge \sqrt 2 + 1\)
\(\Rightarrow {u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \le {1 \over {\sqrt 2 + 1}}\)
Suy ra: \(u_n\) là dãy số bị chặn trên.
Vậy \(u_n\) là dãy số giảm và bị chặn.
1.8. Giải bài 8 trang 107 SGK Đại số & Giải tích 11
Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của các cấp số cộng (un) biết:
a) \(\left\{\begin{matrix} 5u_1+10u_n=0\\ s_4=14 \end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{\begin{matrix} u_7+u_{15}=60\\ u_{4}^{2}+u_{12}^{2}=1170 \end{matrix}\right.\)
Phương pháp giải
Sử dụng các công thức
\(\begin{array}{l}
{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\
{S_n} = \frac{{\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)n}}{2}
\end{array}\)
Hướng dẫn giải
Câu a
Theo bài ra ta có: \(\left\{\begin{matrix} 5u_1+10(u_1+4d)=0\\ 4u_1+\frac{4.3.d}{2}=14 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 15u_1+40d=0\\ 4u_1+6d=14 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_1=8\\ d=-3 \end{matrix}\right.\)
Câu b
Theo bài ra ta có:
\(\left\{\begin{matrix} u_1+6d+u_1+14d=60\\ (u_1+3d)^2+(u_1+11d)^2=1170 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_1+10d=30\\ (u_1+3d)^2+(u_1+11d)^2=1170 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_1=30-10d\\ (30-10d+3d^2)+(30-10d+11d)^2=1170 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u-1=30-10d\\ (30-7d)^2+(30+d)^2=1170 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u-1=30-10d\\ 50d^2-360d^2+630=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_1=30-10d\\ \bigg \lbrack \begin{matrix} d=3\\ d=4,2 \end{matrix} \end{matrix}\right.\)
Khi \(d=3\Rightarrow u_1=0\)
Khi \(d=4.2\Rightarrow u_1=-12\)
Tóm lại có hai cặp thoả mãn là: \(\left\{\begin{matrix} u_1=0\\ d=3 \end{matrix}\right.\) và \(\left\{\begin{matrix} u_1=-12\\ d=4,2 \end{matrix}\right.\)
1.9. Giải bài 9 trang 107 SGK Đại số & Giải tích 11
Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của các cấp số nhân (un) biết:
a) \(\left\{\begin{matrix} u_6=192\\ u_7=384 \end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{\begin{matrix} u_1-u_2=72\\ u_5-u_3=144 \end{matrix}\right.\)
c) \(\left\{\begin{matrix} u_2+u_5-u_4=10\\ u_3+u_6-u_5=20 \end{matrix}\right.\)
Phương pháp giải
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của CSN: \( {u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\)
Hướng dẫn giải
Câu a
Theo bài ra ta có:
\(\left\{\begin{matrix} u_6=192\\ u_7=384 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_1.q^5=192 \ (1)\\ u_1.q^6=384 \ (2) \end{matrix}\right.\)
Lấy (2) chia cho (1) ta có \(q=2\Rightarrow u_1=\frac{192}{32}=6\)
Câu b
Theo bài ra ta có:
\(\left\{\begin{matrix} u_4-u-2=72\\ u_5-u_3=144 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_1(q^3-q)=72 \ (1)\\ u_1(q^4-q^2)=144 \ \ (2) \end{matrix}\right.\)
Lấy (2) chia cho (1) ta có \(\frac{q^4-q^2}{q^3-q}=2 \ \ (q\neq 0, q\neq \pm 1)\Leftrightarrow \frac{q^2(q^2-1)}{q(q^2-1)}=2\)
⇒ q = 2
⇒ u1 = 12.
Câu c
Theo bài ra ta có:
\(\left\{\begin{matrix} u_2+u_5-u_4=10\\ u_3+u_6-u_5=20 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_1(q+q^4-q^3)=10 \ (1)\\ u_1(q^2+q^5-q^4)=20 \ (2) \end{matrix}\right.\)
Lấy (2) chia cho (1) ta có: \(\frac{q^2+q^5-q^4}{q+q^4-q^3}=2\) \((q\neq 0; 1+q^3-q^2\neq 0)\)
\(\Leftrightarrow \frac{q^2(1+q^3-q^2)}{q(1+q^3-q^2)}=2 \Leftrightarrow q=2 \Rightarrow u_1=1.\)
1.10. Giải bài 10 trang 108 SGK Đại số & Giải tích 11
Tứ giác ABCD có số đo (độ) của các góc lập thành một cấp số cộng theo thứ tự A, B, C, D. Biết rằng góc C gấp 4 lần góc A. Tính các góc của tứ giác.
Phương pháp giải
Sử dụng công thức SHTQ: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)
Hướng dẫn giải
Theo giả thiết ta có: \(A, B, C, D\) là một cấp số cộng và \(\widehat C = 5\widehat A\)
Giả sử cấp số cộng tạo thành có công sai là: \(d\). Theo tính chất của cấp số cộng ta có:
\(\widehat B=\widehat A+d\), \(\widehat C=\widehat A+2d\), \(\widehat D=\widehat A+3d\)
\(\Rightarrow \widehat A+2d= 5\widehat A\)
\(\Leftrightarrow 4\widehat A-2d=0\) (1)
Mà tổng bốn góc của tứ giác bằng \(360^0\) nên:
\(\widehat A+\widehat B+ \widehat C+\widehat D=360^0 \)
\( \Leftrightarrow \widehat A + \left( {\widehat A + d} \right) + \left( {\widehat A + 2d} \right) + \left( {\widehat A + 3d} \right) = {360^0}\)
\(\Leftrightarrow 4\widehat A +6d=360^0\) (2)
Lấy \((2)-(1)\) ta được: \(8d=360^0\Rightarrow d=45^0\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 4\widehat A - {2.45^0} = 0\\
\Leftrightarrow \widehat A = 22,{5^0} = {22^0}30'\\
\widehat B = \widehat A + {45^0} = {67^0}30'\\
\widehat C = \widehat A + {2.45^0} = {112^0}30'\\
\widehat D = \widehat A + {3.45^0} = {157^0}30'
\end{array}\)
1.11. Giải bài 11 trang 108 SGK Đại số & Giải tích 11
Biết rằng ba số x, y, z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.
Phương pháp giải
Sử dụng công thức SHTQ và tính chất của CSC và CSN.
Hướng dẫn giải
Giả sử ba số \(x, y, z\) lập thành một cấp số nhân với công bội \(q\) ta có: \(y = x.q\) và \(z = y.q = x.q^2\).
Ba số \(x, 2y, 3z\) lập thành một cấp số cộng nên:
\(x + 3z = 2. 2y \)
\(⇔ x + 3.(xq^2) = 4.(xq)\)
\( \Leftrightarrow x + 3x{q^2} - 4xq = 0\)
\(⇔ x. (1 + 3q^2– 4q) = 0 \)
\(⇔ x = 0\) hoặc \(3q^2– 4q + 1 = 0\)
Nếu \(x = 0\) thì \(x = y= z= 0\), \(q\) không xác định (loại)
Nếu \(x ≠ 0\) thì \(3q^2- 4q + 1 = 0⇔\left[ \matrix{q = 1 \hfill \cr q = {1 \over 3} \hfill \cr} \right.\)
1.12. Giải bài 12 trang 108 SGK Đại số & Giải tích 11
Người ta thiết kế một tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là \(12 288\) \(m^2\). Tính diện tích mặt trên cùng.
Phương pháp giải
Diện tích các mặt lập thành một cấp số nhân. Sử dụng công thức SHTQ của CSN: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\).
Hướng dẫn giải
Gọi diện tích đáy tháp là S0; diện tích mặt trên của tầng 1; tầng 2; tầng 3; … lần lượt là S1; S2; S3; …; S11.
Ta có:
Diện tích đế tháp: \({S_0} = 12288\,{m^2}\)
Diện tích tầng 1: \({S_1} = \frac{1}{2}{S_0} = \frac{1}{2}.12288\,{m^2} = 6144\,{m^2}\)
Theo giả thiết diện tích của bề mặt trên mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới.
