Toán 11 Chương 2 Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Công thức nhị thức Niu - Tơn

1.2. Tam giác Pa-xcan

2. Bài tập minh họa

2.1. Bài tập 1

2.2. Bài tập 2

Theo dòng 5 của tam giác Pascal, ta có:

\({(a + 2b)^5} = {a^5} + 5{a^4}.2b + 10{a^3}.{(2b)^2} + 10{a^2}{(2b)^3}\)

\(+ 5a.{(2b)^4} + {(2b)^5}\)\(={a^5} + 10{a^4}b + 40{a^3}{b^2} + 80{a^2}{b^3} + 80a{b^4} + 32{b^5}\)

\(\begin{array}{l}
C2:{\left( {a + 2b} \right)^5}  \\
= C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}{\left( {2b} \right)^1} + C_5^2{a^3}{\left( {2b} \right)^2}\\
+ C_5^3{a^2}{\left( {2b} \right)^3} + C_5^4{a^1}{\left( {2b} \right)^4} + C_5^5{\left( {2b} \right)^5}\\
= {a^5} + 10{a^4}b + 40{a^3}{b^2} + 80{a^2}{b^3} + 80a{b^4} + 32{b^5}
\end{array}\)

Tìm hệ số của \(x^3\) trong khai triển của biểu thức: \({\left( {x + {2 \over {{x^2}}}} \right)^6}\).

Hướng dẫn giải

Số hạng tổng quát:

\(\begin{array}{l}
{T_{k + 1}} = C_6^k.{x^{6 - k}}.{\left( {\dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)^k}\\ = C_6^k.{x^{6 - k}}.\dfrac{{{2^k}}}{{{{\left( {{x^2}} \right)}^k}}}\\
= C_6^k.{x^{6 - k}}.\dfrac{{{2^k}}}{{{x^{2k}}}}\\
= C_6^k{x^{6 - k - 2k}}{.2^k}\\
= C_6^k{.2^k}.{x^{6 - 3k}}
\end{array}\)

Số hạng chứa \(x^3\) ứng với \(6 - 3k = 3 \Leftrightarrow k = 1\)

Do đó hệ số của \(x^3\) trong khai triển của biểu thức đã cho là: \(C_6^1.2^1 = 2.6 = 12\)

Câu 1: Tìm số hạng thứ năm trong khai triển \({\left( {x + \dfrac{2}{x}} \right)^{10}}\), mà trong khai triển đó số mũ của \(x\) giảm dần.

Câu 2: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu - Tơn: \({\left( {a{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 2 } \right)^6}\)

Câu 3: Viết khai triển của \({\left( {1 + x} \right)^6}\)

a) Dùng ba số hạng đầu để tính gần đúng \(1,{01^6}\).

b) Dùng máy tính để kiểm tra kết quả trên

Câu 4: Trong khai triển \({\left( {1 + ax} \right)^n}\) ta có số hạng đầu là \(1\), số hạng thứ hai là \(24x\), số hạng thứ ba là \(252{x^2}\). Hãy tìm \(a\) và \(n\).

Câu 1: Tìm hệ số của \(x^{4}\) trong khai triển \(P(x)=(1-x-3x^{3})^{n}\) với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức \(C_{n}^{n-2}+6n+5=A_{n+1}^{2}\)

A. 210

B. 840

C. 480

D. 270

Câu 2: Tìm hệ số của \(x^{10}\) trong khai triển \((1+x+x^{2}+x^{3})^{5}\)

A. 5

B. 50

C. 101

D. 105

Câu 3: Đa thức \(P(x)=32x^{5}-80x^{4}+80x^{3}-40x^{2}+10x-1\) là khai triển của nhị thức nào dưới đây?

A. \((1-2x)^{5}\)

B. \((1+2x)^{5}\)

C. \((2x-1)^{5}\)

D. \((x-1)^{5}\)

Câu 4: Số hạng không chứa x trong khai triển của \((x-\frac{1}{x^{3}})^{8}\) là:

A. -28

B. 28 

C. 56

D. -56

Câu 5: Hệ số của số hạng chứa \(x^{4}\) trong khai triển của \((x+\frac{2}{x^{2}})^{10}\) là:

A. 85

B. 108

C. 180

D. 95

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Khai triển thành thạo nhị thức niutơn với n xỏc định.
• Xác định số hạng thứ k trong khai triển của khai triển nhị thức Niu-tơn
• Biết tính tổng nhờ công thức Niutơn.
• Sử dụng thành thạo tam giác Pascal để triển khai nhị thức Niutơn.