Toán 11 Chương 1 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

a) Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng $at + b = 0$ trong đó a,b là các hằng số $\left( {a \ne 0} \right)$và t là một trong các hàm số lượng giác.

Ví dụ: $2\sin x - 1 = 0\;$

$c{\rm{os}}2x + \frac{1}{2} = 0;$

$3\tan x - 1 = 0;$

$\sqrt 3 \cot x + 1 = 0$

b) Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản. 

a) Dạng phương trình

$\begin{array}{l}a{\sin ^2}x + b\sin x + c = 0\\a{\cos ^2}x + b\cos x + c = 0\\a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0\\a{\cot ^2}x + b\cot x + c = 0\end{array}$

b) Cách giải

Đặt: $t = \sin x{\rm{   (  - 1}} \le {\rm{t}} \le {\rm{1)}}$

$\begin{array}{l}t = \cos x{\rm{   ( - 1}} \le {\rm{t}} \le {\rm{1)}}\\t = \tan x\\t = \cot x\end{array}$

c) Chú ý

• Nếu a là một số cho trước mà $\tan \alpha$ xác định thì phương trình tanx = tana có nghiệm x = $\alpha  + k\pi$ thoả điều kiện $\cos x \ne 0$.

• Phương trình tanP(x) = tanQ(x) thì cần phải chú ý đến điều kiện cosP(x) $\ne$ 0 và cosQ(x) $\ne$ 0.

a) Dạng phương trình

$a\sin x + b\cos x = c{\rm{  (1)}}$

Điều kiện có nghiệm: ${a^2} + {b^2} \ge {c^2}$

b) Cách giải

• Cách 1: Chia hai vế của (1) cho $\sqrt {{a^2} + {b^2}}$, ta được:

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

Vì ${\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1$ nên ta đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \varphi  = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\\{\cos \varphi  = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\end{array}} \right.$

Phương trình trở thành:

$\sin x\sin \varphi  + \cos x\cos \varphi  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \cos \left( {x - \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

Đặt $\cos \alpha  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ ta được phương trình lượng giác cơ bản.

Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể đặt $\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi  = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\\sin \varphi  = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\end{array} \right.$

Khi đó phương trình trở thành: ${\mathop{\rm sinxcos}\nolimits} \varphi  + cosxsin\varphi  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

• Cách 2:

Xét $\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi ,{\rm{ k}} \in \mathbb{Z}$ có là nghiệm của (1) không

Xét $\cos \frac{x}{2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pi  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Đặt $t = \tan \frac{x}{2}$. Khi đó $\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}$ và $\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}$

Phương trình trở thành:

$a.\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + b.\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = c \Leftrightarrow \left( {b + c} \right){t^2} - 2at + c - b = 0{\rm{  (2)}}$

Giải (2) theo t, tìm được t thay vào $t = \tan \frac{x}{2}$ suy ra x

• Cách 3:

Nếu $a \ne 0$ chia 2 vế cho a rồi ta đặt $\tan \alpha  = \frac{b}{a}$   $\left( { - \frac{\pi }{2} < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)$

Phương trình trở thành: $\sin x + \frac{{\sin \alpha }}{{c{\rm{os}}\alpha }}\cos x = \frac{c}{a}$

$\Leftrightarrow c{\rm{os}}\alpha \sin x + \sin \alpha \cos x = \frac{c}{a}c{\rm{os}}\alpha  \Leftrightarrow \sin (x + \alpha ) = \frac{c}{a}c{\rm{os}}\alpha$

Đặt $\sin \varphi  = \frac{c}{a}\cos \alpha$ ta được phương trình lượng giác cơ bản $\sin (x + \alpha ) = \sin \varphi$.

