Toán 11 Chương 5 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Ở bài 1, các em đã được tìm hiều về khái niệm đạo hàm và phương pháp tính đạo hàm bằng định nghĩa. Khuyết điểm của phương pháp này là rất khó áp dụng với các hàm số phức tạp, và phải trải qua nhiều công đoạn tính toán. Bài 2 Quy tắc tính đạo hàm sẽ giới thiệu đến các em công thức tính đạo hàm của các hàm số thường gặp và hàm hợp của chúng, các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em hình thành và rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm.

Toán 11 Chương 5 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Toán 11 Chương 5 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Công thức

(c)=0       ( c là hằng số);

(xn)=nxn1 (nN,xR);

(x)=12x (x>0).

1.2. Phép toán

(u+v)=u+v

(uv)=uv

(uv)=uv+uv

(ku)=ku (k là hằng số)

(uv) = uvuvv2 , ( v=v(x)0);

(1v) = vv2 , ( v=v(x)0).

1.3. Đạo hàm của hàm hợp

yx=yu.ux

Hệ quả

  • (un)=n.un1.u
  • (u)=u2u.

2. Bài tập mminh họa

2.1. Bài tập 1

Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y=7+xx2 tại x0=1

b) y=x32x+1 tại x0=2

Hướng dẫn giải

a) Giả sử  x  là số gia của đối số tại x0=1. Ta có:

Δy=f(1+Δx)f(1)Δy=7+(1+Δx)(1+Δx)27Δy=1+Δx12Δx(Δx)2Δy=(Δx)2ΔxΔyΔx=Δx1limΔx0ΔyΔx=limΔx0(Δx1)=1

Vậy f(1)=1.

b) Giả sử  x  là số gia của số đối tại x0=2. Ta có:

Δy=f(2+Δx)f(2)Δy=(2+Δx)32(2+Δx)+15Δy=8+12Δx+6(Δx)2+(Δx)342Δx4Δy=(Δx)3+6(Δx)2+10ΔxΔyΔx=(Δx)2+6Δx+10limΔx0ΔyΔx=limΔx0((Δx)2+6Δx+10)=10

Vậy f(2)=10.

2.2. Bài tập 2

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y=x54x3+2x3

b) y=1413x+x20,5x4

Hướng dẫn giải

a) 

y=(x54x3+2x3)=(x5)(4x3)+(2x)(3)=(x5)4.(x3)+2.(x)0=5x44.3x2+2=5x412x2+2

b) 

y=(1413x+x20,5x4)=(14)(13x)+(x2)(0,5x4)=013(x)+(x2)0,5(x4)=13+2x0,5.4x3=13+2x2x3

2.3. Bài tập 3

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y=x3a2x2 ( a là hằng số)

b) y=1+x1x

Hướng dẫn giải

a)

y=x3a2x2(a=const)y=(x3)a2x2x3(a2x2)(a2x2)2y=3x2a2x2x3.(a2x2)2a2x2(a2x2)2y=3x2a2x2x3.2x2a2x2a2x2y=3x2(a2x2)+x4(a2x2)3y=3x2a22x4(a2x2)3

b) Với Δx là số gia của đối số tại x ta có:

Δy=f(x+Δx)f(x)=3(x+Δx)+13x+1=3(x+Δx)+1(3x+1)3(x+Δx)+1+3x+1=3Δx3(x+Δx)+1+3x+1ΔyΔx=33(x+Δx)+1+3x+1y=limΔx0ΔyΔx=limΔx033(x+Δx)+1+3x+1=33(x+0)+1+3x+1=323x+1

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: y=2x4x2+5x367x4.

Câu 2: Tìm đạo hàm của hàm số sau:

a) y=(92x)(2x39x2+1).

b) y=53xx2x2.

Câu 3: Tìm đạo hàm của hàm số sau:

y=(x2+1)(x3+1)2(x4+1)3.

Câu 4: Rút gọn: 

f(x)=(x12(x+1)+1).2x+1 :(x2x+2+x2+x2x24x+2)2 và tìm f'(x)

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hàm số f(x)=13x322x2+8x1, có đao hàm là f(x). Tập hợp những giá trị của x để f(x)=0 là:

A. {22}

B. {2;2}

C. {42}

D. {22}

Câu 2: Cho hàm số y=3x3+x2+1, có đạo hàm y. Để y0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?

A. [29;0]

B. [92;0]

C. (;92][0;+)

D. (;29][0;+)

Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số f(x)=x4+4x33x2+2x+1 tại điểm x=1

A. f(1)=4

B. (1)=14

C. f(1)=15

D. f(1)=24 

Câu 4: Cho hàm số 13x3(2m+1)x2mx4, có đạo hàm y. Tìm tất cả các giá trị của m y0 với xR

A. m(1;14)

B. m[1;14]

C. m(;1][14;+)

D. m[1;14]

Câu 5: Cho hàm số y=13mx3+(m1)x2mx+3, có đạo hàm là y. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình y=0 có hai nghiệm phân biệt là x1,x2 thỏa mãn x21+x22=6.

A. m=1+2;m=12

B. m=12

C. m=1+2;m=12

D. m=1+2

4. Kết luận

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

  • Nắm vững công thức tính đạo hàm của 1 số hàm số thường gặp, các phép toán đạo hàm: tổng, hiệu, tích, thương và nắm được khái niệm hàm số hợp, công thức tính đạo hàm của hàm số hợp.
  • Biết vận dụng các công thức về: đạo hàm của 1 số hàm số thường gặp , các phép toán đạo hàm: tổng, hiệu, tích, thương và công thức tính đạo hàm của hàm số hợp.
Ngày:17/08/2020 Chia sẻ bởi:Minh Ngoan

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM