Toán 11 Chương 4 Bài 1: Giới hạn của dãy số

a) Giới hạn hữu hạn

• $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = 0$ khi và chỉ khi $|u_n|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
• $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = a \Leftrightarrow \underset{n\rightarrow +\infty }{lim }(u_{n}-a) = 0$.

b) Giới hạn vô cực

• $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n}= +∞$ khi và chỉ khi $u_n$ có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
• $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = -∞ \Leftrightarrow \underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(-u_{n})= +∞$.

a) $\lim \frac{1}{n} = 0$

    $\lim \frac{1}{n^{k}} = 0$

    $\lim n^k= +∞$, với $k$ nguyên dương.

b) $\lim q^n= 0$ nếu $|q| < 1$;

    $\lim q^n= +∞$ nếu $q > 1$.

c) $\lim c = c$ ($c$ là hằng số).

a) Nếu $\lim u_n=a$ và $\lim v_n= b$, thì:

$lim\left( {{u_{n}}+{v_n}} \right)= a +b$

$lim{\rm{ }}({u_n} - {v_n}){\rm{ }} = {\rm{ }}a - b$

$lim{\rm{ }}({u_n}.{v_n}) = ab$

$lim{{{u_n}} \over {{v_n}}} = {a \over b}$ (nếu $b ≠ 0$).

b) Nếu $u_n≥ 0$ với mọi $n$ và $lim u_n= a$ thì $a > 0$ và $lim \sqrt{u_n}= \sqrt a$.

• Nếu $\lim u_n=a$ và $\lim v_n= ± ∞$ thì $\lim \frac{u_{n}}{v_{n}}= 0$.
• Nếu $\lim u_n=a > 0$, $\lim v_n= 0$ và $v_n> 0$ với mọi $n$ thì $\lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = +∞$
• Nếu $\lim u_n= +∞$ và $\lim v_n= a > 0$ thì $\lim (u_n.v_n) = +∞$.

• Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội $q$ thỏa mãn $|q| <1$.
• Công thức tính tổng $S$ của cấp số lùi vô hạn $(u_n)$: $S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = {{{u_1}} \over {1 - q}}$

Biết dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $|u_n-1| < \dfrac{1}{n^{3}}$ với mọi $n$. Chứng minh rằng $\lim u_n=1$.

Hướng dẫn giải

Vì $\lim \dfrac{1}{{{n^3}}} = 0$ nên theo định nghĩa 1 thì

$\dfrac{1}{{{n^3}}}$ luôn nhỏ hơn một số dương $A$ bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

($\dfrac{1}{{{n^3}}} < A \Leftrightarrow {n^3} > \dfrac{1}{A} \Rightarrow n > \sqrt[3]{{\dfrac{1}{A}}}$, nghĩa là từ số hạng thứ $n$ mà $n > \sqrt[3]{{\dfrac{1}{A}}}$ thì $\dfrac{1}{{{n^3}}}$ luôn nhỏ hơn $A$)

Mà $\left| {{u_n} - 1} \right| < \dfrac{1}{{{n^3}}}$ nên $\left| {{u_n} - 1} \right|$ luôn nhỏ hơn một số dương $A$ bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi

(số hạng thứ $n$ mà $n > \sqrt[3]{{\dfrac{1}{A}}}$)

Theo định nghĩa dãy số có giới hạn $0$ thì $\lim \left( {{u_n} - 1} \right) = 0$

$\Rightarrow \lim {u_n} = 1$. (đpcm)

Tìm giới hạn sau:

a) $\lim \dfrac{6n - 1}{3n +2}$

b) $\lim\dfrac{\sqrt{9n^{2}-n+1}}{4n -2}$

Hướng dẫn giải

a) $\lim \dfrac{{6n - 1}}{{3n + 2}}$ $= \lim \dfrac{{n\left( {6 - \dfrac{1}{n}} \right)}}{{n\left( {3 + \dfrac{2}{n}} \right)}}$ $= \lim \dfrac{{6 - \dfrac{1}{n}}}{{3 + \dfrac{2}{n}}}$ $= \dfrac{{\lim \left( {6 - \dfrac{1}{n}} \right)}}{{\lim \left( {3 + \dfrac{2}{n}} \right)}}$ $= \dfrac{{6 - \lim \dfrac{1}{n}}}{{3 + \lim \dfrac{2}{n}}}$ $= \dfrac{{6 - 0}}{{3 + 0}} = 2$

b) $\lim \dfrac{\sqrt{9n^{2}-n+1}}{4n -2}$ = $\lim \dfrac{\sqrt{{n^2}\left( {9 - {1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} \right)}}{n(4-\dfrac{2}{n})}$= $\lim \dfrac{\sqrt{9-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}}}{4-\dfrac{2}{n}}$ =$\dfrac{\sqrt{9}}{4}$= $\dfrac{3}{4}$.

