Giải bài tập SGK Toán 11 Ôn tập chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian

Nhắc lại định nghĩa vecto trong không gian.

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′. Hãy kể tên những vecto bằng vectơ \(\overrightarrow {AA'}\) có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình lăng trụ.

Phương pháp giải:

Nhắc lại định nghĩa vectơ trong không gian và sử dụng định nghĩa hai vectơ bằng nhau để liệt kê.

Hướng dẫn giải:

Định nghĩa vectơ trong không gian: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có định hướng, tức là một đoạn thẳng đã được chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối.

Những vecto bằng vectơ \(\overrightarrow {AA'}\) có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình lăng trụ là: \(\overrightarrow {BB'}, \ \overrightarrow {CC'}\).

Trong không gian cho ba vectơ \(\overrightarrow a ,\ \overrightarrow b ;\ \overrightarrow c\) đều khác \(\overrightarrow 0\). Khi nào ba vectơ đó đồng phẳng?

Phương pháp giải:

Áp dụng điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng.

Hướng dẫn giải:

Trong không gian cho ba vectơ \(\overrightarrow a ,\ \overrightarrow b ;\ \overrightarrow c\) đều khác \(\overrightarrow 0\). Khi đó ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn:

- Giá của chúng cùng song song hoặc nằm trong một mặt phẳng.

- Có cặp số m, n duy nhất sao cho: \(\overrightarrow c = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b\).

Trong không gian, hai đường thẳng không cắt nhau có thể vuông góc với nhau không? Giả sử hai đường thẳng a và b lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u\) và \(\overrightarrow v\). Khi nào ta có thể kết luận a và b vuông góc với nhau?

Phương pháp giải:

Áp dụng vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian để nhận xét.

Hướng dẫn giải:

Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc với nhau không nhất thiết phải cắt nhau. Vì vậy hai đường thẳng không cắt nhau vẫn có thể vuông góc với nhau.

Đường thẳng a có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u\).

Đường thẳng b có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow v\).

a vuông góc với b khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u\) và \(\overrightarrow v\) bằng không:  \(a \bot b \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v = 0\).

Muốn chứng minh đường  thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α) thì người ta cần chứng minh a vuông góc với mọi đường thẳng của mặt phẳng (α) hay không?

Phương pháp giải:

Áp dụng điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Hướng dẫn giải:

Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta không cần phải chứng minh a vuông góc với mọi đường thẳng của mặt phẳng (α).

Muốn chứng minh a ⊥ (α) ta chỉ cần chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (α).

\(\left\{ \matrix{ a\ \bot \ b \subset (\alpha ) \hfill \cr a\ \bot \ c \subset (\alpha ) \hfill \cr b\ \cap \ c \hfill \cr} \right. \Rightarrow a\ \bot \ (\alpha )\)

Hãy nhắc lại nội dung của định lí ba đường vuông góc.

Phương pháp giải:

Xem lại nội dung định lý ba đường vuông góc trong bài Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Hướng dẫn giải:

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α) và b là đường thẳng không thuộc (α) đồng thời không vuông góc với (α). Gọi b′ là hình chiếu của b trên (α). Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b′.

Nhắc lại định nghĩa:

a) góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

b) góc giữa hai mặt phẳng

Phương pháp giải:

a) Xem lại lý thuyết bài Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

b) Xem lại lý thuyết bài Hai mặt phẳng vuông góc.

Hướng dẫn giải:

a) Cho đường  thẳng d cắt mặt phẳng (α) tại điểm O và không vuông góc với (α). Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) là góc tạo bởi đường thẳng và hình chiếu vuông góc d′ của d trên mp (α).

Nếu d // (α) hoặc d ⊂ (α) thì góc giữa d và mặt phẳng (α) bằng \(0^o\).

b) Giả sử hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến c. Từ điểm I bất kì trên c, trong mặt phẳng (α) ta dựng  đường thẳng a vuông góc với c và trong mặt phẳng (β) ta dựng đường thẳng b vuông góc với c. Ta gọi góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai mặt phẳng  (α) và (β).

