Toán 11 Chương 1 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản
Nhằm giúp các em học sinh có thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích cho môn Toán 11, eLib đã biên soạn và tổng hợp nội dung bài Phương trình lượng giác cơ bản. Tài liệu được biên soạn với đầy đủ các dạng Toán và cái bài tập minh họa có hướng dẫn giải chi tiết. Mời các em cùng tham khảo.
Mục lục nội dung
1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Phương trình sinx=a
- Nếu \(|a|>1\): Phương trình vô nghiệm.
- Nếu \(|a|\leq 1\):
-
\(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
\(\sin x = \sin {\beta ^0} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {\beta ^0} + k{360^0}\\ x = {180^0} - {\beta ^0} + k{360^0} \end{array} \right.\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)
-
\(\sin x = a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = arc\sin a + k2\pi \\ x = \pi - arc\sin a + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
- Tổng quát:
\(\sin f\left( x \right) = \sin g\left( x \right) \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( x \right) = g\left( x \right) + k2\pi \\ f\left( x \right) = \pi - g\left( x \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)
- Các trường hợp đặc biệt:
- \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
- \(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)
- \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\).
1.2. Phương trình cosx= a
- Nếu \(|a|>1\): Phương trình vô nghiệm.
- Nếu \(|a|\leq 1\):
-
\(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)
-
\(\cos x = \cos {\beta ^0} \Leftrightarrow x = \pm {\beta ^0} + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
\(\cos x = a \Leftrightarrow x = \pm \,arcc{\rm{os}}a + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
- Tổng quát: \(\cos f\left( x \right) =\cos g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = \pm g\left( x \right) + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
- Các trường hợp đặc biệt:
\(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)
\(\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)
\(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
1.3. Phương trình tanx= a
- \(\tan x = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an}}\alpha \Leftrightarrow \,x\,{\rm{ = }}\,\alpha + k\pi \,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)
- \(\tan x = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an}}{\beta ^0} \Leftrightarrow \,x{\rm{ = }}{\beta ^0} + k{\rm{18}}{{\rm{0}}^0}\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
- \(\tan x = a \Leftrightarrow x{\rm{ = }}\arctan a\, + k\pi \,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)
- Tổng quát:
\(\tan f\left( x \right) = \tan g\left( x \right) \)
\(\Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
1.4. Phương trình cotx=a
- \(\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow {\rm{x}}\,\,{\rm{ = }}\,\alpha \,{\rm{ + }}\,{\rm{k}}\pi \,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
- \(\cot x = \cot {\beta ^0} \Leftrightarrow {\rm{x}}\,\,{\rm{ = }}\,{\beta ^0}{\rm{ + }}\,{\rm{k18}}{{\rm{0}}^0}\,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)
- \(\cot x = a \Leftrightarrow {\rm{x}}\,\,{\rm{ = }}{\mathop{\rm arc}\nolimits} \cot \,a\,{\rm{ + }}\,{\rm{k}}\pi \,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)
Tổng quát:
\(\cot f\left( x \right) = \cot g\left( x \right)\)
\(\Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
2. Bài tập minh họa
2.1. Dạng 1: Giải phương trình sinx=a
Câu 1: Giải các phương trình sau:
a) \(\sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} \right)=0\).
b) \(\sin x = \sin \frac{\pi }{{12}}\).
c) \(\sin 3x = \frac{1}{2}\).
d) \(\sin x = \frac{2}{3}\).
Hướng dẫn giải
a)
\(\sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} \right)=0\\ \Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3} = k\pi \\ \Leftrightarrow \,\frac{{2x}}{3} = \frac{\pi }{3} + k\pi\)
\(\Leftrightarrow \,x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{3\pi }}{2}\), \(k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy phương trình có các nghiệm là: \(\,x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{3\pi }}{2}\), \(k \in \mathbb{Z}.\)
b)
\(\sin x = \sin \frac{\pi }{{12}} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\ x = \pi - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\ x = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\) và \(x = \frac{11\pi }{{12}} + k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.\)
c)
\(\sin 3x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \frac{\pi }{6} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ 3x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\ x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}, k \in \mathbb{Z}\) và \(x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}, k \in \mathbb{Z}\).
d)
\(\sin x = \frac{2}{3} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi \\ x = \pi - \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)
Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi,k \in \mathbb{Z}\) và \(x = \pi - \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}.\)
2.2. Dạng 2: Giải phương trình cosx=a
Câu 2: Giải các phương trình sau:
a) \(\cos \left( {\frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{2}\).
