Toán 11 Chương 4 Bài 2: Giới hạn của hàm số

a) Giới hạn hàm số

Cho khoảng \(K\) chứa điểm \({x_0}\). Ta nói rằng hàm số \(f(x)\) xác định trên \(K\) (có thể trừ điểm \({x_0}\)) có giới hạn là \(L\) khi x dần tới \({x_0}\) nếu với dãy số \(({x_n})\)  bất kì, \({x_n} \in K\backslash {\rm{\{ }}{x_0}{\rm{\} }}\) và\({x_n} \to {x_0}\), ta có: \(f({x_n}) \to L\). Ta kí hiệu:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to {x_0}\).

b) Giới hạn một bên

• Cho hàm số \(y = f(x)\)  xác định trên\(({x_0};b)\). Số \(L\) gọi là giới hạn bên phải của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x\) dần tới \({x_0}\) nếu với mọi dãy \(({x_n}):{x_0} < {x_n} < b\) mà \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có:\(f({x_n}) \to L\). Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = L\).
• Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên\((a;{x_0})\). Số \(L\) gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x\) dần tới \({x_0}\) nếu với mọi dãy \(({x_n}):a < {x_n} < {x_0}\) mà \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có: \(f({x_n}) \to L\). Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f(x) = L\).

Chú ý: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_{_0}^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_{_0}^ - } f(x) = L\).

c) Giới hạn tại vô cực

• Ta nói hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \((a; + \infty )\) có giới hạn là \(L\) khi \(x \to  + \infty \) nếu với mọi dãy số \(({x_n}):{x_n} > a\) và \({x_n} \to  + \infty \) thì \(f({x_n}) \to L\). Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = L\).
• Ta nói hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(( - \infty ;b)\) có giới hạn là \(L\) khi \(x \to  - \infty \) nếu với mọi dãy số \(({x_n}):{x_n} < b\) và \({x_n} \to  - \infty \) thì\(f({x_n}) \to L\). Kí hiệu:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = L\).

d) Giới hạn vô cực

• Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn dần tới dương vô cực khi \(x\) dần tới \({x_0}\) nếu với mọi dãy số \(({x_n}):{x_n} \to {x_0}\) thì\(f({x_n}) \to  + \infty \). Kí hiệu:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) =  + \infty \).
• Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực
• Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay \({x_0}\) bởi \( - \infty \) hoặc\( + \infty \).

Định lí 1: Gới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số  dẫn về\(L \ne 0\)) khi \(x \to {x_0}\) (hay\(x \to  + \infty ;x \to  - \infty \) ) bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn đó khi \(x \to {x_0}\) (hay\(x \to  + \infty ;x \to  - \infty \)) .

Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực

Định lí 2: (Nguyên lí kẹp)

Cho ba hàm số \(f(x),g(x),h(x)\) xác định trên \(K\)chứa điểm \({x_0}\) (có thể các hàm đó không xác định tại \({x_0}\)). Nếu \(g(x) \le f(x) \le h(x){\rm{  }}\forall x \in K\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} h(x) = L\) thì\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = L\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty \atop\left( {x \to  - \infty } \right)} {x^{2k}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty \atop\left( {x \to  - \infty } \right)} {x^{2k + 1}} =  + \infty \,\,\left( { - \infty } \right)\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) =  + \infty {\rm{ }}( - \infty ) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{k}{{f(x)}} = 0{\rm{  }}(k \ne 0)\).

Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:

a) \(\underset{x\rightarrow 4}{\lim}\dfrac{x+1}{3x - 2}\);

b) \(\underset{x \rightarrow +\infty }{\lim}\dfrac{2-5x^{2}}{x^{2}+3}\).

Hướng dẫn giải

a) Hàm số \(f(x) = \dfrac{x +1}{3x - 2}\) xác định trên \(D=\mathbb R\backslash \left\{ {{2 \over 3}} \right\}\) và ta có \(x = 4 \in D\)

Giả sử \((x_n)\) là dãy số bất kì và \(x_n ∈ D\); \(x_n≠ 4\) và \(x_n→ 4\) khi \(n \to  + \infty \) hay \(\lim {x_n} = 4\)

Ta có \(\lim f(x_n) = \lim \dfrac{x_{n} +1}{3x_{n} - 2} \) \( = \dfrac{{\lim {x_n} + 1}}{{3\lim {x_n} - 2}}\) \(= \dfrac{4 + 1}{3. 4 - 2} = \dfrac{1}{2}\)

Vậy \(\underset{x\rightarrow 4}{\lim}\) \(\dfrac{x +1}{3x - 2}\) = \(\dfrac{1}{2}\).

b) Hàm số \(f(x)\) = \(\dfrac{2-5x^{2}}{x^{2}+3}\) xác định trên \(\mathbb R\).

