Toán 11 Chương 2 Bài 5: Xác suất của biến cố

Xác suất của biến cố \(A\) là số đo khả năng xảy ra của biến cố \(A\).

Định nghĩa:

Giả sử \(A\) là biến cố liên quan đến phép thử \(T\) và phép thử \(T\) có một số hữu hạn kết quả có thể có, đồng khả năng. Khi đó ta gọi tỉ số \(\frac{n(A)}{n(\Omega )}\) là xác suất của biến cố \(A\),

kí hiệu là \(P(A)\) = \(\frac{n(A)}{n(\Omega )}\).

Trong đó, \(n(A)\) là số phần tử của tập hợp \(A\), cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử \(T\) thuận lợi cho biến cố \(A\); còn \(n(Ω)\) là số phần tử của không gian mẫu \(Ω\), cũng chính là số các kết quả có thể có của phép thử \(T\).

Chú ý:

Để vận dụng được định nghĩa cổ điển của xác suất, phải có hai điều kiện sau đây:

- Số các kết quả có thể có của phép thử là hữu hạn;

- Các kết quả có thể có của phép thử là đồng khả năng.

a) Định lí:

- \(P(\phi) = 0; P(Ω) = 1\).

- \(0 ≤ P(A) ≤ 1\), với mọi biến cố \(A\).

- Nếu \(A\) và \(B\) xung khắc với nhau, thì ta có

\(P(A ∪ B) = P(A) + P(B)\) (công thức cộng xác suất).

b) Hệ quả:

Với mọi biến cố \(A\), ta luôn luôn có: \(P\)(\(\overline{A}\)) = \(1 - P(A)\).

Định nghĩa:

Hai biến cố (liên quan đến cùng một phép thử) là độc lập với nhau khi và chỉ khi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia (nói cách khác là không làm ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố kia).

Định lí:

Nếu \(A, B\) là hai biến cố (liên quan đến cùng một phép thử) sao cho \(P(A) > 0\),

\(P(B) > 0\) thì ta có:

a) \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập với nhau khi và chỉ khi:

\(P(A . B) = P(A) . P(B)\).

Chú ý: Kết quả vừa nêu chỉ đúng trong trường hợp khảo sát tính độc lập chỉ của 2 biến cố.

b) Nếu \(A\) và \(B\) độc lập với nhau thì các cặp biến cố sau đây cũng độc lập với nhau:

\(A\) và \(\overline{B}\), \(\overline{A}\) và \(B\), \(\overline{A}\) và \(\overline{B}\).

Từ một hộp chứa bốn quả cầu ghi chứ a, hai quả cầu ghi chữ b và hai quả cầu ghi chữ c (h.34), lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu:

A: “Lấy được quả ghi chữ a”

B: “Lấy được quả ghi chữ b”

C: “Lấy được quả ghi chữ c”

Có nhận xét gì về khả năng xảy ra của các biến cố A, B và C? Hãy so sánh chúng với nhau.

Hướng dẫn giải

Khả năng xảy ra của biến cố A là: \({4 \over 8}\) = 0,5

Khả năng xảy ra của biến cố B là: \({2 \over 8}\) = 0,25

Khả năng xảy ra của biến cố C là: \({2 \over 8}\) = 0,25

⇒ Khả năng xảy ra của biến cố A lớn hơn khả năng xảy ra của biến cố B

Và khả năng xảy ra của biến cố B bằng khả năng xảy ra của biến cố C

Một người chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau. Tính xác suất để hai chiếc chọn được tạo thành một đôi.

Hướng dẫn giải

Phép thử \(T\) được xét là: "Lấy ngẫu nhiên \(2\) chiếc giày từ \(4\) đôi giày có cỡ khác nhau".

Số cách lấy ra \(2\) trong \(8\) chiếc giày là \(n(Ω) = C_8^2= 28\).

Gọi \(A\) là biến cố: "Lấy được hai chiếc giày tạo thành một đôi".

Vì chỉ có \(4\) đôi giày nên số cách lấy được \(1\) trong \(4\) đôi giày là \(n(A) = 4\).

Vậy \(P(A) \)= \(\dfrac{4}{28}\) = \(\dfrac{1}{7}\).

Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần.

a) Hãy mô tả không gian mẫu

b) Xác định các biến cố sau:

A: "Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn \(10\)";

B: "Mặt \(5\) chấm xuất hiện ít nhất một lần".

c) Tính \(P(A), P(B)\).

Hướng dẫn giải

a) Phép thử \(T\) được xét là "Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần".

\(Ω = \left\{{(i, j) \mid i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6}\right\}\).

Số phần tử của không gian mẫu là \(n(Ω) = 36\).

Cách liệt kê chi tiết

Không gian mẫu: \(Ω \)={(1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(1;6),(2;1),(2;2),(2;3),(2;4),(2;5),(2;6),(3;1),(3;2),(3;3),(3;4),(3;5),(3;6),(4;1),(4;2),(4;3),(4;4),(4;5),(4;6),(5;1),(5;2),(5;3),(5;4),(5;5),(5;6),(6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(6;6)}

b) \(A\) = {(6, 4), (4, 6), (5, 5), (6, 5), (5, 6), (6, 6)} \( \Rightarrow n(A) = 6\)

\(B\) = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6)} \( \Rightarrow n(B) = 11\).

c) \(P(A)= \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\)= \(\frac{6}{36}\) = \(\frac{1}{6}\);

\(P(B)\) \( = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\) = \(\frac{11}{36}\).

Câu 1: Một tổ có \(7\) nam và \(3\) nữ. Chọn ngẫu nhiên hai người. Tìm xác suất sao cho trong hai người đó:

a) Cả hai đều là nữ

b) Không có nữ nào

c) Ít nhất một người là nữ

d) Có đúng một người là nữ

Câu 2: Một hộp chứa \(10\) quả cầu đỏ được đánh số từ \(1\) đến \(10\), \(20\) quả cầu xanh được đánh số từ \(1\) đến \(20\). Lấy ngẫu nhiên một quả. Tìm xác suất sao cho quả được chọn:

a) Ghi số chẵn

b) Màu đỏ

c) Màu đỏ và ghi số chẵn

Câu 3: Kết quả \((b,c)\) của việc gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần, trong đó \(b\) là số chấm xuất hiện trong lần gieo đầu, \(c\) là số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai, được thay vào phương trình bậc hai \({x^2} + bx + c = 0\). Tính xác suất để

a) Phương trình vô nghiệm

b) Phương trình có nghiệm kép

c) Phương trình có nghiệm

Câu 4: Một hộp chứa \(10\) quả cầu được đánh số từ \(1\) đến \(10\), đồng thời các quả từ \(1\) đến \(6\) được sơn màu đỏ. Lấy ngẫu nhiễn một quả. Kí hiệu \(A\) là biến cố: “Quả lấy ra màu đỏ”, \(B\) là biến cố: “Quả lấy ra ghi số chẵn”. Hỏi \(A\) và \(B\) có độc lập không?

Câu 1: Gieo 3 con súc sắc cân đối, đồng chất và quan sát số chấm xuất hiện. Khi đó số kết quả có thể xảy ra là:

A. 18

B. 36

C. 216

D. 108

Câu 2: Trong một bài thi trắc nghiệm khách quan có 20 câu, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án đúng. Một học sinh không học bài nên làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên mỗi câu một phương án. Tính xác suất học sinh đó trả lời đúng 10 câu.

A. \(\frac{3^{10}}{4^{20}}\)

B. \(\frac{1}{4^{20}}\)

C. \(\frac{3^{10}}{4^{10}}\)

D. \(C_{20}^{10}\frac{3^{10}}{4^{20}}\)

Câu 3: Có 2 hộp bút chì. Hộp I có 3 bút đỏ và 9 bút xanh, hộp II có 8 bút đỏ và 4 bút xanh. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 bút. Tính xác suất để có 1 bút đỏ và 1 bút xanh.

A. \(\frac{1}{12}\)

B. \(\frac{1}{6}\)

C. \(\frac{7}{12}\)

D. \(\frac{11}{24}\)

Câu 4: Mội chiếc xe máy có 3 động cơI,II,III hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I,II,III chạy tốt tương ứng là 0,7; 0,8;0,9. Xác suất để cả 3 động cơ đều chạy tốt là:

A. 0,006

B. 0,496

C. 0,504

D. 0,994

Câu 5: Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để biến cố có tích 2 lần số chấm khi gieo xúc xắc là một số chẵn.

A. 0,25

B. 0,5

C. 0,75

D. 0,85

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Nắm vững định nghĩa xác suất, các tính chất xác suất, công thức nhân xác suất
• Nắm được khái niệm biến cố độc lập, công thức nhân của xác suất và Vận dụng vào giải các bài toán đơn giản.