Toán 11 Ôn tập chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian

a) Định nghĩa và các phép toán về vectơ trong không gian

- Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu \(\overrightarrow {AB} \) chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là \(\overrightarrow {a} \), \(\overrightarrow {b} \), \(\overrightarrow {x} \), \(\overrightarrow {y} \), ...

- Phép cộng và phép trừ hai vectơ trong không gian được định nghĩa tương tự như phép cộng và phép trừ hai vectơ trong mặt phẳng. Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng.

- Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C bất kì ta có  \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) hay \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \).

- Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) .

- Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A là AB, AD, AA' và có đường chéo là AC. Khi đó ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC} \).

- Trong không gian, tích của vectơ \(\overrightarrow {a} \) với một số k \( \ne \) 0 là vectơ \(k\overrightarrow {a} \) được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng và có các tính chất giống như các tính chất đã được xét trong mặt phẳng.

b) Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ

- Trong không gian cho ba vectơ ​\(\overrightarrow {a} \), \(\overrightarrow {b} \), \(\overrightarrow {c} \) đều khác vectơ - không​. Nếu từ một điểm O bất kì ta vẽ ​\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \)​, \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \),​ \(\overrightarrow {OC} = \overrightarrow c \)​ thì có thể xảy ra hai trường hợp:

+ Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt phẳng. Khi đó ta nói ba vectơ \(\overrightarrow {a} \), \(\overrightarrow {b} \), \(\overrightarrow {c} \) không đồng phẳng.

+ Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói ba vectơ \(\overrightarrow {a} \), \(\overrightarrow {b} \), \(\overrightarrow {c} \) đồng phẳng.

- Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

- Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:

+ Định lí 1: Trong không gian cho hai vectơ \(\overrightarrow {a} \), \(\overrightarrow {b} \) không cùng phương và vectơ \(\overrightarrow {c} \). Khi đó ba vectơ \(\overrightarrow {a} \), \(\overrightarrow {b} \), \(\overrightarrow {c} \) đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho \(\overrightarrow {c}=m\overrightarrow {a}+n\overrightarrow {b} \). Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất.

+ Định lí 2: Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng \(\overrightarrow {a} \), \(\overrightarrow {b} \), \(\overrightarrow {c} \). Khi đó với mọi vectơ \(\overrightarrow {x} \) ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho \(\overrightarrow {x}=m\overrightarrow {a}+n\overrightarrow {b} +p\overrightarrow {c} \). Ngoài ra bộ ba số m, n, p duy nhất.

a) Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

- Trong không gian, cho \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) là hai vectơ khác vectơ - không. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow u \), \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow v \). Khi đó ta gọi góc \(\widehat{BAC}\) \(({0^o} \le \widehat {BAC} \le {180^o})\) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) trong không gian, kí hiệu là \((\overrightarrow u ,\overrightarrow v)\). 

- Trong không gian cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) đều khác vectơ - không. Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) là một số, kí hiệu là \(\vec u .\vec v\), được xác định bởi công thức: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.c{\rm{os(}}\overrightarrow {\rm{u}} .\overrightarrow v )\).

b) Vectơ chỉ phương của đường thẳng

- Vectơ \(\overrightarrow a \) khác vectơ - không được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ \(\overrightarrow a \) song song hoặc trùng với đường thẳng d.

c) Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

- Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a' và b' cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.

d) Hai đường thẳng vuông góc

- Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \(90^o\).

a) Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng \((\alpha)\) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng \((\alpha)\). Kí hiệu: \(d \bot \left( \alpha \right)\).

b) Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

- Định lí: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

- Hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba.

c) Tính chất

- Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

- Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

d) Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

- Tính chất 1:

+ Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

+ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

- Tính chất 2:

+ Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

+ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

- Tính chất 3:

+ Cho đường thẳng a và mặt phẳng \((​\alpha)\) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với \((​\alpha)\) thì cũng vuông góc với a.

+ Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

e)  Phép chiếu vuông góc

- Cho đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng \((​\alpha)\). Phép chiếu song song theo phương của \(\Delta \) lên mặt phẳng \((​\alpha)\)  được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng \((​\alpha)\).

- Định lí ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a nằm trong \((​\alpha)\) và b là đường thẳng không thuộc \((​\alpha)\) đồng thời không vuông góc với \((​\alpha)\). Gọi b' là hình chiếu vuông góc của b trên \((​\alpha)\). Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b'.

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng d và \((​\alpha)\).

+ Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng \((​\alpha)\) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \((​\alpha)\) bằng \(90^o\).

+ Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng \((​\alpha)\) thì góc giữa d và hình chiếu d' của nó trên \((​\alpha)\) gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \((​\alpha)\).

a) Góc giữa hai mặt phẳng

- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

- Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa hai mặt phẳng đó bằng \(0^o\).

- Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau:

+ Giả sử hai mặt phẳng \((\alpha)\) và \((\beta)\) cắt nhau theo giao tuyến c.

+ Từ một điểm I bất kỳ trên c ta dựng trong \((\alpha)\) đường thẳng a vuông góc với c và dựng trong \((\beta)\) đường thẳng b vuông góc với c.

+ Góc giữa hai mặt phẳng \((\alpha)\) và \((\beta)\) là góc giữa hai đường thẳng a và b.

- Diện tích hình chiếu của một đa giác: Cho đa giác H nằm trong mặt phẳng \((\alpha)\) có diện tích S và H là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng \((\beta)\). Khi đó diện tích S' của H được tính theo công thức: \(S' = Scos\varphi \) với \(\varphi \)  là góc giữa \((\alpha)\) và \(\beta\).

b) Hai mặt phẳng vuông góc

- Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông.

- Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

+ Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

+ Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng \((\alpha)\) và \((\beta)\) vuông góc với nhau. Nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng \((\alpha)\) ta dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \((\beta)\) thì đường thẳng này nằm trong mặt phẳng \((\alpha)\).

- Định lí 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm O và đường thẳng a. Trong mặt phẳng (O, a) gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên a. Khi đó khoảng cách giữa O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a. Kí hiệu d(O, a).

- Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm O và mặt phẳng (\(\alpha\)). Trong mặt phẳng (O, (\(\alpha\))) gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên (\(\alpha\)). Khi đó khoảng cách giữa O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng \((\alpha)\). Kí hiệu d(O, \(\alpha\)).

- Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (\(\alpha\)). Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (\(\alpha\)) là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mặt phẳng (\(\alpha\)). Kí hiệu là d(a, (\(\alpha\))).

- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới mặt phẳng kia.

- Đường vuông góc chung:

+ Đường thẳng \(\Delta \) cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b.

+ Nếu đường vuông góc chung \(\Delta \) cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì độ dài đoạn MN được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

- Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Trường hợp 1: a và b là hai đường thẳng chéo nhau và a \( \bot \) b

+ Dựng mặt phẳng \((\alpha)\) chứa a và vuông góc với b tại B.

+ Trong \((\alpha)\) dựng BA \( \bot \) a tại A, ta được độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

Trường hợp 2: a và b là hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau.

+ Dựng mặt phẳng \((\alpha)\) chứa a và song song với b.

+ Lấy một điểm M tùy ý trên b và dựng MM' vuông góc với \((\alpha)\) tại M'.

+ Từ M' dựng b' song song với b cắt a tại A.

+ Tự A dựng AB song song với MM' cắt b tại B, độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

- Nhận xét

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chưa hai đường thẳng đó.

Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a, H là chân đường cao của hình chóp. Gọi M là trung điểm BC.

a) Chứng minh rằng: (SBC) \(\bot\) (SAM).

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).

Hướng dẫn giải:

a) Tam giác ABC có M là trung điểm BC suy ra AM \(\bot\) BC (1).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} BC \bot SH\\ BC \bot HM \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot SM\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra BC \(\bot\) (SAM).

Mà BC \(\subset \) (SBC) nên (SBC) \(\bot\) (SAM).

b) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} BC \bot AM\\ BC \bot SM \end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SMH}\).

Xét tam giác ABM vuông tại M ta có:

AM = AB. sinB = 2a. sin \(60^o\) = \(2a.\frac {\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\).

Vì tam giác ABC là tam giác đều nên H là trọng tâm tam giác ABC.

Suy ra HM = \(\frac{1}{3}AM=\frac{a\sqrt3}{3}\).

Xét tam giác vuông SHM vuông tại H ta có:

\(\tan SMH = \frac{{SH}}{{HM}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{3}}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SMH} = {60^o}\).

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm H của tam giác ABC, SH = \(\frac{a\sqrt6}{6}\).

a) Chứng minh: SH \(\bot\) CD và AC \(\bot\) (SBD).

b) Tính \(\widehat {\left( {SO,\left( {ABCD} \right)} \right)}\).

c) Tính d(AB, SC).

Hướng dẫn giải:

a) 

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} SH \bot \left( {ABCD} \right)\\ CD \subset \left( {ABCD} \right) \end{array} \right. \Rightarrow SH \bot CD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} AC \bot BD\\ AC \bot SH\\ BD \cap SH = H\\ BD,SH \subset \left( {SBD} \right) \end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right)\).

b) Do SH vuông góc với đáy nên OH là hình chiếu của SO lên (ABCD).

Suy ra \(\widehat {\left( {SO,\left( {ABCD} \right)} \right)}=\widehat{SOH}\).

Ta có:

\(HO = \frac{1}{3}BO = \frac{1}{6}BD = \frac{{a\sqrt 2 }}{6}\).

