Toán 11 Ôn tập chương 2: Tổ hợp - Xác suất

1. Qui tắc cộng

a) Định nghĩa: Xét một công việc $H$.

Giả sử $H$ có $k$ phương án ${H_1},{H_2},...,{H_k}$ thực hiện công việc $H$. Nếu có ${m_1}$cách thực hiện phương án  ${H_1}$, có ${m_2}$ cách thực hiện phương án ${H_2}$,.., có ${m_k}$cách thực hiện phương án ${H_k}$ và mỗi cách thực hiện phương án ${H_i}$ không trùng với bất kì cách thực hiện phương án ${H_j}$ ($i \ne j;i,j \in \left\{ {1,2,...,k} \right\}$) thì có ${m_1} + {m_2} + ... + {m_k}$ cách thực hiện công việc $H$.

b) Công thức quy tắc cộng

Nếu các tập ${A_1},{A_2},...,{A_n}$ đôi một rời nhau. Khi đó:

$\left| {{A_1} \cup {A_2} \cup ... \cup {A_n}} \right| = \left| {{A_1}} \right| + \left| {{A_2}} \right| + ... + \left| {{A_n}} \right|$

2. Quy tắc nhân

a) Định nghĩa: Giả sử một công việc $H$ bao gồm $k$ công đoạn ${H_1},{H_2},...,{H_k}$. Công đoạn ${H_1}$ có ${m_1}$ cách thực hiện, công đoạn${H_2}$ có ${m_2}$ cách thực hiện,…, công đoạn ${H_k}$ có ${m_k}$ cách thực hiện. Khi đó công việc H có thể thực hiện theo ${m_1}.{m_2}...{m_k}$ cách.

b) Công thức quy tắc nhân

Nếu các tập ${A_1},{A_2},...,{A_n}$ đôi một rời nhau. Khi đó:

$\left| {{A_1} \cap {A_2} \cap ... \cap {A_n}} \right| = \left| {{A_1}} \right|.\left| {{A_2}} \right|.....\left| {{A_n}} \right|$.

1. Nhị thức Newton

 Định lí: ${(a + b)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}}$

                  $= C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}$

2. Nhận xét

  Trong khai triển Newton ${(a + b)^n}$ có các tính chất sau

* Gồm có $n + 1$ số hạng

* Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n

* Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

* Các hệ số có tính đối xứng: $C_n^k = C_n^{n - k}$

* Số hạng tổng quát : ${T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}$

1. Hoán vị

a) Định nghĩa: Cho tập $A$ gồm $n$ phần tử ($n \ge 1$). Khi sắp xếp $n$ phần tử này theo một thứ tự ta được một hoán vị các phần tử của tập A.

Kí hiệu số hoán vị của n phần tử là ${P_n}$.

b) Số hoán vị của tập n phần tử:

Định lí: Ta có ${P_n} = n!$

2. Chỉnh hợp

a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên $k$ với $1 \le k \le n$. Khi lấy $k$ phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử của A.

b) Số chỉnh hợp

Kí hiệu $A_n^k$ là số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử

Định lí: Ta có $A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}$.

3. Tổ hợp

Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 £ k £ n) được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.

Số tổ  hợp chập k của n phần tử ký hiệu$C_n^k:$ $C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}$

Nhận xét :

- Điều kiện để xảy ra hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp là n phần tử phải phân biệt .

- Chỉnh hợp và tổ hợp khác nhau ở chổ là sau khi chọn ra k trong n phần tử thì chỉnh hợp có sắp thứ tự còn tổ hợp thì không.

1. Xác suất của biến cố

a) Định nghĩa cổ điển của xác suất:

Cho T là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu $\Omega$ là một tập hữu hạn. Giả sử A là một biến cố được mô ta bằng ${\Omega _A} \subset \Omega$. Xác suất của biến cố A,  kí hiệu bởi P(A), được cho bởi công thức

$P(A) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} =$$\frac{{{\rm{So ket qua thuan loi cho A}}}}{{{\rm{So ket qua co the xay ra}}}}$.

Chú ý

$\bullet$ Xác suất của biến cố A chỉ phụ thuộc vào số kết quả thuận lợi cho A, nên ta đồng nhất ${\Omega _A}$ với A nên ta có : $P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}$

$\bullet$ $P(\Omega ) = 1,{\rm{ }}P(\emptyset ) = 0,{\rm{ }}0 \le P(A) \le 1$

b) Định nghĩa thống kê của xác suất

Xét phép thử ngẫu nhiên T và một biến cố A liên quan tới phép thử đó. Nếu tiến hành lặp đi lặp lại N lần phép thử T và thống kê số lần xuất hiện của A

Khi đó xác suất của biến cố A được định nghĩa như sau:

$P(A) =$$\frac{{{\rm{So lan xuat hien cua bien co A}}}}{N}$.

2. Quy tắc cộng xác suất

Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

$\bullet$ Mở rộng quy tắc cộng xác suất

Cho $k$ biến cố ${A_1},{A_2},...,{A_k}$ đôi một xung khắc. Khi đó:

$P({A_1} \cup {A_2} \cup ... \cup {A_k}) = P({A_1}) + P({A_2}) + ... + P({A_k})$.

$\bullet$ $P(\overline A ) = 1 - P(A)$

$\bullet$ Giải sử A và B là hai biến cố tùy ý  cùng liên quan đến một phép thử. Lúc đó: $P(A \cup B) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)$.

3. Quy tắc nhân xác suất

$\bullet$ Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra (hay không xảy ra) của A không làm ảnh hưởng đến xác suất của B.

$\bullet$ Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi $P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)$.

Có bao nhiêu số chẵn có $4$ chữ số được tạo thành từ các số $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ sao cho:

a) Các chữ số có thể giống nhau

b) Các chữ số khác nhau.

Hướng dẫn giải

a) Tập hợp $A = \left\{{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}\right\}$

Gọi số có $4$ chữ số tạo thành là $\overline {abcd}$

Ta có: $\overline {abcd}$ chẵn nên:

Số $\overline {abcd} \left\{ \matrix{a,b,c,d \in A \hfill \cr a \ne 0 \hfill \cr d \in \left\{ {0,2,4,6} \right\} \hfill \cr} \right.$

+) Có $4$ cách để chọn $d$

+) $a ≠ 0$ ⇒ có $6$ cách chọn $a$

+) Có $7$ cách chọn $b$ và $7$ cách chọn $c$

Vậy : $4.6.7.7 = 1176$ số chẵn $\overline {abcd}$ trong đó, các chữ số có thể giống nhau

b) Ở TH1, ta có thể đếm từng chữ số như sau:

TH1: Chọn các số chẵn có chữ số hàng đơn vị bằng 0

⇒ Có 6 cách chọn chữ số hàng nghìn

          5 cách chọn chữ số hàng trăm

          4 cách chọn chữ số hàng chục

⇒ Theo quy tắc nhân: có 6.5.4 = 120 (số)

TH2: Chọn các số chẵn có chữ số hàng đơn vị khác 0.

⇒ Có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị

    Có 5 cách chọn chữ số hàng nghìn (khác 0 và khác hàng đơn vị)

    Có 5 cách chọn chữ số hàng trăm

    Có 4 cách chọn chữ số hàng chục

⇒ Theo quy tắc nhân: Có 3.5.5.4 = 300 (số)

⇒ Theo quy tắc cộng: Có tất cả 120 + 300 = 420 số chẵn thỏa mãn.

Từ một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả. Tính xác suất sao cho:

a) Bốn quả lấy ra cùng màu

b) Có ít nhất một quả màu trắngCó ít nhất một quả màu trắng

Hướng dẫn giải

a) Phép thử: "Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu từ hộp 10 quả cầu".

Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega ) = C_{10}^4 = 210$

Có $C_6^4$ cách chọn bốn quả lấy ra cùng màu trắng và có $C_4^4$ cách chọn bốn quả lấy ra cùng màu đen.

Kí hiệu $A$ là biến cố “Bốn quả lấy ra cùng màu”.

Ta có: $n(A)$ = $C_6^4+C_4^4$=$16$

Vậy: $P(A) = {{n(A)} \over {n(\Omega )}} = {{16} \over {210}} = {8 \over {105}}$

b) Kí hiệu $B$ là biến cố: “ Bốn quả lấy ra có ít nhất một quả màu trắng”.

