Toán 11 Chương 3 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài toán:

Gọi $P\left( n \right)$ là một mệnh đề chứa biến $n\left( {n \in {N^*}} \right)$. Chứng minh $P\left( n \right)$ đúng với mọi số tự nhiên $n \in {N^*}$.

Phương pháp quy nạp toán học:

• Bước 1: Chứng minh $P\left( n \right)$ đúng với $n = 1$.
• Bước 2:  Với $k$ là một số nguyên dương tùy ý, giả sử $P\left( n \right)$ đúng với $n = k \ge 1$, chứng minh $P\left( n \right)$ cũng đúng khi $n = k + 1$.

Đối với bài toán chứng minh $P\left( n \right)$ đúng với mọi $n \ge p$ với $p$ là số tự nhiên cho trước thì:

• Bước 1: Chứng minh $P\left( n \right)$ đúng với $n = p$.
• Bước 2: Với $k \ge p$ là một số nguyên dương tùy ý, giả sử $P\left( n \right)$ đúng với $n = k$, chứng minh $P\left( n \right)$ cũng đúng khi $n = k + 1$.

Chứng minh ${n^7} - n$ chia hết cho $7$ với mọi $n \in {N^*}$.

Hướng dẫn giải

Đặt $P\left( n \right) = {n^7} - n$.

- Với $n = 1$ thì $P\left( 1 \right) = {1^7} - 1 = 0 \vdots 7$ nên $P\left( 1 \right)$ đúng.

- Giả sử mệnh đề đúng với $n = k \in {N^*}$, tức là $P\left( k \right) = \left( {{k^7} - k} \right) \vdots 7$.

Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với $n = k + 1$, tức là: $P\left( {k + 1} \right) = {\left( {k + 1} \right)^7} - \left( {k + 1} \right) \vdots 7$

Ta có: ${\left( {k + 1} \right)^7} - \left( {k + 1} \right)$ $= C_7^0.{k^7} + C_7^1.{k^6} + C_7^2.{k^5} + C_7^3.{k^4}$ $+ C_7^4.{k^3} + C_7^5.{k^2} + C_7^6.k + C_7^7 - \left( {k + 1} \right)$

$= {k^7} + 7{k^6} + 21{k^5} + 35{k^4} + 35{k^3}$ $+ 21{k^2} + 7k + 1 - k - 1$ $= \left( {{k^7} - k} \right) + 7\left( {{k^6} + 3{k^5} + 5{k^4} + 5{k^3} + 3{k^2} + k} \right)$

Do $({k^7} - k) \vdots 7$ và $7\left( {{k^6} + 3{k^5} + 5{k^4} + 5{k^3} + 3{k^2} + k} \right) \vdots 7$ nên $P\left( {k + 1} \right) = {\left( {k + 1} \right)^7} - \left( {k + 1} \right) \vdots 7$.

Vậy mệnh đề đã cho đúng.

Chứng minh rằng với n ∈ N* thì

$\displaystyle 1 + 2 + 3 + … + n = {{n(n + 1)} \over 2}$

Hướng dẫn giải

- Khi $n = 1, VT = 1$

$\displaystyle VP = {{1(1 + 1)} \over 2} = 1$

- Giả sử đẳng thức đúng với $n = k ≥ 1$, nghĩa là:

$\displaystyle{S_k} = 1 + 2 + 3 + ... + k = {{k(k + 1)} \over 2}$

Ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với $n = k + 1$, tức là:

$\displaystyle {S_{k + 1}} = 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1)$ $\displaystyle  = {{(k + 1)(k + 2)} \over 2}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

$\displaystyle{S_{k + 1}} = {S_k} + (k + 1)$ $\displaystyle = {{k(k + 1)} \over 2} + (k + 1)$

$\displaystyle = {{k(k + 1) + 2(k + 1)} \over 2}$ $\displaystyle ={{(k + 1)(k + 2)} \over 2}$

Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*

Chứng minh rằng với $n \in {\mathbb N}^*$, ta có đẳng thức:

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{n}}=\dfrac{2^{n}-1}{2^{n}}$

Hướng dẫn giải

Với $n = 1$, vế trái bằng $\dfrac{1}{2}$, vế phải bằng $\dfrac{1}{2}$, do đó hệ thức đúng với $n=1$.

Đặt vế trái bằng $S_n$.

Giả sử hệ thức b) đúng với $n = k ≥ 1$, tức là

$S_{k}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{k}}$ $=\dfrac{2^{k}-1}{2^{k}}$

Ta phải chứng minh $S_{k+1}=\dfrac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$.

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

$S_{k+1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{k}}+\dfrac{1}{2^{k+1}}$

$=S_{k}+\dfrac{1}{2^{k+1}}$

$=\dfrac{2^{k}-1}{2^{k}}+\dfrac{1}{2^{k+1}}$ $= \dfrac{{2\left( {{2^k} - 1} \right) + 1}}{{{2^{k + 1}}}}$ $= \dfrac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}}=\dfrac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$

(điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi $n \in {\mathbb N}^*$

Câu 1: Chứng minh các đẳng thức sau (với $n \in N*$ )

a) $2 + 5 + 8 + ... + \left( {3n - 1} \right) = \dfrac{{n\left( {3n + 1} \right)}}{2};$

b) $3 + 9 + 27 + ... + {3^n} = \dfrac{1}{2}\left( {{3^{n + 1}} - 3} \right).$

Câu 2: Chứng minh các đẳng thức sau (với $n \in N*$ )

a) ${1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2} = \dfrac{{n\left( {4{n^2} - 1} \right)}}{3};$

b) ${1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \dfrac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}.$

Câu 3: Chứng minh rằng với mọi $n \in {\mathbb{N}^*},$ ta có

a) $2{n^3} - 3{n^2} + n$ chia hết cho $6$.

b) ${11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}$ chia hết cho $133$.

Câu 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau ($n \in N*$)

a) ${2^{n + 2}} > 2n + 5{\rm{ }};$

b) ${\sin ^{2n}}\alpha  + {\cos ^{2n}}\alpha  \le 1.$

Câu 1: Biểu thức nào sau đây cho ta tập giá trị của tổng $S = 1 - 2 + 3 - 4+...-2n + (2n+1)$

A. 1

B. 0

C. n

D. n + 1

Câu 2: Giả sử Q là tập hợp con của tập các số nguyên dương sao cho

(a) $k∈Q$

(b) $n∈Q⟹n+1∈Q,∀n≥k.$

A. Mọi số nguyên dương đều thuộc Q

B. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc Q

C. Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc Q

D. Mọi số nguyên đều thuộc Q

Câu 3: $∀n∈N∗$ thì  chia hết cho:

A. 13

B. 6

C. 8

D. 5

Câu 4: Với mọi số nguyên dương n thì $S_{n}=n^{3}+2n$ chia hết cho 

A. 3

B. 2

C. 4

D. 7

Câu 5: Với mọi số nguyên dương n, tổng $S_{n}=n^{3}+11n$ chia hết cho:

A. 6

B. 4

C. 9

D. 12

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Nắm rõ các bước của phương pháp quy nạp.
• Sử dụng phương pháp quy nạp thành thạo và biết cách lựa chọn và sử dụng phương pháp quy nạp hiệu quả.