Do đó: tan \(\widehat{SOH}\) = \(\frac{{SH}}{{OH}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 6 }}{6}}}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{6}}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SOH} = {60^o}\).

c) Kẻ HI vuông góc với CD tại I.

Ta có: SH vuông góc với CD suy ra CD \(\bot\) (SHI) mà CD \( \subset \) (SCD) nên (SHI) \(\bot\) (SCD) theo giao tuyến SI.

Từ H kẻ HJ vuông SI tại J. Khi đó HJ \(\bot\) (SCD).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} AB \not\subset \left( {SCD} \right)\\ AB//CD \subset \left( {SCD} \right) \end{array} \right. \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right)\).

Mà CD \( \subset \) (SCD) nên d(AB, SC) = d(AB, (SCD)) = d(B, (SCD)) (1)

Do đường thẳng BH cắt (SCD)tại D nên:

\(\frac{{d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{BD}}{{HD}} = \frac{3}{2} \Rightarrow d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{3}{2}d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right)\) (2).

Do J là hình chiếu của H trên (SCD) nên d(H, (SCD))= HJ.

HJ là đường cao của tam giác vuông SHI nên:

\(\frac{1}{{H{J^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} \Rightarrow HJ = \frac{{2a}}{{\sqrt {33} }}\) (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra d(AB, SC) = \(\frac{{a\sqrt {33}}}{{11 }}\).

Bài 1: Cho hình chóp S.BCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O. Biết SA vuông góc với đáy và có độ dài bằng a. Gọi M, N là trung điểm của SA và SB.

a) Chứng minh MN \(\bot\) BC.

b) Chứng minh BD \(\bot\) (SAC) và tính góc giữa đường thẳng SO và mặt đáy.

c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (DCMN) và (ABCD).

Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a.

a) Chứng minh B'D \(\bot\) (BA'C') và BC' \(\bot\) (A'B'CD).

b) Tính d((BA'C'), (ACD')).

c) Tính d(BC', CD').

d) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB' và BC'.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, biết BA = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N là trung điểm của SA và SD.

a) Tính d(AC, MN) và \(\widehat {\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right)}\).

b) Tính \(\widehat {\left( {(DCNM),\left( {ABCD} \right)} \right)}\).

c) Kẻ đường cao SH của tam giác SAD. Tính d(S, (DCNM)).

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, các cạnh bên đều bằng \(\frac{a\sqrt3}{2}\). Gọi (P) là mặt phẳng qua A và song song với Bc và vuông góc với SI (I là trung điểm BC).

a) Hãy xác định thiết diện của hình chóp với (P). Thiết diện là hình gì?

b) Tính \(\widehat {\left( {AB,\left( {P} \right)} \right)}\).

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD = CD = a, AB = 2a, SA vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm AB. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. CE \(\bot\) (SAB).

B. CB \(\bot\) (SAB).

C. Tam giác SDC vuông tại C.

D. CE \(\bot\) (SDC).

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy và tam giác ABC không vuông. H, K là trực tâm của ABC và SBC. Số đo góc giữa HK và (SBC) là:

A. \(60^o\).

B. \(90^o\).

C. \(45^o\).

D. \(120^o\).

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A. M là trung điểm AB, N là trung điểm AC, (SMC) \(\bot\) (ABC), (SBN) \(\bot\) (ABC), G là tọng tâm tam giác ABC, I là trung điểm BC. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. (SIN) \(\bot\) (SMC).

B. (SAC) \(\bot\) (SBN).

C. (SIM) \(\bot\) (SBN).

D. (SMN) \(\bot\) (SAI).

Bài 4: Cho miếng bìa hình chữ nhật có kích thước 30 cm x 40 cm. Người ta gấp cạnh dài của hình chữ nhật thành bốn phần bằng nhau và dán lại để tạo thành một hình hộp đứng ABCD. A'B'C'D'. Tính góc \((\alpha)\) tạo bởi (ABC'D') và (ABCD).

A. \(\alpha = 56^o18'\).

B. \(\alpha = 36^o52'\).

C. \(\alpha = 76^o44'\).

D. \(\alpha = 71^o33'\).

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA = \(a\sqrt{3}\) và các cạnh còn lại bằng a. Tính d(BD, SC)?

A. \(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

B. \(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

C. \(d=\frac{a}{2}\).

D. d = a.

Qua bài học này, các em cần nắm các nội dung sau:

- Quy tắc hình hộp, khái niệm và điều kiện đồng phẳng; khái niệm góc giữa hai đường thẳng, điều kiện hai đường thẳng vuông góc với nhau; định nghĩa và điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng; khái niệm góc giữa hai mặt phẳng, khái niệm và điều kiện hai mặt phẳng vuông góc; khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

- Nhớ và biết cách áp dụng các định nghĩa, định lí, hệ quả của các bài học để giải bài tập.