Biến cố đối: $\overline B$:"Bốn quả lấy ra không có quả màu trắng nào (toàn màu đen)"

Ta có: $n\left( {\overline B } \right) = C_4^4 = 1$

$\Rightarrow n\left( B \right) = C_{10}^4 - 1 = 209$

Vậy: $P(B) = {{n(B)} \over {n(\Omega )}} = {{209} \over {210}}$

Gieo một con xúc sắc ba lần. Tính xác suất sao cho mặt sáu chấm xuất hiện ít nhất một lần.

Hướng dẫn giải

Phép thử: "Gieo một con xúc sắc ba lần."

Không gian mẫu:

$\eqalign{ & \Omega = \left\{ {{\rm{\{ j,j,k\} }}|1 \le i,j,k \le 6} \right\} \cr & \Rightarrow n(\Omega ) = {6^3} = 216 \cr}$

Gọi $A$ là biến cố: “Mặt sáu chấm xuất hiện ít nhất một lần”

Suy ra biến cố đối là $\overline A$: “Không lần nào xuất hiện mặt sáu chấm”.

Lần gieo thứ nhất không ra mặt 6 chấm nên có 5 kết quả có thể xảy ra (1, 2, 3, 4, 5 chấm)

Lần gieo thứ hai và thứ ba: tương tự có 5 kết quả có thể xảy ra.

Theo quy tắc nhân: $n(\overline A ) = {5^3} = 125$

$\Rightarrow P(\bar A) = {{n(\bar A)} \over {n(\Omega )}} = {{125} \over {216}}$

Do đó: $P(A) = 1 - P(\bar A) = 1 - {{125} \over {216}} = {{91} \over {216}} \approx  0,4213$

Câu 1: Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho:

a) Hai con xúc sắc đều xuất hiện mặt chẵn

b) Tích các số chấm trên hai con xúc sắc là số lẻ.

Câu 2: Tính xác suất sao cho trong $13$ con bài tú lơ khơ được chia ngẫu nhiên cho bạn Bình có $4$ con pích, $3$ con rô, $3$ con cơ và $3$ con nhép.

Câu 3: Hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả đỏ và 2 quả xanh, hộp thứ hai chứa 4 quả đỏ và 6 quả xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả. Tính xác suất sao cho

a) Cả hai quả đều đỏ;

b) Hai quả cùng màu;

c) Hai quả khác màu

Câu 4: Cho $5$ đoạn thẳng với các độ dài $3, 5, 7, 9, 11$. Chọn ngẫu nhiên ra ba đoạn thẳng.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định biến cố $A$: “Ba đoạn thẳng chọn ra tạo thành một tam giác” và tính xác suất của $A$

Câu 1: Một phòng làm việc có $2$ máy tính hoạt động độc lập với nhau. Khả năng hoạt động tốt trong ngày của $2$ máy này tương ứng là $75\%$ và $85\%$. Xác suất để $2$ máy tính cùng hoạt động tốt trong ngày là :

A. $0,5375$               

B. $0,6375$

C. $0,7375$               

D. $0,8375$

Câu 2: Một phòng làm việc có $2$ máy tính hoạt động độc lập với nhau. Khả năng hoạt động tốt trong ngày của $2$ máy này tương ứng là $75\%$ và $85\%$. Xác suất để có đúng một máy hoạt động không tốt trong ngày là :

A. $0,325$

B. $0,425$

C. $0,525$

D. $0,625$

Câu 3: Có ba học sinh vào ba quầy sách để mua sách. Xác suất để cả ba học sinh này cùng vào một quầy là:

A. $\dfrac{1}{9}$   

B. $\dfrac{2}{9}$

C. $\dfrac{1}{27}$    

D. $\dfrac{2}{27}$

Câu 4: Có ba học sinh vào ba quầy sách để mua sách. Xác suất để có hai học sinh vào cùng một quầy, học sinh còn lại vào một trong hai quầy còn lại là:

A. $\dfrac{1}{3}$  

B. $\dfrac{2}{3}$

C. $\dfrac{1}{4}$   

D. $\dfrac{1}{6}$

Câu 5: Cho A={a;b;c}. Số hoán vị của ba phần tử của A là:

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Các kiến thức cơ bản của chương như: quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, công thức nhị thức Niu-tơn, phép thử, không gian mẫu và biến cố, xác suất của biến cố.
• Sử dụng thành thạo quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để giải bài tập.
• Biết mô tả không gian mẫu, các biến cố, tính xác suất của biến cố.