Nếu (α) // (β) hoặc (α) ≡ (β) thì góc giữa hai mặt phẳng bằng \(0^o\).

Chú ý: góc giữa hai mặt phẳng luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng \(90^o\).

Muốn chứng minh mặt phẳng (α) vuông góc với mặt phẳng (β) người ta thường làm như thế nào?

Phương pháp giải:

Xem lại lý thuyết bài Hai mặt phẳng vuông góc.

Hướng dẫn giải:

- Cách 1: Chứng minh (α) chứa một đường thẳng vuông góc với (β) hoặc (β) chứa một đường thẳng vuông góc với (α):

\(\left\{ \matrix{ d \subset (\alpha ) \hfill \cr d\ \bot \ (\beta ) \hfill \cr} \right. \Rightarrow (\alpha )\ \bot\ (\beta )\).

- Cách 2: Chứng minh góc giữa (α) và (β) bằng \(90^o\).

Hãy nêu cách tính khoảng cách:

a) Từ một điểm đến một đường thẳng;

b) Từ đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a;

c) Giữa hai mặt  phẳng song song.

Phương pháp giải:

Xem lại lý thuyết bài Khoảng cách.

Hướng dẫn giải:

a) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng Δ không đi qua O, ta xác định mặt phẳng (O,Δ) và trong mặt phẳng này kẻ OH ⊥ Δ. Độ dài OH chính là khoảng cách từ O đến Δ.

b) Khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng (α):

Để tính khoảng cách giữa đường thẳng a và (P) song song với a, ta lấy một điểm M bất kì thuộc đường thẳng a. Khoảng cách MH từ điểm M đến (P) chính là khoảng cách giữa đường thẳng a với (P) song song với a.

c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

Để tìm khoảng cách giữa hai (P) và (P′) song song với nhau, ta lấy một điểm M thuộc (P) và tìm khoảng cách MH từ điểm M đến mặt phẳng (P′).

Cho a và b là hai đường thẳng chéo nhau. Có thể tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách nào?

Phương pháp giải:

Xem lại lý thuyết bài Khoảng cách.

Hướng dẫn giải:

- Trường hợp 1: a và b là hai đường thẳng chéo nhau và a ⊥ b

+ Dựng mặt phẳng (α) chứa a và vuông góc với b tại B.

+ Trong (α) dựng BA ⊥a tại A, ta được độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

- Trường hợp 2: a và b là hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau.

+ Dựng mặt phẳng (α) chứa a và song song với b.

+ Lấy một điểm M tùy ý trên b và dựng M' vuông góc với (α) tại M'.

+ Từ M' dựng b' song song với b cắt a tại A.

+ Tự A dựng AB song song với M' cắt b tại B, độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

Chứng minh rằng tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác ABC là đường vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Chiều thuận: Lấy một điểm M bất kì trong không gian sao cho MA = MB = MC. Từ M kẻ MO vuông góc với (ABC). Chứng minh OA = OB = OC.

Chiều ngược: Lấy một điểm M′ ∈ d, nối M′A, M′B, M′C, cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, chứng minh M′A = M′B = M′C.

Hướng dẫn giải:

Chiều thuận: Lấy một điểm M bất kì trong không gian sao cho MA = MB = MC. Từ M kẻ MO vuông góc với (ABC).

Ta có: các tam giác vuông MOA, MOB, MOC bằng nhau, suy ra OA = OB = OC.

Do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vậy các điểm M cách đều ba đỉnh của tam giác ABC nằm trên đường thẳng d đi qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Chiều ngược: Lấy một điểm M′ ∈ d, với d là đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và ⊥(ABC).

Nối M′A, M′B, M′C.

Do M′O chung và OA = OB = OC nên các tam giác vuông M′OA, M′OB, M′OC  bằng nhau, suy ra M′A = M′B = M′C.

Tức là điểm M′ cách đều ba đỉnh A,B,C của tam giác ABC.

Kết luận: Tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song;

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song;

c) Mặt phẳng (α) vuông góc với đường thẳng b mà b vuông góc với đường thẳng a, thì a song song với (α);

d) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song;

e) Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song.

