Toán 11 Chương 1 Bài 5: Phép quay

a) Định nghĩa

Cho điểm O và góc lượng giác \(\alpha .\) Phép biến hình biến O thành chính nó và biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho OM=OM’ và góc lượng giác (OM,OM’) bằng \(\alpha \) được họi là phép quay tâm O góc \(\alpha .\)

Ký hiệu: \({Q_{\left( {O,\alpha } \right)}}\)

- Điểm O gọi là tâm quay, \(\alpha \) gọi là góc quay.

Nhận xét:

- Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác, ngược lại là chiều âm.

- Với số nguyên k:

Phép quay \({Q_{\left( {O,k2\pi } \right)}}\) là phép đồng nhất.

Phép quay \({Q_{\left( {O,\pi  + k2\pi } \right)}}\) là phép đối xứng tâm.

b) Biểu diễn ảnh của phép quay

Cho tam giác ABC và điểm O. Hãy biểu diễn ảnh A’B’C’ của tam giác ABC qua phép quay tâm O góc quay \(\frac{\pi }{2}\).

a) Tính chất 1

Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

b) Tính chất 2

Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

c) Nhận xét

Phép quay góc quay \(0 < \alpha  < \pi \) biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ sao cho:

• \(\left( {d,d'} \right) = \alpha \) nếu \(0 < \alpha  \le \frac{\pi }{2}\)
• \(\left( {d,d'} \right) = \pi  - \alpha \) nếu \(\frac{\pi }{2} \le \alpha  < \pi \)

Câu 1: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy xác định ảnh của:

a) \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay 3600.

b) \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay 1200.

c) \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay -1800.

d) \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay -3000.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O{{,360}^0}} \right)}}\left( A \right) = A\\{Q_{\left( {O{{,360}^0}} \right)}}\left( B \right) = B\end{array} \right. \Rightarrow {Q_{\left( {O{{,360}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = OAB\)

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O{{,120}^0}} \right)}}\left( A \right) = E\\{Q_{\left( {O{{,120}^0}} \right)}}\left( B \right) = F\end{array} \right. \Rightarrow {Q_{\left( {O{{,120}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = OEF.\)

c) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O, - {{180}^0}} \right)}}\left( A \right) = D\\{Q_{\left( {O, - {{180}^0}} \right)}}\left( B \right) = E\end{array} \right. \Rightarrow {Q_{\left( {O, - {{180}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = ODE.\)

d) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O, - {{300}^0}} \right)}}\left( A \right) = F\\{Q_{\left( {O, - {{300}^0}} \right)}}\left( B \right) = A\end{array} \right. \Rightarrow {Q_{\left( {O, - {{300}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = OFA.\)

Câu 2: Tìm ảnh của điểm A(3;4) qua phép quay tâm O góc quay \({90^0}.\)

Hướng dẫn giải

Do \(\alpha  = {90^0} > 0\) phép quay theo chiều dương suy ra: \(A'( - 4;3).\)

Câu 1: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy xác định ảnh của:

a)  \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay -3000.

b)  \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay 1800.

c)  \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay 300.

d)  \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay 36000.

Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(0;4) và đường thẳng d: \(2x + y - 4 = 0,\) đường tròn \({x^2} + {y^2} - 4y = 0.\)  Xét phép quay Q tâm O góc quay

a) Tìm ảnh của điểm M qua phép quay Q.

b) Tìm ảnh của d qua phép quay Q.

c) Tìm ảnh của (C) qua phép quay Q.

Câu 3: Tìm ảnh của điểm A(-4;-3) qua phép quay tâm O góc quay \(90^0\)

Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của điểm M (-6;1) qua phép quay Q(O; 90) là:

A. M'(-1;-6)

B. M'(1;6)

C. M'(-6;-1) 

D. M'(6;1)

Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy phép quay Q(O; 900) biến đường thẳng d có phương trình x - 2y = 0 thành đường thẳng d’ có phương trình:

A. x + 2y = 0

B.  2x + y = 0

C.  2x - y = 0

D. x - y + 2 = 0

Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 3)2 + y2 = 4. Phép quay tâm O(0;0) góc quay 900 biến (C) thành (C’) có phương trình:

A. x² + y² - 6x + 5 = 0

B. x² + y² - 6y + 6 = 0

C. x² + y² + 6x - 6 = 0

D. x² + y² - 6y + 5 = 0

Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy, tìm ảnh của điểm A(-1;2) qua phép quay tâm O góc \({90^0}.\)

A. \(A'(2;1)\)

B. \(A'( - 2; - 1)\)

C. \(A'( - 1; - 2)\)

D. \(A'(1;2)\)

Câu 5: Trong mặt phẳng Oxy, tìm ảnh của đường tròn \((C):{(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} = 9\)  qua phép quay tâm O góc \({90^0}.\)

A. \({(x + 2)^2} + {(y + 1)^2} = 9\)  

B. \({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} = 9\)

C. \({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} = 9\)

D. \({(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} = 9\)

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Khái niệm, tính chất và các dạng bài tập liên quan đến Phép quay.
• Nắm được phương pháp làm bài, qua đó làm chủ nội dung bài học này.