Toán 11 Chương 2 Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

Cho $n$ phần tử khác nhau ($n ≥ 1$). Mỗi cách sắp thứ tự của $n$ phần tử đã cho, mà trong đó mỗi phần tử có mặt đúng một lần, được gọi là một hoán vị của $n$ phần tử đó.

Định lí

Số các hoán vị của $n$ phần tử khác nhau đã cho ($n  ≥ 1$) được kí hiệu là $P_n$ và bằng:

$P_n = n(n - 1)(n - 2)...2 . 1 = n!$

Định nghĩa

Cho $n$ phần tử khác nhau ($n ≥ 1$). Mỗi tập con sắp thứ tự gồm $k$ phần tử khác nhau ($1 ≤ k ≤ n$) của tập hợp $n$ phần tử đã cho được gọi là một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho.

Chú ý

Mỗi hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho chính là một chỉnh hợp chập $n$ của $n$ phần tử đó.

Định lí

Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là $A_n^k$ và bằng

$A_n^k = n(n – 1)…(n – k + 1) =\frac{n!}{(n - k)!}$ $(1 ≤ k ≤ n)$

Với quy ước $0! = 1$.

Định nghĩa

Cho $n$ phần tử khác nhau ($n ≥ 1$). Mỗi tập con gồm $k$ phần tử khác nhau (không phân biệt thứ tự) của tập hợp $n$ phần tử đã cho ($0 ≤ k ≤ n$) được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đã cho (với quy ước tổ hợp chập $0$ của n phần tử bất kỳ là tập rỗng).

Định lí

Số các tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là $C_n^k$ và bằng

$C_n^k  = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ = $\frac{A^k_{n}}{k!}$, ($0 ≤ k ≤ n$)

Định lí

Với mọi $n ≥ 1; 0 ≤ k ≤ n$, ta có:

a) $C_n^k  =  C_n^{n-k}$

b) $C_n^k  +  C_n^{k+1}$ = \(C_{n+1}^{k+1}

Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5}. Hãy liệt kê các tổ hợp chập 3, chập 4 của 5 phần tử của A.

Hướng dẫn giải

Các tổ hợp chập 3 là: {1,2,3};{1,2,4};{1,2,5};{1,3,4};{1,3,5};{1,4,5};{2,3,4};{2,3,5};{2,4,5};{3,4,5}

Các tổ hợp chập 4 là: {1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,3,4,5},{1,2,4,5},{2,3,4,5}

Từ các số $1, 2, 3, 4, 5, 6$ lập các số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau. Hỏi:

a) Có tất cả bao nhiêu số ?

b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ ?

Hướng dẫn giải

a) Mỗi số tự nhiên có $6$ chữ số khác nhau là một cách sắp xếp 6 chữ số hay một hoán vị của $6$ phần tử:

Vậy có $P_6= 6! = 720$ (số).

b) Số tự nhiên chẵn cần lập có dạng $\overline{abcdef}$, với $a, b, c, d, e, f$ $\in \left\{ {1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5,{\rm{ }}6} \right\}$, có kể đến thứ tự, $f$ chia hết cho $2$.

+) $f$ chia hết cho $2$ nên $f\in \{2;4;6\}$ có $3$ cách.

+) $e\ne f$ nên có 5 cách chọn.

+) $d\ne e, f$ nên có 4 cách chọn.

+) $c\ne f, e, d$ nên có 3 cách chọn.

+) $b\ne f, e, d, c$ nên có 2 cách chọn.

+) $a\ne f,e,d,c,b$ nên có 1 cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân có 3.5.4.3.2.1=360 số tự nhiên chẵn.

Do đó có: 720-360=360 số tự nhiên lẻ.

Cách khác:

+) Chọn $f$ có 3 cách chọn

+) 5 chữ số còn lại có 5!=120 cách sắp xếp thứ tự.

Theo quy tắc nhân có $3 . 5! = 360$ (số).

Có bao nhiêu cách để sắp xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười ghế kê thành một dãy ?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách xếp chỗ ngồi cho $10$ người khách vào một dãy $10$ ghế là một hoán vị của $10$ người.

Suy ra số các cách để xếp chỗ ngồi cho $10$ người khách vào một dãy $10$ ghế là:

$P_{10} = 10! = 3628800$ (cách)

Câu 1: Một cái khay tròn đựng bánh kẹo ngày Tết có $6$ ngăn hình quạt màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách bày $6$ loại bánh kẹo vào $6$ ngăn đó?

Câu 2: Có bao nhiêu cách xếp $5$ bạn nam và $5$ bạn nữ vào $10$ ghế được kê thành hàng ngang, sao cho:

a) Nam và nữ ngồi xen kẽ nhau?

b) Các bạn nam ngồi liền nhau?

Câu 3: Thầy giáo có ba quyển sách Toán khác nhau cho ba bạn mượn (mỗi bạn một quyển). Sang tuần sau thầy giáo thu lại và tiếp tục cho ba bạn mượn ba quyển đó. Hỏi có bao nhiêu cách cho mượn sách mà không bạn nào phải mượn quyển đã đọc?

Câu 4: Bốn người đàn ông, hai người đàn bà và một đứa trẻ được xếp ngồi vào bảy chiếc ghế đặt quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho:

a) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà ?

b) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông?

Câu 1: Cho tập hợp X ={0,1,2}. Các hoán vị của tập hợp X là:

A. (0,1);(0,2);(1,2)

B. (0,1,2);(1,2,0);(2,0,1)

C. (0,1,2);(2,1,0);(2,1,0)

D. (0,1,2);(0,2,1),(1,0,2);(1,2,0);(2,1,0);(2,0,1)

Câu 2: Số các hoán vị của dãy a,b,c,d,e mà phần tử đầu tiên bằng a là:

A. 5!      

B. 4!

C. 3!      

D. 2!

Câu 3: An và Bình cùng 7 bạn khác rủ nhau đi xem bóng đá. 9 bạn được xếp vào 9 ghế và thành hàng ngang.

Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 9 bạn sao cho 2 bạn An và Bình không ngồi cùng nhau?

A. 322560      

B. 40320

C. 282240      

D. 357840

Câu 4: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau.   

A. 110

B. 121

C. 120

D. 125

Câu 5: Có bao nhiêu cách xếp $n$ người ngồi vào một bàn tròn.

A. $n!$

B. $(n - 1)!$

C. $2(n - 1)!$

D. $(n - 2)!$

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
• Nắm được công thức tính số hoán vị của một tập hợp gồm n phần tử, hiểu được cách chứng minh định lí về số các hoán vị.
• Công thức tính số các chỉnh hợp chập k của n phần tử
• Phân biệt các khái niệm : Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp