Toán 11 Chương 1 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp
Để giúp các em học sinh lớp 11 học hiệu quả môn Toán, đội ngũ eLib đã biên soạn và tổng hợp nội dung bài Một số phương trình lượng giác thường gặp. Tài liệu gồm kiến thức cần nhớ và các dạng Toán về so sánh các số, giúp các em học tập và củng cố thật tốt kiến thức. Mời các em cùng tham khảo.
Mục lục nội dung
1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác
a) Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng \(at + b = 0\) trong đó a,b là các hằng số \(\left( {a \ne 0} \right)\)và t là một trong các hàm số lượng giác.
Ví dụ: \(2\sin x - 1 = 0\;\)
\(c{\rm{os}}2x + \frac{1}{2} = 0;\)
\(3\tan x - 1 = 0;\)
\(\sqrt 3 \cot x + 1 = 0\)
b) Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
1.2. Phương trình bậc hai đối với sinx, cosx, tanx, cotx
a) Dạng phương trình
\(\begin{array}{l}a{\sin ^2}x + b\sin x + c = 0\\a{\cos ^2}x + b\cos x + c = 0\\a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0\\a{\cot ^2}x + b\cot x + c = 0\end{array}\)
b) Cách giải
Đặt: \(t = \sin x{\rm{ ( - 1}} \le {\rm{t}} \le {\rm{1)}}\)
\(\begin{array}{l}t = \cos x{\rm{ ( - 1}} \le {\rm{t}} \le {\rm{1)}}\\t = \tan x\\t = \cot x\end{array}\)
c) Chú ý
-
Nếu a là một số cho trước mà \(\tan \alpha \) xác định thì phương trình tanx = tana có nghiệm x = \(\alpha + k\pi\) thoả điều kiện \(\cos x \ne 0\).
-
Phương trình tanP(x) = tanQ(x) thì cần phải chú ý đến điều kiện cosP(x) \(\ne\) 0 và cosQ(x) \(\ne\) 0.
1.3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
a) Dạng phương trình
\(a\sin x + b\cos x = c{\rm{ (1)}}\)
Điều kiện có nghiệm: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)
b) Cách giải
-
Cách 1: Chia hai vế của (1) cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \), ta được:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Vì \({\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1\) nên ta đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \varphi = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\\{\cos \varphi = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\end{array}} \right.\)
Phương trình trở thành:
\(\sin x\sin \varphi + \cos x\cos \varphi = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \cos \left( {x - \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Đặt \(\cos \alpha = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) ta được phương trình lượng giác cơ bản.
Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\\sin \varphi = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\end{array} \right.\)
Khi đó phương trình trở thành: \({\mathop{\rm sinxcos}\nolimits} \varphi + cosxsin\varphi = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
-
Cách 2:
Xét \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi ,{\rm{ k}} \in \mathbb{Z}\) có là nghiệm của (1) không
Xét \(\cos \frac{x}{2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\). Khi đó \(\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) và \(\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)
Phương trình trở thành:
\(a.\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + b.\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = c \Leftrightarrow \left( {b + c} \right){t^2} - 2at + c - b = 0{\rm{ (2)}}\)
Giải (2) theo t, tìm được t thay vào \(t = \tan \frac{x}{2}\) suy ra x
-
Cách 3:
Nếu \(a \ne 0\) chia 2 vế cho a rồi ta đặt \(\tan \alpha = \frac{b}{a}\) \(\left( { - \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)\)
Phương trình trở thành: \(\sin x + \frac{{\sin \alpha }}{{c{\rm{os}}\alpha }}\cos x = \frac{c}{a}\)
\( \Leftrightarrow c{\rm{os}}\alpha \sin x + \sin \alpha \cos x = \frac{c}{a}c{\rm{os}}\alpha \Leftrightarrow \sin (x + \alpha ) = \frac{c}{a}c{\rm{os}}\alpha \)
Đặt \(\sin \varphi = \frac{c}{a}\cos \alpha \) ta được phương trình lượng giác cơ bản \(\sin (x + \alpha ) = \sin \varphi \).