Tính các giới hạn sau:

a) $\lim{\rm{ }}( - {n^2} + {\rm{ }}5n{\rm{ }}-{\rm{ }}2)$;

b) $\lim (\sqrt{n^{2}-n}- n)$

Hướng dẫn giải

a) 

$\begin{array}{l} \lim \left( { - {n^2} + 5n - 2} \right) \\= \lim {n^2}\left( { - 1 + \dfrac{5}{n} - \dfrac{2}{{{n^2}}}} \right) \end{array}$

Vì $\lim {n^2} = + \infty$ và
$\lim \left( { - 1 + \dfrac{5}{n} - \dfrac{2}{{{n^2}}}} \right)$

$=  - 1 + \lim \dfrac{5}{n} - \lim \dfrac{2}{{{n^2}}}$

$=-1<0$
$\Rightarrow \lim \left( { - {n^2} + 5n - 2} \right) = - \infty$

b) $\lim (\sqrt{n^{2}-n} - n)$ $= \lim \dfrac{(\sqrt{n^{2}-n}-n)(\sqrt{n^{2}-n}+n)}{\sqrt{n^{2}-n}+n}$ 
$= \lim \dfrac{n^{2}-n-n^{2}}{\sqrt{n^{2}-n}+n}$ $= \lim \dfrac{-n}{\sqrt{{n^2}\left( {1 - {1 \over n}} \right)}+ n}$ $= \lim \dfrac{-1}{\sqrt{1-\dfrac{1}{n}}+1} = \dfrac{-1}{2}$.

Câu 1: Biết rằng dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn là $0$. Giải thích vì sao dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ với ${v_n} = \left| {{u_n}} \right|$ cũng có giới hạn là $0$. Chiều ngược lại có đúng không ?

Câu 2: Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi $\displaystyle n \to  + \infty$

a) $\displaystyle {a_n} = {{2n - 3{n^3} + 1} \over {{n^3} + {n^2}}}$

b) $\displaystyle {b_n} = {{3{n^3} - 5n + 1} \over {{n^2} + 4}}$

c) $\displaystyle {c_n} = {{2n\sqrt n } \over {{n^2} + 2n - 1}}$

Câu 3: Tính các giới hạn sau

a) $\lim \left( {{n^2} + 2n - 5} \right)$

b) $\lim \left( { - {n^3} - 3{n^2} - 2} \right)$

c) $\lim \left[ {{4^n} + {{\left( { - 2} \right)}^n}} \right]$

Câu 4: Tính giá trị của

a) $A = \lim \frac{{2{n^2} + 3n + 1}}{{3{n^2} - n + 2}}.$

b) $B = \lim \frac{{{n^3} - 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}}.$

Câu 1: Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng 0?

A. $(0,999)^{n}$

B. $(-1,01)^{n}$

C. $(1,01)^{n}$

D. $(-2,001)^{n}$

Câu 2: $lim\frac{(-1)^{n}}{n+5}$ bằng:

A. $\frac{-1}{5}$

B. $\frac{-1}{6}$

C. $-1$

D. $0$

Câu 3: $lim\frac{3n^{4}-2n+3}{4n^{4}+2n+1}$ bằng:

A. $0$

B. $+\infty$

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{4}{7}$

Câu 4: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

A. $u_{n}=\frac{n^{2}-2n}{5n+5n^{2}}$

B. $u_{n}=\frac{1-2n}{5n+5}$

C. $u_{n}=\frac{1-2n^{2}}{5n+5}$

D. $u_{n}=\frac{1-2n}{5n+5n^{2}}$

Câu 5: Trong giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng -1?

A. $lim\frac{2n^{2}-3}{-2n^{3}-4}$

B. $lim\frac{2n^{2}-3}{-2n^{2}-1}$

C. $lim\frac{2n^{2}-3}{-2n^{3}+2n^{2}}$

D. $lim\frac{2n^{3}-3}{-2n^{2}-1}$

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Nắm được khái niệm giới hạn của dãy số, một số định lí về giới hạn của dãy số
• Biết cách tính giới hạn của dãy số
• Nắm được định nghĩa cấp số nhân lùi vô hạn, biết cách tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.