Giả sử \((x_n)\) là dãy số bất kì và \(x_n→ +∞\) khi \(n \to  + \infty \) hay \(\lim {x_n} =  + \infty \)

\( \Rightarrow \lim \dfrac{1}{{x_n^2}} = 0\)

Ta có \(\lim f(x_n) = \lim \dfrac{2-5x^{2}_{n}}{x^{2}_{n}+3}\) \(= \lim \dfrac{{x_n^2\left( {\dfrac{2}{{x_n^2}} - 5} \right)}}{{x_n^2\left( {1 + \dfrac{3}{{x_n^2}}} \right)}}\) \(= \lim \dfrac{\dfrac{2}{x^{2}_{n}}-5}{1+\dfrac{3}{x^{2}_{n}}} \) \( = \dfrac{{\lim \dfrac{2}{{x_n^2}} - 5}}{{1 + \lim \dfrac{3}{{x_n^2}}}} = \dfrac{{0 - 5}}{{1 + 0}}\) \(= -5\)

Vậy \(\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim}\) \(\dfrac{2-5x^{2}}{x^{2}+3} = -5\).

Cho hàm số

\(f(x) = \left\{ \matrix{
\sqrt x + 1 \text{ nếu   }x\ge 0 \hfill \cr 
2x\text{ nếu   }x < 0 \hfill \cr} \right.\)

Và các dãy số \((u_n)\) với \(u_n= \dfrac{1}{n}\), \((v_n)\) với \(v_n= -\dfrac{1}{n}\).

Tính \(\lim u_n\), \(\lim v_n\), \(\lim f (u_n)\) và \(\lim f(v_n)\)

Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi \(x → 0\)?

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}
\lim {u_n} = \lim \dfrac{1}{n} = 0\\
\lim {v_n} = \lim \left( { - \dfrac{1}{n}} \right) = 0\\
{u_n} = \dfrac{1}{n} > 0 \Rightarrow f\left( {{u_n}} \right) = \sqrt {\dfrac{1}{n}} + 1\\ \Rightarrow \lim f\left( {{u_n}} \right) = \lim \left( {\sqrt {\dfrac{1}{n}}  + 1} \right) = 1\\
{v_n} = - \dfrac{1}{n} < 0 \Rightarrow f\left( {{v_n}} \right) = - \dfrac{2}{n}\\ \Rightarrow \lim f\left( {{v_n}} \right) = \lim \left( { - \dfrac{2}{n}} \right)= 0
\end{array}\)

Do \(\lim f\left( {{u_n}} \right) = 1\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = 1\).

\(\lim f\left( {{v_n}} \right) = 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = 0\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)\) nên không tồn tại giới hạn của hàm số tại \(x = 0\).

Vậy hàm số đã cho không có giới hạn khi \(x \to 0\).

Câu 1: Dùng định nghĩa tìm các giới hạn

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} {{x + 3} \over {3-x}}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{{x^3} + 1} \over {{x^2} + 1}}\)

Câu 2: Chứng minh rằng hàm số \(y = \sin x\) không có giới hạn khi \(x \to  + \infty \)

Câu 3: Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cùng xác định trên khoảng \(\left( { - \infty ,a} \right)\). Dùng định nghĩa chứng minh rằng, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = L\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } g\left( x \right) = M\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right).g\left( x \right) = L.M\)

Câu 4: Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 2x + 3\cos x + x}}{{2x + {{\cos }^2}3x}}\)            

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {{x^2} + 3}  - 2x}}{{\sqrt[3]{{x + 6}} + 2x - 1}}\)

Câu 1: \(\underset{x \to -\infty }{lim}\frac{\sqrt{x^{2}+2x}+3x}{\sqrt{4x^{2}+1}-x+2}\) bằng

A. \(\frac{2}{3}\)

B. \(-\frac{2}{3}\)

C. \(\frac{1}{2}\)

D. \(-\frac{1}{2}\)

Câu 2: \(\underset{x \to +\infty }{lim}x(\sqrt{x^{2}+5}-x)\) bằng:

A. \(\sqrt{5}\)

B. \(\frac{5}{\sqrt{2}}\)

C. \(\frac{5}{2}\)

D. \(+\infty\)

Câu 3: \(\underset{x \to +\infty }{lim}\frac{3x^{4}-2x^{5}}{5x^{4}+3x^{6}+1}\) bằng:

A. \(-\infty\)

B. \(\frac{3}{5}\)

C. \(\frac{-2}{5}\)

D. 0

Câu 4: \(\underset{x \to +\infty }{lim}\frac{\sqrt{4x^{2}+1}-\sqrt{x+5}}{2x-5}\)

A. 0 

B. 1

C. 2

D. \(+\infty\)

Câu 5: \(\underset{x \to 5 }{lim}\frac{x^{2}-2x-15}{2x-10}\) bằng

A. -4

B. -1

C. 4

D. \(+\infty\)

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Nắm được khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm và định lý về giới hạn hữu hạn; khái niệm giới hạn một bên.
• Nắm được khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực và khái niệm giới hạn vô cực của hàm số và một vài quy tắc về giới hạn vô cực.