Phương pháp giải:

Suy luận từng đáp án.

Hướng dẫn giải:

a) Đúng.

\(\left\{ \matrix{ a\ \bot \ (P) \hfill \cr b\ \bot \ (P) \hfill \cr} \right. \Rightarrow a //b.\)

b) Đúng.

\(\left\{ \matrix{ (P)\ \bot \ a \hfill \cr (Q)\ \bot \ a \hfill \cr} \right. \Rightarrow (P)//(Q).\)

c) Sai.

 Vì a có thể thuộc mp (α).

d) Sai

Vì hai (α) và (β) cùng vuông góc với (P) thì (α) và (β) vẫn có thể cắt nhau và trong trường hợp này thì giao tuyến của (α) và (β) vuông góc với (P).

e) Sai

Vì hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng này có thể cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với đường thẳng còn lại.

Trong các khẳng định sau đây, điều nào đúng?

a) Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại;

b) Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước;

c) Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác cho trước;

d) Đường thẳng nào vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau cho trước là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Phương pháp giải:

Suy luận từng đáp án.

Hướng dẫn giải:

a) Đúng.

b) Sai.

Vì qua một điểm, ta có thể vẽ được vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

c) Sai.

Vì trong trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta có vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước vì bất kì mặt phẳng nào chứa đường thẳng cũng đều vuông góc với mặt phẳng cho trước.

d) Sai.

Vì đường vuông góc chung của hai đường thẳng phải cắt cả hai đường thẳng ấy.

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA bằng a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.

b) Mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với cạnh SC lần lượt cắt SB, SC và SD tại B′, C′ và D′. Chứng minh B′D′ song song với BD và AB′ vuông góc với SB.

Phương pháp giải:

a) Chứng minh các tam giác có một góc vuông.

b) 

- Chứng minh hai đường thẳng BD và B′D′ cùng vuông góc với mặt phẳng (SAC).

→ B′D′ song song với BD.

- Chứng minh AB′ ⊥ (SBC) ⇒ AB′ ⊥ SB.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} SA \bot \left( {ABCD} \right)\\ AB \subset \left( {ABCD} \right) \end{array} \right. \Rightarrow SA \bot AB \Rightarrow \Delta SAB \ vuông \ tại \ A.\)

\(\left\{ \begin{array}{l} SA \bot \left( {ABCD} \right)\\ AD \subset \left( {ABCD} \right) \end{array} \right. \Rightarrow SA \bot AD \Rightarrow \Delta SAD \ vuông \ tại \ A.\)

\(\left\{ \begin{array}{l} BC\ \bot \ AB\\ BC \bot \ SA \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot SB\Rightarrow \Delta SBC \ vuông \ tại \ B.\)

\(\left\{ \begin{array}{l} CD\ \bot \ AD\\ CD \bot \ SA \end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (SAD) \Rightarrow CD \bot SD\Rightarrow \Delta SCD \ vuông \ tại \ D.\)

b) * Chứng minh: B′D′ song song với BD.

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} BD\ \bot \ AC\\ BD\ \bot \ SA \end{array} \right. \Rightarrow BD\ \bot\ \left( {SAC} \right)\Rightarrow BD⊥SC\).

Lại có:

\((\alpha )\perp SC \Rightarrow BD//(\alpha )\).

Mà \((SBD) \cap (\alpha ) = B'D'\).

Nên B'D' // BD.

* Chứng minh: AB′ vuông góc với SB.

Ta có: 

\(BC\perp (SAB),AB'\subset (SAB)\Rightarrow BC\perp AB'\) (1).

\(SC\perp (\alpha ),AB'\subset (\alpha )\Rightarrow SC\perp AB'\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(AB' \perp (SBC)\Rightarrow AB' \perp SB\).

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc \(\widehat{ BAD} = 60^o\). Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SO = {{3a} \over 4}\). Gọi E là trung điểm của đoạn BC và F là trung điểm của đoạn BE.

a) Chứng minh mặt phẳng (SOF) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

b) Tính các khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC).

