Toán 11 Chương 1 Bài 1: Hàm số lượng giác

a) Hàm số sin

Xét hàm số $y = \sin x$

- Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$

- Tập giá trị: $[-1;1].$

- Hàm số tuần hòa với chu kì $2\pi$.

- Sự biến thiên:

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( {-\frac{{ \pi }}{2} + k2\pi ;\,\,\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)$, $k \in \mathbb{Z}.$
• Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {k2\pi ;\,\,\pi + k2\pi } \right)$, $k \in \mathbb{Z}$.

- Đồ thị hàm số $y = \sin x$

• Đồ thị là một đường hình sin.
• Do hàm số $y = \sin x$ là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
• Đồ thị hàm số $y = \sin x$:

​

b) Hàm số cosin

Xét hàm số $y = \cos x$

- Tập xác định: $\mathbb{R}$

- Tập giá trị: $[-1;1].$

- Hàm số tuần hòa với chu kì: $2\pi$

- Sự biến thiên:

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $( - \pi + k2\pi ;\,\,k2\pi )$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(k2\pi ;\,\,\pi + k2\pi )$, $k \in \mathbb{Z}$.

- Đồ thị hàm số $y = \cos x$

• Đồ thị hàm số là một đường hình sin.
• Hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
• Đồ thị hàm số $y = \cos x$​:

a) Hàm số $y = \tan x$

- Tập xác định $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}.$ 

- Hàm số tuần hoàn với chu kì $\pi.$ 

- Tập giá trị là $\mathbb{R}$.

- Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( {\frac{{ - \pi }}{2} + k\pi ;\,\frac{\pi }{2} + \,k\pi } \right),\,\,k \in \mathbb{Z}.$

- Đồ thị hàm số $y = \tan x$​

• Hàm số $y = \tan x$ là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
• Đồ thị hàm số $y = \tan x$:

b) Hàm số $y = \cot x$

- Tập xác định $\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\left( {k \in } \right)} \right\}.$ 

- Tập giá trị là $\mathbb{R}.$

- Hàm số tuần hoàn với chu kì $\pi .$ 

- Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  $\left( {k\pi ;\,\pi + \,k\pi } \right),\,\,k \in \mathbb{Z}.$

- Đồ thị hàm số $y = \cot x$

• Hàm số $y = \cot x$ là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
• Đồ thị hàm số $y = \cot x$​:

Câu 1: Tìm tập xác định các hàm số sau:

a) $y = \frac{{1 + \sin x}}{{\cos x}}$

b) $y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$

c) $y = \cot \left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right)$

Hướng dẫn giải

a) Hàm số $y = \frac{{1 + \sin x}}{{\cos x}}$ xác định khi $cosx\ne0$ hay $x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,(k \in\mathbb{Z} ).$

b) Hàm số $y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$ xác định khi $x + \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi \,(k \in\mathbb{Z} ).$

c) Hàm số $y = \cot \left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right)$ xác định khi $\frac{\pi }{3} - 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} - k\frac{\pi }{2}\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).$

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $y = 3\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + 1$

b) $y=\sqrt{1+\cos2x}-5$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $- 1 \le \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 1$

$\Rightarrow - 3 \le 3\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 3$

$\Rightarrow - 2 \le 3\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + 1 \le 4$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4, giá trị nhỏ nhất cả hàm số là -2.

b) Ta có: $- 1 \le \cos 2x \le 1$

$\Rightarrow 0 \le 1 + \cos 2x \le 2$

$\Rightarrow 0 \le \sqrt {1 + \cos 2x} \le \sqrt 2$

$\Rightarrow - 5 \le \sqrt {1 + \cos 2x} - 5 \le \sqrt 2 - 5$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $\sqrt2-5$, giá trị nhỏ nhất của hàm số là -5.

Câu 3: Tìm chu kì tuần hoàn của các hàm số lượng giác sau:

a) $y = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x$

b) $y = 2\cos 2x$

c) $y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)$

Hướng dẫn giải

a) Hàm số $y = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x$ có chu kì tuần hoàn là $T = \frac{{2\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \pi .$

b) Hàm số $y = 2\cos 2x$ có chu kì tuần hoàn là $T = \frac{{2\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \pi .$

c) Hàm số $y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)$ có chu kì tuần hoàn là $T = \frac{{\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \frac{\pi}{2} .$

Câu 1. Tìm tập xác định của hàm số $y = \cot x$

A. $R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z} \right\}$

B. $R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}$

C. $R\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2},k \in Z} \right\}$

D. $R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}$

Câu 2. Tập xác định của hàm số $y = \tan x$

A. R

B. $R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}$

C. $R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}$

D. $R\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2},k \in Z} \right\}$

Câu 3. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số lần lượt là: 

A. -8 và -2 

B. 2 và 8

C. -5 và 2

D. -5 và 3 

Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số $y = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x.$

A. M=0

B. M=1

C. M=2

D. $M = \frac{1}{2}$

Câu 5. Tìm tập giá trị của hàm số $y = 1 - 2\left| {\sin 3x} \right|.$

A. ${\rm{[}} - 1;1]$

B. $\left[ {0;1} \right]$

C. $\left[ { - 1;0} \right]$

D. $\left[ { - 1;3} \right]$

Qua bài học này, các em cần nắm được những nội dung sau:

• Nắm được hình dạng của hàm số sin, hàm số cos, hàm số tan và hàm số cot.
• Làm được các bài tập liên quan.