b) \(\cos \left( {x + {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Hướng dẫn giải
a)
\(\cos \left( {\frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\ \frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4} = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{11\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}\\ x = - \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3} \end{array} \right.{\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy phương trình có các nghiệm là: \({x = \frac{{11\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}}, k \in \mathbb{Z}\) và \({x = - \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}}, k \in \mathbb{Z}.\)
b)
\(\cos \left( {x + {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \\ \Leftrightarrow \cos \left( {x + {{45}^0}} \right) = c{\rm{os}}{45^0}\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + {45^0} = {45^0} + k{360^0}\\ x + {45^0} = - {45^0} + k{360^0} \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {45^0} + k{360^0}\\ x = - {90^0} + k{360^0} \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Vậy phương trình có các nghiệm là: \({x = {{45}^0} + k{{360}^0}}, k \in \mathbb{Z}\) và \({x = - {{90}^0} + k{{360}^0}}, k \in \mathbb{Z}.\)
2.3. Dạng 3: Giải phương trình tanx=a
Câu 3: Giải các phương trình sau:
a) \(\tan x = \tan \frac{\pi }{3}\).
b) \(\tan (x - {15^0}) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Hướng dẫn giải
a)
\(\tan x = \tan \frac{\pi }{3} \\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)
b) \(\tan (x - {15^0}) = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow\)
\(\tan (x - {15^0}) = \tan {30^0}\Leftrightarrow x = {45^0} + k{180^0} , k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy các nghiệm của phương trình là \(x = {45^0} + k{180^0} , k \in \mathbb{Z}.\)
2.4. Dạng 4: Giải phương trình cotx=a
Câu 4: Giải các phương trình sau:
a) \(\cot 4x = \,\cot \frac{{2\pi }}{7}\).
b) \(\cot 4x = - 3.\)
c) \(\cot \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Hướng dẫn giải
a) \(\cot 4x = \,\cot \frac{{2\pi }}{7}\)
\(\Leftrightarrow 4x = \frac{{2\pi }}{7}\, + \,k\pi \\ \Leftrightarrow \,x = \frac{\pi }{{14}} + \,k\frac{\pi }{4},\,k \in \mathbb{Z}.\)
Vậy các nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{\pi }{{14}} + \,k\frac{\pi }{4};\,k \in \mathbb{Z}.\)
b)
\(\cot 4x = - 3 \\ \Leftrightarrow 4x = \arctan \left( { - 3} \right) + k\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\arctan \left( { - 3} \right) + k\frac{\pi }{4},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Vậy các nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{1}{4}\arctan \left( { - 3} \right) + k\frac{\pi }{4},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
c)
\(\cot \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \\ \Leftrightarrow \cot \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \cot \frac{\pi }{6}\)
\(\Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi\)
\(\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)
Vậy các nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Giải các phương trình sau:
a) \(\sin \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{2}} \right) = 0\).
b) \(\sin x = \sin \frac{\pi }{5}\) .
c) \(\sin 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) .
d) \(\sin x = \frac{3}{5}\).
Câu 2: Giải các phương trình sau:
a) \(\cos \left( {x + {{30}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) .
b) \(\cos \left( {x + {{30}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) .
Câu 3: Giải các phương trình sau:
a) \(\tan x = \tan \frac{\pi }{4}\) .
b) \(\tan (x - {30^0}) = \sqrt 3 \).
Câu 4: Giải các phương trình sau:
a) \(\cot 3x = {\mkern 1mu} \cot \frac{{3\pi }}{8}\).
b) \(\cot 5x = - 4.\)
c) \(\cot \left( {3x - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) .
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Giải phương trình \(\cot \left( {\frac{x}{4} + {{20}^0}} \right) = - \sqrt 3 .\)
A. \(x = - {200^0} + k{360^0},k \in \mathbb{Z}.\)
B. \(x = - {200^0} + k{720^0},k \in \mathbb{Z}.\)
C. \(x = - {20^0} + k{360^0},k \in \mathbb{Z}.\)
D. \(x = - {20^0} + k{720^0},k \in \mathbb{Z}.\)
Câu 2: Giải phương trình \(\sin \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = \cos 2x.\)
A. \(x = \frac{{7\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3};x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
B. \(x = - \frac{{7\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3};x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
C. \(x = - \frac{{7\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3};x = - \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
D. \(x = \frac{{7\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3};x = - \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
Câu 3: Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thánh phố A có vĩ độ \({40^0}\) bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số: \(d(t) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t - 80)} \right] + 12,t \in \mathbb{Z},0 < t \le 365\). Thành phố A có đúng 12 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?
A. 262
B. 266
C. 281
D. 292
Câu 4: Giải phương trình \(\tan 3x = \tan \frac{{3\pi }}{5}.\)
A. \(x = \frac{{3\pi }}{5} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
B. \(x = \frac{\pi }{5} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
C. \(x = \frac{{3\pi }}{5} + \frac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}.\)
D. \(x = \frac{\pi }{5} + \frac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}.\)
Câu 5: Giải phương trình \(\cot 2x = \cot \left( { - \frac{1}{3}} \right).\)
A. \(x = - \frac{1}{6} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}.\)
B. \(x = - \frac{1}{3} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}.\)
C. \(x = - \frac{1}{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
D. \(x = - \frac{1}{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
3.3. Trắc nghiệm Online
Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản Toán 11 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.
4. Kết luận
Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:
- Nhận dạng được các loại phương trình lượng giác
- Giải được các phương trình lượng giác cơ bản.