Phương pháp giải:

a) Chứng minh BC ⊥ (SOF) → (SOF) ⊥ (SBC).

b) Dựng và tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).

Chứng minh d(A; (SBC)) = 2d(O; (SBC)).

Hướng dẫn giải:

a) Xét tam giác BDC có CD = CB và \(\widehat{ BCD}=\widehat{ BAD} =60^o\) (t/c hình thoi).

⇒ Tam giác BDC là tam giác đều.

\( \Rightarrow BD = a \Rightarrow BO = \frac{1}{2}BD = \frac{a}{2};\ BE = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}\).

Xét tam giác BOE có BO = BE và \(\widehat{ OBE} = 60^o\) nên tam giác BOE đều

Do đó OF là đường cao và ta được OF ⊥ BC.

Lại có BC ⊥ SO.

Suy ra BC ⊥ (SOF).

Mà BC ⊂ (SBC) ⇒ (SOF) ⊥ (SBC).

b) Kẻ OH ⊥ SF.

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} \left( {SOF} \right) \bot \left( {SBC} \right)\\ \left( {SOF} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SF\\ OH \bot SF\\ OH \subset \left( {SOF} \right) \end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OH.\)

Tam giác OBF vuông tại F có:

\(OF = \sqrt {O{B^2} - B{F^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{4}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Tam giác SOF vuông tại O có:

\(\begin{array}{l} SO = \frac{{3a}}{4};OF = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\\ \Rightarrow SF = \sqrt {S{O^2} + O{F^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\ OH.SF = SO.OF \Rightarrow OH = \frac{{3a}}{8} \end{array}\)

Gọi K là hình chiếu của A trên (SBC), ta có AK // OH.

Trong ΔAKC thì OH là đường trung bình, do đó:

AK = 2OH \( \Rightarrow AK = \frac{{3a}}{4}\).

Vậy \(d(A,(SBC))= \frac{{3a}}{4}\).

Tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ADC nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = b. Tam giác ADC vuông tại D có CD = a.

a) Chứng minh các tam giác BAD và BDC đều là tam giác vuông.

b) Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh IK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC.

Phương pháp giải:

a) Chứng minh BA ⊥ (ADC); CD ⊥ (BAD).

b) Gọi J là trung điểm của AC, chứng minh AD ⊥ (IJK) ⇒ IK ⊥ AD.

Chứng minh tam giác IBC cân tại I ⇒ IK ⊥ BC.

→ IK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} \left( {ABC} \right) \bot \left( {ADC} \right)\\ \left( {ABC} \right) \cap \left( {ADC} \right) = AC\\ \left( {ABC} \right) \supset AB \bot AC \end{array} \right. \Rightarrow BA \bot \left( {ADC} \right).\)

⇒ BA ⊥ AD ⇒ ΔBAD vuông tại A.
\(\left\{ \begin{array}{l} BA \bot \left( {ADC} \right) \Rightarrow CD \bot AB\\ CD \bot AD \end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {BAD} \right).\)

⇒ CD ⊥ DB ⇒ ΔBDC vuông tại D.
b) Gọi J là trung điểm của AC ⇒ KJ // BA (đường trung bình của ΔABC).

Mà BA ⊥ (ADC) ⇒ KJ ⊥ (ADC) ⇒ KJ ⊥ AD (1).

Ta cũng có IJ // DC (đường trung bình của ΔADC).

Mà DC ⊥ AD ⇒ IJ ⊥ AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AD ⊥ (KIJ) ⇒ AD ⊥ IK (3).

Ta lại có: ΔBAI = ΔCDI (c.g.c) ⇒ IB = IC

⇒ ΔBIC cân tại I ⇒ IK ⊥ BC (4).

Từ (3) và (4) suy ra IK là đoạn vuông góc chung của AD và BC.

Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a.

a) Chứng minh BC' vuông góc với mặt phẳng (A'B'CD).

b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB' và BC'

Phương pháp giải:

a) Chứng minh BC′ ⊥ B′C; BC′ ⊥ A′B′ → BC′ ⊥ (A'B'CD).

b) Xác định mặt phẳng (AB′D′) chứa AB′ và song song BC′, tìm hình chiếu của BC′ trên mặt phẳng (AB′D′).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có tứ giác BCC′B′ là hình vuông nên BC′ ⊥ B′C (1).

Mặt khác A′B′ ⊥ (BCC′B′) ⇒ A′B′ ⊥ BC′ (2).

Từ (1) và (2) suy ra: BC′⊥(A′B′C′D′).

b) Do AD′ // BC′ nên mặt phẳng (AB′D′) là mặt phẳng chứa AB′ và song song với BC′.

Ta tìm hình chiếu của BC′ trên (AB′D′):

Gọi E, F là tâm của các mặt bên ADD′A′ và BCC′B′.

Từ F kẻ FI ⊥ B′E. Ta có BC′ // AD′ mà BC′ ⊥ (A′B′CD).

⇒ AD′ ⊥ (A′B′CD) và IF ⊂ (A′B′CD).

Ta có: AD′ ⊥ IF và EB′ ⊥ IF suy ra: IF ⊥ (AB′D′).

Vậy I là hình chiếu của F trên (AB′D′).

Qua I ta dựng đường thẳng song song với BC′ cắt AB′ tại K.

Qua K kẻ đường thẳng song song với IF, đường này cắt BC′ tại H.

KH chính là đường vuông góc chung của AB′ và BC′.

Tam giác EFB′ vuông góc tại F, FI là đường cao có:

\({1 \over {I{F^2}}} = {1 \over {FB{'^2}}} + {1 \over {F{E^2}}}\) với \(\left\{ \matrix{ FB' = {{a\sqrt 2 } \over 2} \hfill \cr {\rm{EF = a}} \hfill \cr} \right.\)

⇒ \({\rm{IF}} = {{a\sqrt 3 } \over 3} \Rightarrow KH = {\rm{IF = }}{{a\sqrt 3 } \over 3}\).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi ABCD cạnh a có góc \(\widehat{BAD}=60^o\) và \(SA=SB=SD=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC.

b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

c) Chứng minh SB vuông góc với BC.

d) Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Tính tan φ.

Phương pháp giải:

a) Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, chứng minh d(S, (ABCD) = SH.

Sử dụng định lí Pytago tính SH và SC.

b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) chứa 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

c) Sử dụng định lí Pitago đảo chứng minh ΔSBC vuông tại B.

d) Tìm hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

→ φ là góc tạo bởi hai đường thẳng đó.

Hướng dẫn giải:

a) Kẻ SH ⊥ (ABCD).

Do SA = SB = SD suy ra HA = HB = HC.

⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Do AB = AD = a và \(\widehat{ BAD} = 60^o\) nên tam giác ABD là tam giác đều cạnh a.

Ta có:

\(\eqalign{ & AO = {{a\sqrt 3 } \over 2} \cr & AH = {2 \over 3}AO \Rightarrow AH = {{a\sqrt 3 } \over 3} \cr}\)

Tam giác SAH vuông tại H có: \(SA = {{a\sqrt 3 } \over 2};\ AH = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)

⇒ \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{6}\) và \(HC = {{2a\sqrt 3 } \over 3}\).

Tam giác SHC vuông tại H có:

\(S{C^2} = S{H^2} + H{C^2}\) ⇒ \(SC = {{a\sqrt 7 } \over 2}\).

b) Ta có:

\(\left. \matrix{ SH \bot (ABCD) \hfill \cr SH \subset (SAC) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow (SAC) \bot (ABCD).\)

c) Ta có:

\(\eqalign{ & S{C^2} = {{7{a^2}} \over 4}\ (1) \cr & B{C^2} = {a^2}\ (2) \cr & S{B^2} = {{3{a^2}} \over 4}\ (3) \cr}\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(S{C^2} = B{C^2} + S{B^2}\).

