Toán 11 Chương 5 Bài 4: Vi phân

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \((a;b)\) và có đạo hàm tại \(x ∈ (a;b)\). Giả sử \(∆x\) là số gia của \(x\) sao cho \(x + ∆x ∈ (a;b)\).

Tích \(f'(x)∆x\) (hay \(y'.∆x\)) được gọi là vi phân của hàm số \(y = f(x)\) tại \(x\) ứng với số gia \(∆x\), kí hiệu là \(df(x)\) hay \(dy\).

Chú ý: Vì \(dx = ∆x\) nên \(dy = df(x) = f'(x)dx\)

Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\).

+ Nếu hàm số \(f'\left( x \right)\) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số \(f\left( x \right)\), kí hiệu là \(f''\left( x \right)\).

a) Dạng 1: Tìm vi phân của hàm số y=f(x)

Phương pháp:

• Tính đạo hàm f'(x).
• Vi phân của hàm số y=f(x) tại x là \(df(x) = f'(x)dx.\)
• Vi phân của hàm số y=f(x) tại \(x_0\) là \(df(x_0) = f'(x_0)dx.\)

b) Dạng 2: Tìm giá trị gần đúng của một biểu thức

Phương pháp:

• Lập hàm số \(y=f(x)\) và chọn \(x_0, \Delta x\) một cách thích hợp.
• Tính đạo hàm \(f'(x), f'(x_0)\) và \(f(x_0).\)
• Giá trị gần đúng của biểu thức \(P = f({x_0} + \Delta x) \approx f({x_0}) + f'({x_0})\Delta x.\)

Tìm vi phân của các hàm số sau:

a) \(y = {1 \over {{x^2}}}.\)

b) \(y = {{x + 2} \over {x - 1}}.\)

c) \(y = {\sin ^2}x.\)

Hướng dẫn giải

a) 

\(\begin{array}{l}
y' = \dfrac{{ - \left( {{x^2}} \right)'}}{{{x^4}}} = \dfrac{{ - 2x}}{{{x^4}}} = - \dfrac{2}{{{x^3}}}\\
\Rightarrow dy = y'dx = - \dfrac{2}{{{x^3}}}dx
\end{array}\)

b) 

\(\begin{array}{l}
y'= \dfrac{{\left( {x + 2} \right)'\left( {x - 1} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)'}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{x - 1 - x - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\
\Rightarrow dy = y'dx = - \dfrac{3}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}dx
\end{array}\)

c) 

\(\begin{array}{l}
y' = 2\sin x\left( {\sin x} \right)'\\
= 2\sin x\cos x\\
= \sin 2x\\
\Rightarrow dy = y'dx = \sin 2xdx
\end{array}\)

Tìm \(dy\), biết: \(y =  \dfrac{\cos x}{1-x^{2}}\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}
\,\,dy = d\left( {\dfrac{{\cos x}}{{1 - {x^2}}}} \right)\\
\Rightarrow dy = \left( {\dfrac{{\cos x}}{{1 - {x^2}}}} \right)'dx\\dy = \dfrac{{\left( {\cos x} \right)'\left( {1 - {x^2}} \right) - \cos x\left( {1 - {x^2}} \right)'}}{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}}dx\\
dy = \dfrac{{ - \sin x\left( {1 - {x^2}} \right) + 2x\cos x}}{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^2}}}dx
\end{array}\)

Tính gần đúng các giá trị sau:

a) \(\sqrt {4,01}\).

b) \(\sin {29^0}\).