Do đó \((S_n)\) là CSN có số hạng đầu \({S_1} = 6144\,{m^2}\) công bội \(q = \frac{1}{2}\).
Diện tích tầng 11 là \({S_{11}} = {S_1}{q^{10}} = 6144.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{10}} = 6\,{m^2}\)
1.13. Giải bài 13 trang 108 SGK Đại số & Giải tích 11
Chứng minh rằng nếu các số \({a^2},{b^2},{c^2}\) lập thành một cấp số cộng \((abc ≠ 0)\) thì các số \(\displaystyle{1 \over {b + c}},{1 \over {c + a}};{1 \over {a + b}}\) cũng lập thành một cấp số cộng.
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất của CSC: Nếu ba số x, y, z là ba số liên tiếp của CSC thì: \(x + z = 2y\).
Hướng dẫn giải
Ta phải chứng minh: \(\displaystyle {1 \over {b + c}} - {1 \over {c + a}} = {1 \over {c + a}} - {1 \over {a + b}} \)
Thật vậy,
\(\eqalign{
& {1 \over {b + c}} - {1 \over {c + a}} = {1 \over {c + a}} - {1 \over {a + b}} \cr
& \Leftrightarrow {{c + a - b - c} \over {(c + a)(b + c)}} = {{a + b - c - a} \over {(c + a)(a + b)}} \cr
& \Leftrightarrow {{a - b} \over {b + c}} = {{b - c} \over {a + b}}\cr & \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = \left( {b + c} \right)\left( {b - c} \right)\cr &\Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = {b^2} - {c^2}\cr} \)
(đúng do \(a^2, b^2,c^2\) lập thành CSC)
Vậy (1) đúng nên \(\displaystyle{1 \over {b + c}},{1 \over {c + a}};{1 \over {a + b}}\) là cấp số cộng.
2. Bài tập trắc nghiệm
2.1. Giải bài 14 trang 108 SGK Đại số & Giải tích 11
Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_n= 3^n\). Hãy chọn phương án đúng:
a) Số hạng \(u_{n+1}\) bằng:
A. \(3^n+1\) B. \(3^n+ 3\)
C. \(3^n.3\) D. \(3(n+1)\)
b) Số hạng \(u_{2n}\) bằng:
A. \(2.3^n\) B. \(9^n\)
C. \(3^n+ 3\) D. \(6n\)
c) Số hạng \(u_{n-1}\)bằng :
A. \(3^n-1\) B. \({1\over 3}.3^n\)
C. \(3^n– 3\) D. \(3n – 1\)
d) Số hạng \(u_{2n-1}\) bằng:
A. \(3^2.3^n-1\) B. \(3^n.3^{n-1}\)
C. \(3^{2n}- 1\) D. \(3^{2(n-1)}\)
Phương pháp giải
a) Thay \(n\) bằng \(n+1\).
b) Thay \(n\) bằng \(2n\).
c) Thay \(n\) bằng \(n-1\).
d) Thay \(n\) bằng \(2n-1\).
Hướng dẫn giải
Câu a
Ta có: \({u_{n + 1}} = {\rm{ }}{3^{n + 1}} = {\rm{ }}{3^n}.3\)
Chọn đáp án C.
Câu b
Ta có: \({u_{2n}} = {\rm{ }}{3^{2n}} = {\rm{ }}{({3^2})^n} = {\rm{ }}{9^n}\),
Chọn đáp án B.
Câu c
Ta có: \({u_{n - 1}} = {3^{n - 1}} = {3^n}{.3^{ - 1}} = {{{3^n}} \over 3}\)
Chọn đáp án B.
Câu d
Ta có: \({u_{2n - 1}} = {\rm{ }}{3^{2n - 1}}=3^n.3^{n-1}\)
Chọn đáp án B.