Vậy tam giác SBC vuông tại B.

d) Ta có:

\(\eqalign{ & \left. \matrix{ DB \bot AC \hfill \cr SH \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot DB \hfill \cr} \right\} \Rightarrow DB \bot (SAC) \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ DB \bot {\rm{OS}} \hfill \cr {\rm{DB}} \bot AC \hfill \cr} \right. \cr}\)

Suy ra \(\widehat{ SOH}\) là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).

Ta có:

\(\eqalign{ & \widehat{ SOH} = \varphi \cr & \tan \varphi = {{SH} \over {OH}} \Rightarrow \tan \varphi = \sqrt 5. \cr}\)

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

(A) Từ \(\overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AC}\) ta suy ra \(\overrightarrow {BA} = - 3\overrightarrow {CA}\);

(B) Từ \(\overrightarrow {AB} = - 3\overrightarrow {AC}\) ta suy ra \(\overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {AC}\);

(C) Vì \(\overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AC} + 5\overrightarrow {AD}\) nên bốn điểm A, B, C và D cùng thuộc một mặt phẳng;

(D) Nếu \(\overrightarrow {AB} = - {1 \over 2}\overrightarrow {BC}\) thì B là trung điểm của đoạn AC.

Phương pháp giải:

(A) (D) Áp dụng tính chất \(\overrightarrow {AB} =- \overrightarrow {BA} \).

(B) Phân tích \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} \) suy ra \(\overrightarrow {CB} =?\)

(C) Sử dụng điều kiện để ba vectơ đồng phẳng.

Hướng dẫn giải:

(A) Sai.

Vì ta có: \(\left\{ \matrix{\overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {BA} \hfill \cr \overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {CA} \hfill \cr} \right.\)

Nên \(\overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AC}\) ⇒ \(\overrightarrow {BA} = 3\overrightarrow {CA}\).

(B) Sai.

Vì \(\overrightarrow {AB} = - 3\overrightarrow {AC} \Rightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = - 4\overrightarrow {AC} \Rightarrow \overrightarrow {CB} = - 4\overrightarrow {AC}\).

(C) Đúng.

Vì \(\overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AC} + 5\overrightarrow {AD}\) ⇒ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD}\) đồng phẳng. Vậy 4 điểm A, B, C, D cùng nằm trong một mặt phẳng.

(D) Sai.

Vì \(\overrightarrow {AB} = - {1 \over 2}\overrightarrow {BC} \Rightarrow \overrightarrow {BA} = {1 \over 2}BC\).

⇒ \(\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC}\) cùng phương. Do đó điểm B nằm ngoài đoạn thẳng AC, B không là trung điểm của AC.

Vậy chọn đáp án C.

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:

(A) Vì \(\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow 0\) nên N là trung điểm của đoạn MP;

(B) Vì I là trung điểm của đoạn AB nên từ một điểm O bất kì ta có: \(\overrightarrow {OI} = {1 \over 2}(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} )\);

(C) Từ hệ thức \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AC} - 8\overrightarrow {AD}\) ta suy ra ba vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD}\) đồng phẳng;

(D) Vì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = 0\) nên bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng.

Phương pháp giải:

(A) Áp dụng định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng.

(B) Áp dụng công thức trung điểm.

(C) Sử dụng điều kiện để ba vectơ đồng phẳng.

(D) Chứng minh mệnh đề đã cho luôn đúng.

Hướng dẫn giải:

(A) Đúng.

Vì N là trung điểm của đoạn MP nên: \(\overrightarrow {NM} = - \overrightarrow {NP} \Rightarrow \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} = 0\).

(B) Đúng.

Vì:

 \(\eqalign{& \overrightarrow {OI} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AI} \cr& \overrightarrow {OI} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BI} \Rightarrow 2\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + (\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BI} ) \cr}\)

Do I là trung điểm của đoạn thẳng AB nên:

\(\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BI} = \overrightarrow 0 \Rightarrow 2\overrightarrow {OI} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB}\).

(C) Đúng vì thỏa điều kiện 3 vectơ đồng phẳng.

(D) Sai.

Vì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} =\overrightarrow {AA}= 0\) (luôn đúng).

Vậy chọn đáp án D.

Trong các mệnh đề sau, kết quả nào đúng?

Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG}\) bằng:

(A) \(a^2\);

(B) \(a^2\sqrt 2\);

(C) \(a^2\sqrt3\);

(D) \({{{a^2}\sqrt 2 } \over 2}\).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\).

Hướng dẫn giải:

\(\eqalign{& \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \cr & \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} = |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AC} |.cos{45^0} \cr & \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} = a.a\sqrt 2 .{{\sqrt 2 } \over 2} = {a^2.} \cr}\)

Vậy chọn đáp án A.

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

(A) Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a vuông góc với c;

(B) Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song với đường thẳng c thì a vuông góc với c;

(C) Cho ba đường thẳng a, b và c vuông góc với nhau từng đôi một. Nếu có một đường thẳng d vuông góc với a thì d song song với b hoặc c.

(D) Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Nếu đường thẳng c vuông góc với a thì c vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (a,b).

Phương pháp giải:

Suy luận từng đáp án.

Hướng dẫn giải:

(A) Sai vì a, c có thể cắt nhau khi cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với b.

(B) Đúng vì c và b song song với nhau nên góc giữa a và c bằng góc giữa a và b.

Mà a ⊥ b ⇒ a ⊥ c.

(C) Sai tương tự câu (A).

(D) Sai vì chưa đủ kết luận c vuông góc với mọi đường nằm trong mặt phẳng (a, b).

Vậy chọn đáp án B.

Trong các mệnh đề sau, hãy tìm mệnh đề đúng.

(A) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau;

(B) Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia;

(C) Hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. Với mỗi điểm A thuộc (α) và mỗi điểm B thuộc (β) thì ta có đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng d;

(D) Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) đều vuông góc với mặt phẳng thì giao tuyến d của (α) và (β) nếu sẽ vuông góc với d.

Phương pháp giải:

Suy luận từng đáp án.

Hướng dẫn giải:

(A) Sai.

Vì mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vẫn có thể cắt nhau.

(B) Sai.

Vì hai mặt phẳng này vuông góc với nhau thì chỉ có những đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì mới vuông góc với mặt phẳng kia.

(C) Sai.

(D) Đúng (Định lí 2 trang 109 SGK).

Vậy chọn đáp án D.

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:

(A) Cho hai đường thẳng a và b trong không gian có các vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v\). Điều kiện cần và đủ để a và b chéo nhau là a và b không có điểm chung và hai vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v\) không cùng phương.

(B) Gọi a và b là hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Đường thẳng vuông góc chung của a và b nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia.

(C) Không thể có một hình chóp tứ giác S.ABCD này có hai mặt bên (SAB) và (SCD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy.

(D) Gọi \(\left\{ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right\}\) là cặp vecto chỉ phương của hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (α) và là vecto chỉ phương của đường thẳng Δ. Điều kiện cần và đủ để Δ ⊥ (α) là: \(\left\{ \matrix{\overrightarrow {n.} \overrightarrow u = 0 \hfill \cr \overrightarrow {n.} \overrightarrow v = 0 \hfill \cr} \right.\).

Phương pháp giải:

Suy luận từng đáp án.

Hướng dẫn giải:

(A) Đúng.

Từ giả thiết a và b không có điểm chung và các vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v\) của chúng không cùng phương, ta suy ra hai đường thẳng a,b không đồng phẳng vì chúng không trùng nhau, không cắt nhau, không song song với nhau. Vậy a và b chéo nhau. Ngược lại nếu a và b chéo nhau thì rõ ràng a và b không có điểm chung và \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v\) không cùng phương.

(B) Đúng.

a và b có đường vuông góc chung là c, a⊥b.

Ta có:

\(\left. \matrix{a \bot b \hfill \cr a \bot c \hfill \cr} \right\} \Rightarrow a \bot (b,c)\).

Tương tự ta có: \(b ⊥ (a, c)\).

(C) Sai.

Xét trường hợp AB và CD cắt nhau tại một điểm H.

Ta lấy S trên đường thẳng vuông góc với (ABCD). Kẻ từ H thì rõ ràng (SAB) ⊥ (ABCD) và (SCD) ⊥(ABCD).

(D) Đúng.

\(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow n .\overrightarrow u = 0\\ \overrightarrow n .\overrightarrow v = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow n \bot \overrightarrow u \\ \overrightarrow n \bot \overrightarrow v \end{array} \right. \Rightarrow \Delta \bot \left( \alpha \right).\)

Vậy chọn đáp án C.

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

(A) Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng;

(B) Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳng;

(C) Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì đồng phẳng;

(D) Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không đồng phẳng thì đồng quy.

Phương pháp giải:

Suy luận từng đáp án.

Hướng dẫn giải:

(A) Sai vì có thể xảy ra trường hợp ba đường thẳng đồng quy nhưng không đồng phẳng.

(B) Sai vì nếu đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm của hai đường thẳng đã cho thì xảy ra trường hợp cả ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.

(C) Sai vì có thể xảy ra trường hợp đồng quy nhưng không đồng phẳng.

(D) Đúng.

Vậy chọn đáp án D.

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

(A) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau;

(B) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau;

(C) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau;

(D) Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.

Phương pháp giải:

Suy luận từng đáp án.

Hướng dẫn giải:

(A) Đúng.

(B) Sai. Vì hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vẫn có thể cắt nhau.

(C) Sai. Vì chúng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

(D) Sai. Vì chúng có thể trùng nhau.

Vậy chọn đáp án A.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau;

(B) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cắt nhau;

(C) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau;

(D) Một mặt phẳng (α) và một đường thẳng a không thuộc (α) cùng vuông góc với đường thẳng b thì (α) song song với a.

Phương pháp giải:

Suy luận từng đáp án.

Hướng dẫn giải:

(A) Sai. Vì chúng có thể cùng nằm tronng mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho và cắt nhau. Hoặc chúng có thể chéo nhau.

(B) Sai. Vì chúng có thể song song với nhau.

(C) Sai. Vì chúng có thể cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với đường thẳng đã cho nên có thể song song hoặc cắt nhau.

(D) Đúng.

Vậy chọn đáp án D.

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

(A) Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại;

(B) Qua một điểm cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước;

(C) Qua một điểm cho trước có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước;

(D) Cho ba đường thẳng a,b và c chéo nhau từng đôi một. Khi đó ba đường thẳng này sẽ nằm trong ba mặt phẳng song song với nhau từng đôi một.

Phương pháp giải:

Suy luận từng đáp án.

Hướng dẫn giải:

(A) Đúng.

(B) Sai. Vì qua một điểm cho trước ta có thể dựng vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

(C) Sai. Qua một điểm cho trước có thể kẻ vô số đường thẳng vuông góc với đường thẳng aa cho trước. Các đường thẳng này nằm trong mặt phẳng đi qua điểm đã cho và vuông góc với đường thẳng a.

(D) Sai.

Vậy chọn đáp án A.

Khoảng cách giữa hai cạnh đối của một tứ diện đều cạnh a là bằng:

(A) \({{3a} \over 2}\);

(B) \({{a\sqrt 2 } \over 2}\);

(C) \({{a\sqrt 3 } \over 2}\);

(D) \(a\sqrt2\).

Phương pháp giải:

Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD. Tính độ dài đoạn vuông góc chung đó.

Hướng dẫn giải:

Gọi I là trung điểm cạnh AB.

J là trung điểm của cạnh CD.

IJ là đoạn vuông góc của cạnh AB và CD.

Độ dài của IJ là khoảng cách giữa hai cạnh đối AB, CD của tứ diện.

Tứ diện cạnh a nên:

\(\eqalign{& BJ = {{a\sqrt 3 } \over 2},BI = {a \over 2} \cr & \Rightarrow {\rm{I}}{{\rm{J}}^2} = B{J^2} - B{I^2} \cr & \Rightarrow {\rm{I}}{{\rm{J}}^2} = {{2{a^2}} \over 4} \Rightarrow {\rm{I}}{{\rm{J}}^2} = {{a\sqrt 2 } \over 2} \cr}\)

Vậy chọn đáp án B.