Giải các phương trình sau:

a) $2\sin x - 1 = 0\,.$

b) $c{\rm{os}}2x + \frac{1}{2} = 0.$

c) $3\tan x - 1 = 0.$

d) $\sqrt 3 \cot x + 1 = 0.$

e) $2\cos x - \sin 2x = 0$

Hướng dẫn giải

a)

$2\sin x - 1 = 0\, \\ \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{6} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

b)

$c{\rm{os}}2x + \frac{1}{2} = 0 \\ \Leftrightarrow c{\rm{os}}2x = \frac{{ - 1}}{2} \\ \Leftrightarrow c{\rm{os}}2x = \cos \frac{{2\pi }}{3}$ $\Leftrightarrow 2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \\ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

c) 

$3\tan x - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{3} \\ \Leftrightarrow x = \arctan \frac{1}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{C}} \right)$

d)

$\sqrt 3 \cot x + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow \cot x = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }} \\ \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{{2\pi }}{3} \\ \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

e)

$\cos x - \sin 2x = 0 \\ \Leftrightarrow \cos x - 2\sin x\cos x = 0 \\ \Leftrightarrow \cos x\left( {1 - 2\sin x} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\1 - 2\sin x = 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{6} + l\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + l\pi \end{array} \right.\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)$

Giải các phương trình sau:

a) $2{\sin ^2}x + \sin x - 3 = 0$

b) $co{s^2}x + 3cosx - 1 = 0$

c) $3\sin {2^2}x + 7\cos 2x - 3 = 0$

d) $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3  = 0$

Hướng dẫn giải

a) $2{\sin ^2}x + \sin x - 3 = 0(1)$

Đặt $t = \sin x$, điều kiện $\left| t \right| \le 1$. Phương trình (1) trở thành:

$2{t^2} + t - 3 = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\;\left( {nhan} \right)\\t = \frac{3}{2}\;\left( {loai} \right)\end{array} \right.$

Với t=1, ta được $\sin x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

b) $co{s^2}x + 3cosx - 1 = 0\left( 2 \right)$

Đặt $t = c{\rm{os}}x$, điều kiện $\left| t \right| \le 1$. Phương trình (2) trở thành:

${t^2} + 3t - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\left( {nhan} \right)\\t = \frac{{ - 3 - \sqrt {13} }}{2}\left( {loai} \right)\end{array} \right.$

Với $t = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}$ ta được

$c{\rm{os}}x = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2} \\ \Leftrightarrow x = \pm \arccos \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

c)

$3{\sin ^2}2x + 7\cos 2x - 3 = 0 \\ \Leftrightarrow 3\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) + 7\cos 2x - 3 = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{\cos ^2}2x - 7\cos 2x = 0 \\ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {3\cos 2x - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\3\cos 2x - 7 = 0\end{array} \right.\end{array}$

• Giải phương trình:

$\cos 2x = 0 \\ \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

• Giải phương trình:

$3\cos 2x - 7 = 0 \\ \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{7}{3}$

Vì $\frac{7}{3} > 1$ nên phương trình $3\cos 2x - 7 = 0$ vô nghiệm.

Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

d) $\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3  = 0$

Điều kiện: $\cos x \ne 0$  (*)

(3)

$\Leftrightarrow 1 + {\tan ^2}x - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3  = 0$

$\Leftrightarrow {\tan ^2}x - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3  = 0$

Đặt $t = \tan x$

Khi đó phương trình trở thành: ${t^2} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)t - \sqrt 3  = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \sqrt 3 }\end{array}} \right.$

• Với $t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1$$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$
• Với $t = \sqrt 3  \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3$$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

So sánh với điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là: $x = \frac{\pi }{4} + k\pi$,

$x = \frac{\pi }{3} + k\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2$

b) $\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x - \cos x = 2 + \sqrt 3$

c) $2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2(1)$

(1)$\Leftrightarrow \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x = \sqrt 2$

$\Leftrightarrow \sin 3x + \tan \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2$

$\Leftrightarrow \sin 3x\cos \frac{\pi }{3} + \sin \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2 \cos \frac{\pi }{3} \\ \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{3x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\\{x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}$

Vậy nghiệm của (1) là $x =  - \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}$,