2.2. Giải bài 15 trang 108 SGK Đại số & Giải tích 11
Hãy cho biết dãy số (un) nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát un của nó là:
(A) \((-1)^{n+1}.sin\frac{\pi }{2}\)
(B) \((-1)^{2n}.(5^n+1)\)
(C) \(\frac{1}{\sqrt{n+1}+n}\)
(D) \(\frac{n}{n^2+1}\)
Phương pháp giải
Dãy số \((u_n)\) là dãy số tăng nếu ta có \(u_{n+1} > u_n\) với mọi \(n \in N^*\)
Hướng dẫn giải
Ta có \(u_n=(-1)^{2n}(5^n+1)=5^n+1\) ta dễ dàng chứng minh được dãy số này tăng
Dãy \((-1)^{n+1}.sin\frac{\pi }{2}\) không tăng, không giảm
Dãy \(\frac{1}{\sqrt{n+1}+n}\) và \(\frac{n}{n^2+1}\) là hai dãy số giảm
Vậy đáp án đúng là (B)
2.3. Giải bài 16 trang 109 SGK Đại số & Giải tích 11
Cho cấp số cộng -2, x, 6, y. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
(A )x = -6, y = -2
(B) x = 1, y = 7
(C) x = 2, y = 8
(D) x = 2, y = 10
Phương pháp giải
Tính chất CSC: Nếu ba số x, y, z là ba số hạng liên tiếp của CSC thì \(x+z=2y\).
Hướng dẫn giải
Do -2, x, 6, y lập thành một cấp số cộng nên ta có:
\(\left\{\begin{matrix} 2x=-2+6\\ 12=x+y \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=10 \end{matrix}\right.\)
Vậy (D) là đáp án đúng
2.4. Giải bài 17 trang 109 SGK Đại số & Giải tích 11
Cho cấp số nhân -4, x, -9. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
(A) x = 36
(B) x = -6,5
(C) x = 6
(D) x -36.
Phương pháp giải
Tính chất CSN: Nếu ba số \(x;y;z\) là ba số liên tiếp của CSN thì \(xz=y^2\).
Hướng dẫn giải
Do -4,x,y,-9 là cấp số nhân nên ta có: \(x=\sqrt{(-4).(-9)}\Leftrightarrow x=6\)
Vậy (C) là đáp án đúng
2.5. Giải bài 18 trang 109 SGK Đại số & Giải tích 11
Cho cấp số cộng (un). Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
(A) \(\frac{u_{10}+u_{20}}{2}=u_5+u_{10}\)
(B) \(u_{90}+u_{210}=2 u_{150}\)
(C) \(u_{10}.u_{30}=u_{20}\)
(D) \(\frac{u_{10}.u_{30}}{2}=u_{20}\)
Phương pháp giải
Sử dụng công thức SHTQ của CSC: \(u_n=u_1+(n-1)d\)
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức: \(\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}=u_{k}\), ta thấy công thức \(u_{90}+u_{210}=2 u_{150}\) là công thức đúng
Vậy (B) là đáp án đúng
2.6. Giải bài 19 trang 109 SGK Đại số & Giải tích 11
Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân:
(A) \(\left\{\begin{matrix} u_1=2\\ u_{n+1}=u^2_n \end{matrix}\right.\)
(B) \(\left\{\begin{matrix} u_1=-1\\ u_{n+1}=3u_n \end{matrix}\right.\)
(C) \(\left\{\begin{matrix} u_1=3\\ u_{n+1}=u_n+1 \end{matrix}\right.\)
(D) \(7,77,777,...,\underbrace{77...7}_{n \ chu \ so \ 7}\)
Phương pháp giải
Định nghĩa CSN: \((u_n)\) là CSN công bội q thì \({u_{n + 1}} = q{u_n}\)
Hướng dẫn giải
Xét dãy số \((u_n)\) thoả \(\left\{\begin{matrix} u_1=-1\\ u_{n+1}=3u_n \end{matrix}\right.\)
Ta có \(u_1=-1, u_2=-3, u_3=-9,u_4=-27,...\)
Như vậy \((u_n)\) là cấp số nhân có \(u_1=-1\) và q = 3. Ta dễ kiểm tra được các dãy còn lại không phải là cấp số nhân
Vậy (B) là đáp án đúng
Tham khảo thêm
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Chương 3 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Chương 3 Bài 2: Dãy số
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Chương 3 Bài 3: Cấp số cộng
- doc Giải bài tập SGK Toán 11 Chương 3 Bài 4: Cấp số nhân