Hướng dẫn giải

a) Đặt \(f(x) = \sqrt x .\)

Chọn \(x_0=4\) và \(\Delta x=0,01\) thì \(4,01=4+0,01=x_0+\Delta x.\)

\(f'(x)=\frac{1}{2 \sqrt x}\Rightarrow f'(4)=\frac{1}{2 \sqrt 4}=\frac{1}{4}.\)

\(f(4)=2.\)

Vậy: \(\sqrt {4,01} = f(4 + 0,01) \approx f(4) + f'(4).0,01 = 2,0025.\)

b) Đặt \(f(x)=sin x,\) chọn \(x_0=30^0\) và \(\Delta x=-1^0=-\frac{-\pi}{180}.\)

Ta có: \(29^0=30^0-1^0=x_0+\Delta x.\)

\(f'(x)=cos x,f'(30^0)=cos (30^0)=\frac{\sqrt 3}{2};f(30^0)=sin 30^0=\frac{1}{2}.\)

Vậy: \(sin 29^0 = f(30^0-1^0) \approx f(30^0)+f'(30^0).\left (- \frac{\pi}{180} \right )\approx 0,4849.\)

Câu 1: Tìm \({{d\left( {\tan x} \right)} \over {d\left( {\cot x} \right)}}.\)

Câu 2: Chứng minh rằng vi phân dy và số gia \(\Delta y\) của hàm số \(y = ax + b\) trùng nhau.

Câu 3: Tìm vi phân của các hàm số sau:

a) \(f(x) = \sin x - x\cos x\).

b) \(f(x) = \frac{1}{{{x^3}}}\).

c) \(f(x) = x{\mathop{\rm cosx}\nolimits}\) tại \(x=\frac{\pi}{2}.\)

Câu 4: Tìm vi phân của các hàm số sau:

a) \(y=\frac{x+3}{1-2x}\)

b) \(y=x^{3}-9x^{2}+12x-5\)

c) \(y=\frac{2x+3}{2x-1}\)

Câu 1: Cho hàm số \(f(x)=x^{2}-x-2\). Tính \(\Delta f(1)\) và \(df(1)\) nếu \(\Delta x=0,1\)

A. \(\Delta f(1)=0,11;df(1)=0,2\)

B. \(\Delta f(1)=0,11;df(1)=0,1\)

C. \(\Delta f(1)=0,2;df(1)=0,11\)

D. \(\Delta f(1)=0,2;df(1)=0,1\)

Câu 2: Tìm vi phân của hàm số \(y=tan \frac{2x-1}{3x+2}\)

A. \(dy=\frac{1}{cos^{2}\frac{2x-1}{3x+2}}dx\)

B. \(dy=\frac{1}{(3x+2)^{2}cos^{2}\frac{2x-1}{3x+2}}dx\)

C. \(dy=\frac{7}{(3x+2)^{2}cos^{2}\frac{2x-1}{3x+2}}dx\)

D. \(dy=\frac{-7}{(3x+2)^{2}cos^{2}\frac{2x-1}{3x+2}}dx\)

Câu 3: Tính vi phân của hàm số \(f(x)=3x^{2}-x\) tại điểm \(x=2\) ứng với \(\Delta =0,1\)

A. \(df(2)=-0,07\)

B. \(df(2)=10\)

C. \(df(2)=1,1\)

D. \(f(2)=-0,4\)

Câu 4: Tính vi phân của hàm số \(f(x)=\frac{(\sqrt{x}-1)^{2}}{x}\) tại điểm \(x=4\) ứng với \(\Delta x=0,002\)

A. \(df(4)=\frac{1}{8}\)

B. \(df(4)=\frac{1}{8000}\)

C. \(df(4)=\frac{1}{400}\)

D. \(df(4)=\frac{1}{1600}\)

Câu 5: Tính vi phân của hàm số \(f(x)=sin2x\) tại điểm \(x=\frac{\pi}{3}\) ứng với \(\Delta x=0,001\)

A. \(df(\frac{\pi}{3})=-1\)

B. \(df(\frac{\pi}{3})=-0,1\)

C. \(df(\frac{\pi}{3})=0,001\)

D. \(df(\frac{\pi}{3})=-0,001\)

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Nắm vững định nghĩa vi phân của một hàm số và nắm được công thức tính gần đúng.
• Biết áp dụng định nghĩa để tính vi phân của hàm số và biết áp dụng công thức tính gần đúng dựa vào vi phân.