$x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

b) $\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x - \cos x = 2 + \sqrt 3$ (2)

Xét $\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi$ không là nghiệm của phương trình (2)

Xét $\cos \frac{x}{2} \ne 0$

Đặt $t = \tan \frac{x}{2}$. Khi đó $\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}$ và $\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}$

Phương trình (2) trở thành:  $\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} - \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = 2 + \sqrt 3$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2 + \sqrt 3 } \right)2t - 1 + {t^2} = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + {t^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \sqrt 3 } \right){t^2} - 2\left( {2 + \sqrt 3 } \right)t + 3 + \sqrt 3 = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\end{array}$

• Với $t = 1 \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = 1$

$\Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

• Với$t = \sqrt 3  \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = \sqrt 3$

$\Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{3} + k\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Vậy nghiệm của (2) là $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi$, $x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

c) $2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x$ (3)

(3)$\Leftrightarrow 2\sqrt 2 \sin x\cos x + 2\sqrt 2 {\cos ^2}x = 3 + \cos 2x$

$\Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \sqrt 2 \left( {1 + \cos 2x} \right) = 3 + \cos 2x$

$\Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \left( {\sqrt 2  - 1} \right)\cos 2x = 3 - \sqrt 2$

Điều kiện có nghiệm của phương trình: ${a^2} + {b^2} \ge {c^2}$

Khi đó: $2 + {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2} \ge {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^2} \Leftrightarrow 5 - 2\sqrt 2  \ge 11 - 6\sqrt 2$ (không thỏa)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 1. Giải các phương trình sau:

a) $3{\sin ^2}x + \sin x - 4 = 0$

b) $\sin 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 0.$

c) $\sqrt 3 \cot x - 1 = 0.$

d) $\tan x + \sqrt 3 = 0.$

e) $2\sin x - \sin 2x = 0$

Câu 2: Giải các phương trình sau:

a) $3{\sin ^2}x + \sin x - 4 = 0$

b) $2co{s^2}x + 5cosx + 2 = 0$

c) ${\sin ^2}2x + 7\cos 2x - 6 = 0$

d)$\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\cot x - 1 + \sqrt 3 {\rm{\;}} = 0$

Câu 3: Giải các phương trình sau:

a) $3\sin 3x + 4\cos 3x = 5$

b) $\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\sin x - \cos x = 2 - \sqrt 3$

Câu 1. Giải phương trình $5\sin 2x - 6{\cos ^2}x = 13.$

A. $x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

B. $x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

C. $x = \pi  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

D. Vô nghiệm.

Câu 2. Giải phương trình $2{\sin ^2}x + 3\sqrt 3 \sin x.\cos x - {\cos ^2}x = 4.$

A. $x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.$

B. $x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}.$

C. $x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.$

D. Vô nghiệm

Câu 3. Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình $\cos x.\cos 5x = \cos 2x.cos4x.$

A. $x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

B. $x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$

C. $x = \frac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}$

D. A, B, C đều sai. 

Câu 4. Giải phương trình $\sqrt 3 {\tan ^2}x - (1 + \sqrt 3 )\tan x + 1 = 0.$

A. $x = \frac{\pi }{4} + k\pi$ và $x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.$

B. $x = \frac{\pi }{4} + k2\pi$ và $x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.$

C. . $x = \frac{\pi }{3} + k\pi$ và $x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.$

D. $x = \frac{\pi }{4} + k2\pi$ và $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.$

Câu 5. Giải phương trình $3\cos x + 4\sin x =  - 5.$

A. $x = \pi  + \alpha  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$ với $\cos \alpha  = \frac{3}{5}$

B. $x = \pi  + \alpha  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$ với $\sin \alpha  = \frac{3}{5}$

C. $x = \pi  - \alpha  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$ với $\cos \alpha  = \frac{3}{5}$

D. $x = \pi  - \alpha  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$ với $\sin \alpha  = \frac{3}{5}$

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Nhận dạng được các loại phương trình lượng giác.
• Làm được các bài tập liên quan.