2. Bài tập minh họa
2.1. Dạng 1: Giải phương trình bậc nhất
Giải các phương trình sau:
a) \(2\sin x - 1 = 0\,.\)
b) \(c{\rm{os}}2x + \frac{1}{2} = 0.\)
c) \(3\tan x - 1 = 0.\)
d) \(\sqrt 3 \cot x + 1 = 0.\)
e) \(2\cos x - \sin 2x = 0\)
Hướng dẫn giải
a)
\(2\sin x - 1 = 0\, \\ \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{6} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b)
\(c{\rm{os}}2x + \frac{1}{2} = 0 \\ \Leftrightarrow c{\rm{os}}2x = \frac{{ - 1}}{2} \\ \Leftrightarrow c{\rm{os}}2x = \cos \frac{{2\pi }}{3}\) \( \Leftrightarrow 2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \\ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c)
\(3\tan x - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{3} \\ \Leftrightarrow x = \arctan \frac{1}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{C}} \right)\)
d)
\(\sqrt 3 \cot x + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow \cot x = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }} \\ \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{{2\pi }}{3} \\ \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
e)
\(\cos x - \sin 2x = 0 \\ \Leftrightarrow \cos x - 2\sin x\cos x = 0 \\ \Leftrightarrow \cos x\left( {1 - 2\sin x} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\1 - 2\sin x = 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{6} + l\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + l\pi \end{array} \right.\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)\)
2.2. Dạng 2: Giải phương trình bậc hai
Giải các phương trình sau:
a) \(2{\sin ^2}x + \sin x - 3 = 0\)
b) \(co{s^2}x + 3cosx - 1 = 0\)
c) \(3\sin {2^2}x + 7\cos 2x - 3 = 0\)
d) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3 = 0\)
Hướng dẫn giải
a) \(2{\sin ^2}x + \sin x - 3 = 0(1)\)
Đặt \(t = \sin x\), điều kiện \(\left| t \right| \le 1\). Phương trình (1) trở thành:
\(2{t^2} + t - 3 = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\;\left( {nhan} \right)\\t = \frac{3}{2}\;\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)
Với t=1, ta được \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \(co{s^2}x + 3cosx - 1 = 0\left( 2 \right)\)
Đặt \(t = c{\rm{os}}x\), điều kiện \(\left| t \right| \le 1\). Phương trình (2) trở thành:
\({t^2} + 3t - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\left( {nhan} \right)\\t = \frac{{ - 3 - \sqrt {13} }}{2}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)
Với \(t = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\) ta được
\(c{\rm{os}}x = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2} \\ \Leftrightarrow x = \pm \arccos \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c)
\(3{\sin ^2}2x + 7\cos 2x - 3 = 0 \\ \Leftrightarrow 3\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) + 7\cos 2x - 3 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{\cos ^2}2x - 7\cos 2x = 0 \\ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {3\cos 2x - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\3\cos 2x - 7 = 0\end{array} \right.\end{array}\)
- Giải phương trình:
\(\cos 2x = 0 \\ \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
- Giải phương trình:
\(3\cos 2x - 7 = 0 \\ \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{7}{3}\)
Vì \(\frac{7}{3} > 1\) nên phương trình \(3\cos 2x - 7 = 0\) vô nghiệm.
Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
d) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3 = 0\)
Điều kiện: \(\cos x \ne 0\) (*)
(3)
\( \Leftrightarrow 1 + {\tan ^2}x - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow {\tan ^2}x - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3 = 0\)
Đặt \(t = \tan x\)
Khi đó phương trình trở thành: \({t^2} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)t - \sqrt 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\)
- Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1\)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
- Với \(t = \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
So sánh với điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \),
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
2.3. Dạng 3: Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2\)
b) \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x - \cos x = 2 + \sqrt 3 \)
c) \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\)
Hướng dẫn giải
a) \(\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2(1)\)
(1)\( \Leftrightarrow \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x = \sqrt 2 \)
\( \Leftrightarrow \sin 3x + \tan \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2 \)
\(\Leftrightarrow \sin 3x\cos \frac{\pi }{3} + \sin \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2 \cos \frac{\pi }{3} \\ \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{3x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\\{x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy nghiệm của (1) là \(x = - \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\),
\(x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x - \cos x = 2 + \sqrt 3 \) (2)
Xét \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \) không là nghiệm của phương trình (2)
Xét \(\cos \frac{x}{2} \ne 0\)
Đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\). Khi đó \(\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) và \(\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)
Phương trình (2) trở thành: \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} - \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = 2 + \sqrt 3 \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2 + \sqrt 3 } \right)2t - 1 + {t^2} = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + {t^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \sqrt 3 } \right){t^2} - 2\left( {2 + \sqrt 3 } \right)t + 3 + \sqrt 3 = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\end{array}\)
- Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = 1\)
\(\Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
- Với\(t = \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = \sqrt 3 \)
\(\Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{3} + k\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy nghiệm của (2) là \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \), \(x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c) \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\) (3)
(3)\( \Leftrightarrow 2\sqrt 2 \sin x\cos x + 2\sqrt 2 {\cos ^2}x = 3 + \cos 2x\)
\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \sqrt 2 \left( {1 + \cos 2x} \right) = 3 + \cos 2x\)
\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\cos 2x = 3 - \sqrt 2 \)
Điều kiện có nghiệm của phương trình: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)
Khi đó: \(2 + {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} \ge {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^2} \Leftrightarrow 5 - 2\sqrt 2 \ge 11 - 6\sqrt 2 \) (không thỏa)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1. Giải các phương trình sau:
a) \(3{\sin ^2}x + \sin x - 4 = 0\)
b) \(\sin 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 0.\)
c) \(\sqrt 3 \cot x - 1 = 0.\)
d) \(\tan x + \sqrt 3 = 0.\)
e) \(2\sin x - \sin 2x = 0\)
Câu 2: Giải các phương trình sau:
a) \(3{\sin ^2}x + \sin x - 4 = 0\)
b) \(2co{s^2}x + 5cosx + 2 = 0\)
c) \({\sin ^2}2x + 7\cos 2x - 6 = 0\)
d)\(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\cot x - 1 + \sqrt 3 {\rm{\;}} = 0\)
Câu 3: Giải các phương trình sau:
a) \(3\sin 3x + 4\cos 3x = 5\)
b) \(\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\sin x - \cos x = 2 - \sqrt 3 \)
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Giải phương trình \(5\sin 2x - 6{\cos ^2}x = 13.\)
A. \(x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
B. \(x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
C. \(x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
D. Vô nghiệm.
Câu 2. Giải phương trình \(2{\sin ^2}x + 3\sqrt 3 \sin x.\cos x - {\cos ^2}x = 4.\)
A. \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
B. \(x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
C. \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
D. Vô nghiệm
Câu 3. Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình \(\cos x.\cos 5x = \cos 2x.cos4x.\)
A. \(x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
B. \(x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\)
C. \(x = \frac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}\)
D. A, B, C đều sai.
Câu 4. Giải phương trình \(\sqrt 3 {\tan ^2}x - (1 + \sqrt 3 )\tan x + 1 = 0.\)
A. \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \) và \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
B. \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \) và \(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
C. . \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \) và \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
D. \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \) và \(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
Câu 5. Giải phương trình \(3\cos x + 4\sin x = - 5.\)
A. \(x = \pi + \alpha + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) với \(\cos \alpha = \frac{3}{5}\)
B. \(x = \pi + \alpha + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) với \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\)
C. \(x = \pi - \alpha + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) với \(\cos \alpha = \frac{3}{5}\)
D. \(x = \pi - \alpha + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) với \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\)
3.3. Trắc nghiệm Online
Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Một số phương trình lượng giác thường gặp Toán 11 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.
4. Kết luận
Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:
- Nhận dạng được các loại phương trình lượng giác.
- Làm được các bài tập liên quan.