Toán 11 Chương 5 Bài 4: Vi phân

eLib xin giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 lý thuyết Bài Vi phân. Bài giảng này bao gồm chi tiết các dạng Toán về nguyên hàm và tích phân, bên cạnh đó sử dụng các bài tập minh hoạ kèm theo lời giải chi tiết cho các em tham khảo, rèn luyện kỹ năng giải Toán 11. Mời các em học sinh cùng tham khảo.

Toán 11 Chương 5 Bài 4: Vi phân

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \((a;b)\) và có đạo hàm tại \(x ∈ (a;b)\). Giả sử \(∆x\) là số gia của \(x\) sao cho \(x + ∆x ∈ (a;b)\).

Tích \(f'(x)∆x\) (hay \(y'.∆x\)) được gọi là vi phân của hàm số \(y = f(x)\) tại \(x\) ứng với số gia \(∆x\), kí hiệu là \(df(x)\) hay \(dy\).

Chú ý: Vì \(dx = ∆x\) nên \(dy = df(x) = f'(x)dx\)

1.2. Đạo hàm cấp cao

Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\).

+ Nếu hàm số \(f'\left( x \right)\) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số \(f\left( x \right)\), kí hiệu là \(f''\left( x \right)\).

1.3. Các dạng toán

a) Dạng 1: Tìm vi phân của hàm số y=f(x)

Phương pháp:

  • Tính đạo hàm f'(x).
  • Vi phân của hàm số y=f(x) tại x là \(df(x) = f'(x)dx.\)
  • Vi phân của hàm số y=f(x) tại \(x_0\) là \(df(x_0) = f'(x_0)dx.\)

b) Dạng 2: Tìm giá trị gần đúng của một biểu thức

Phương pháp:

  • Lập hàm số \(y=f(x)\) và chọn \(x_0, \Delta x\) một cách thích hợp.
  • Tính đạo hàm \(f'(x), f'(x_0)\) và \(f(x_0).\)
  • Giá trị gần đúng của biểu thức \(P = f({x_0} + \Delta x) \approx f({x_0}) + f'({x_0})\Delta x.\)

2. Bài tập minh họa

2.1. Bài tập 1

Tìm vi phân của các hàm số sau:

a) \(y = {1 \over {{x^2}}}.\)

b) \(y = {{x + 2} \over {x - 1}}.\)

c) \(y = {\sin ^2}x.\)

Hướng dẫn giải

a) 

\(\begin{array}{l}
y' = \dfrac{{ - \left( {{x^2}} \right)'}}{{{x^4}}} = \dfrac{{ - 2x}}{{{x^4}}} = - \dfrac{2}{{{x^3}}}\\
\Rightarrow dy = y'dx = - \dfrac{2}{{{x^3}}}dx
\end{array}\)

b) 

\(\begin{array}{l}
y'= \dfrac{{\left( {x + 2} \right)'\left( {x - 1} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)'}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{x - 1 - x - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\
\Rightarrow dy = y'dx = - \dfrac{3}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}dx
\end{array}\)

c) 

\(\begin{array}{l}
y' = 2\sin x\left( {\sin x} \right)'\\
= 2\sin x\cos x\\
= \sin 2x\\
\Rightarrow dy = y'dx = \sin 2xdx
\end{array}\)

2.2. Bài tập 2

Tìm \(dy\), biết: \(y =  \dfrac{\cos x}{1-x^{2}}\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}
\,\,dy = d\left( {\dfrac{{\cos x}}{{1 - {x^2}}}} \right)\\
\Rightarrow dy = \left( {\dfrac{{\cos x}}{{1 - {x^2}}}} \right)'dx\\dy = \dfrac{{\left( {\cos x} \right)'\left( {1 - {x^2}} \right) - \cos x\left( {1 - {x^2}} \right)'}}{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}}dx\\
dy = \dfrac{{ - \sin x\left( {1 - {x^2}} \right) + 2x\cos x}}{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}}dx
\end{array}\)

2.3. Bài tập 3

Tính gần đúng các giá trị sau:

a) \(\sqrt {4,01}\).

b) \(\sin {29^0}\).

Hướng dẫn giải

a) Đặt \(f(x) = \sqrt x .\)

Chọn \(x_0=4\) và \(\Delta x=0,01\) thì \(4,01=4+0,01=x_0+\Delta x.\)

\(f'(x)=\frac{1}{2 \sqrt x}\Rightarrow f'(4)=\frac{1}{2 \sqrt 4}=\frac{1}{4}.\)

\(f(4)=2.\)

Vậy: \(\sqrt {4,01} = f(4 + 0,01) \approx f(4) + f'(4).0,01 = 2,0025.\)

b) Đặt \(f(x)=sin x,\) chọn \(x_0=30^0\) và \(\Delta x=-1^0=-\frac{-\pi}{180}.\)

Ta có: \(29^0=30^0-1^0=x_0+\Delta x.\)

\(f'(x)=cos x,f'(30^0)=cos (30^0)=\frac{\sqrt 3}{2};f(30^0)=sin 30^0=\frac{1}{2}.\)

Vậy: \(sin 29^0 = f(30^0-1^0) \approx f(30^0)+f'(30^0).\left (- \frac{\pi}{180} \right )\approx 0,4849.\)

3. Luyện tập 

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Tìm \({{d\left( {\tan x} \right)} \over {d\left( {\cot x} \right)}}.\)

Câu 2: Chứng minh rằng vi phân dy và số gia \(\Delta y\) của hàm số \(y = ax + b\) trùng nhau.

Câu 3: Tìm vi phân của các hàm số sau:

a) \(f(x) = \sin x - x\cos x\).

b) \(f(x) = \frac{1}{{{x^3}}}\).

c) \(f(x) = x{\mathop{\rm cosx}\nolimits}\) tại \(x=\frac{\pi}{2}.\)

Câu 4: Tìm vi phân của các hàm số sau:

a) \(y=\frac{x+3}{1-2x}\)

b) \(y=x^{3}-9x^{2}+12x-5\)

c) \(y=\frac{2x+3}{2x-1}\)

3.2. Bài tập trắc nghiệm 

Câu 1: Cho hàm số \(f(x)=x^{2}-x-2\). Tính \(\Delta f(1)\) và \(df(1)\) nếu \(\Delta x=0,1\)

A. \(\Delta f(1)=0,11;df(1)=0,2\)

B. \(\Delta f(1)=0,11;df(1)=0,1\)

C. \(\Delta f(1)=0,2;df(1)=0,11\)

D. \(\Delta f(1)=0,2;df(1)=0,1\)

Câu 2: Tìm vi phân của hàm số \(y=tan \frac{2x-1}{3x+2}\)

A. \(dy=\frac{1}{cos^{2}\frac{2x-1}{3x+2}}dx\)

B. \(dy=\frac{1}{(3x+2)^{2}cos^{2}\frac{2x-1}{3x+2}}dx\)

C. \(dy=\frac{7}{(3x+2)^{2}cos^{2}\frac{2x-1}{3x+2}}dx\)

D. \(dy=\frac{-7}{(3x+2)^{2}cos^{2}\frac{2x-1}{3x+2}}dx\)

Câu 3: Tính vi phân của hàm số \(f(x)=3x^{2}-x\) tại điểm \(x=2\) ứng với \(\Delta =0,1\)

A. \(df(2)=-0,07\)

B. \(df(2)=10\)

C. \(df(2)=1,1\)

D. \(f(2)=-0,4\)

Câu 4: Tính vi phân của hàm số \(f(x)=\frac{(\sqrt{x}-1)^{2}}{x}\) tại điểm \(x=4\) ứng với \(\Delta x=0,002\)

A. \(df(4)=\frac{1}{8}\)

B. \(df(4)=\frac{1}{8000}\)

C. \(df(4)=\frac{1}{400}\)

D. \(df(4)=\frac{1}{1600}\)

Câu 5: Tính vi phân của hàm số \(f(x)=sin2x\) tại điểm \(x=\frac{\pi}{3}\) ứng với \(\Delta x=0,001\)

A. \(df(\frac{\pi}{3})=-1\)

B. \(df(\frac{\pi}{3})=-0,1\)

C. \(df(\frac{\pi}{3})=0,001\)

D. \(df(\frac{\pi}{3})=-0,001\)

3.3. Trắc nghiệm Online

Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Vi phân Toán 11 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.

Trắc Nghiệm

4. Kết luận

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

  • Nắm vững định nghĩa vi phân của một hàm số và nắm được công thức tính gần đúng.
  • Biết áp dụng định nghĩa để tính vi phân của hàm số và biết áp dụng công thức tính gần đúng dựa vào vi phân.
Ngày:17/08/2020 Chia sẻ bởi:Thanh Nhàn

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM