Toán 11 Chương 4 Bài 1: Giới hạn của dãy số

a) Giới hạn hữu hạn

• \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = 0\) khi và chỉ khi \(|u_n|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
• \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = a \Leftrightarrow \underset{n\rightarrow +\infty }{lim }(u_{n}-a) = 0\).

b) Giới hạn vô cực

• \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n}= +∞\) khi và chỉ khi \(u_n\) có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
• \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = -∞ \Leftrightarrow \underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(-u_{n})= +∞\).

a) \(\lim \frac{1}{n} = 0\)

    \(\lim \frac{1}{n^{k}} = 0\)

    \(\lim n^k= +∞\), với \(k\) nguyên dương.

b) \(\lim q^n= 0\) nếu \(|q| < 1\);

    \(\lim q^n= +∞\) nếu \(q > 1\).

c) \(\lim c = c\) (\(c\) là hằng số).

a) Nếu \(\lim u_n=a\) và \(\lim v_n= b\), thì:

\(lim\left( {{u_{n}}+{v_n}} \right)= a +b\)

\(lim{\rm{ }}({u_n} - {v_n}){\rm{ }} = {\rm{ }}a - b\)

\(lim{\rm{ }}({u_n}.{v_n}) = ab\)

\(lim{{{u_n}} \over {{v_n}}} = {a \over b}\) (nếu \(b ≠ 0\)).

b) Nếu \(u_n≥ 0\) với mọi \(n\) và \(lim u_n= a\) thì \(a > 0\) và \(lim \sqrt{u_n}= \sqrt a\).

• Nếu \(\lim u_n=a\) và \(\lim v_n= ± ∞\) thì \(\lim \frac{u_{n}}{v_{n}}= 0\).
• Nếu \(\lim u_n=a > 0\), \(\lim v_n= 0\) và \(v_n> 0\) với mọi \(n\) thì \(\lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = +∞\)
• Nếu \(\lim u_n= +∞\) và \(\lim v_n= a > 0\) thì \(\lim (u_n.v_n) = +∞\).

• Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội \(q\) thỏa mãn \(|q| <1\).
• Công thức tính tổng \(S\) của cấp số lùi vô hạn \((u_n)\): \(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = {{{u_1}} \over {1 - q}}\)

Biết dãy số \((u_n)\) thỏa mãn \(|u_n-1| < \dfrac{1}{n^{3}}\) với mọi \(n\). Chứng minh rằng \(\lim u_n=1\).

Hướng dẫn giải

Vì \(\lim \dfrac{1}{{{n^3}}} = 0\) nên theo định nghĩa 1 thì

\(\dfrac{1}{{{n^3}}}\) luôn nhỏ hơn một số dương \(A\) bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

(\(\dfrac{1}{{{n^3}}} < A \Leftrightarrow {n^3} > \dfrac{1}{A} \Rightarrow n > \sqrt[3]{{\dfrac{1}{A}}}\), nghĩa là từ số hạng thứ \(n\) mà \(n > \sqrt[3]{{\dfrac{1}{A}}}\) thì \(\dfrac{1}{{{n^3}}}\) luôn nhỏ hơn \(A\))

Mà \(\left| {{u_n} - 1} \right| < \dfrac{1}{{{n^3}}}\) nên \( \left| {{u_n} - 1} \right|\) luôn nhỏ hơn một số dương \(A\) bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi

(số hạng thứ \(n\) mà \(n > \sqrt[3]{{\dfrac{1}{A}}}\))

Theo định nghĩa dãy số có giới hạn \(0\) thì \(\lim \left( {{u_n} - 1} \right) = 0\)

\( \Rightarrow \lim {u_n} = 1\). (đpcm)

Tìm giới hạn sau:

a) \(\lim \dfrac{6n - 1}{3n +2}\)

b) \(\lim\dfrac{\sqrt{9n^{2}-n+1}}{4n -2}\)

Hướng dẫn giải

a) \(\lim \dfrac{{6n - 1}}{{3n + 2}} \) \(= \lim \dfrac{{n\left( {6 - \dfrac{1}{n}} \right)}}{{n\left( {3 + \dfrac{2}{n}} \right)}}\) \( = \lim \dfrac{{6 - \dfrac{1}{n}}}{{3 + \dfrac{2}{n}}} \) \(= \dfrac{{\lim \left( {6 - \dfrac{1}{n}} \right)}}{{\lim \left( {3 + \dfrac{2}{n}} \right)}}\) \( = \dfrac{{6 - \lim \dfrac{1}{n}}}{{3 + \lim \dfrac{2}{n}}} \) \(= \dfrac{{6 - 0}}{{3 + 0}} = 2\)

b) \(\lim \dfrac{\sqrt{9n^{2}-n+1}}{4n -2}\) = \(\lim \dfrac{\sqrt{{n^2}\left( {9 - {1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} \right)}}{n(4-\dfrac{2}{n})}\)= \(\lim \dfrac{\sqrt{9-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}}}{4-\dfrac{2}{n}}\) =\(\dfrac{\sqrt{9}}{4}\)= \(\dfrac{3}{4}\).

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim{\rm{ }}( - {n^2} + {\rm{ }}5n{\rm{ }}-{\rm{ }}2)\);

b) \(\lim (\sqrt{n^{2}-n}- n)\)

Hướng dẫn giải

a) 

\(\begin{array}{l}
\lim \left( { - {n^2} + 5n - 2} \right) \\= \lim {n^2}\left( { - 1 + \dfrac{5}{n} - \dfrac{2}{{{n^2}}}} \right)
\end{array}\)

Vì \(\lim {n^2} = + \infty \) và
\(\lim \left( { - 1 + \dfrac{5}{n} - \dfrac{2}{{{n^2}}}} \right) \)

\( =  - 1 + \lim \dfrac{5}{n} - \lim \dfrac{2}{{{n^2}}}\)

\(=-1<0\)
\(\Rightarrow \lim \left( { - {n^2} + 5n - 2} \right) = - \infty \)

b) \(\lim (\sqrt{n^{2}-n} - n) \) \(= \lim \dfrac{(\sqrt{n^{2}-n}-n)(\sqrt{n^{2}-n}+n)}{\sqrt{n^{2}-n}+n}\) 
\(= \lim \dfrac{n^{2}-n-n^{2}}{\sqrt{n^{2}-n}+n} \) \(= \lim \dfrac{-n}{\sqrt{{n^2}\left( {1 - {1 \over n}} \right)}+ n} \) \(= \lim \dfrac{-1}{\sqrt{1-\dfrac{1}{n}}+1} = \dfrac{-1}{2}\).

Câu 1: Biết rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là \(0\). Giải thích vì sao dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = \left| {{u_n}} \right|\) cũng có giới hạn là \(0\). Chiều ngược lại có đúng không ?

Câu 2: Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi \(\displaystyle n \to  + \infty \)

a) \(\displaystyle {a_n} = {{2n - 3{n^3} + 1} \over {{n^3} + {n^2}}}\)

b) \(\displaystyle {b_n} = {{3{n^3} - 5n + 1} \over {{n^2} + 4}}\)

c) \(\displaystyle {c_n} = {{2n\sqrt n } \over {{n^2} + 2n - 1}}\)

Câu 3: Tính các giới hạn sau

a) \(\lim \left( {{n^2} + 2n - 5} \right)\)

b) \(\lim \left( { - {n^3} - 3{n^2} - 2} \right)\)

c) \(\lim \left[ {{4^n} + {{\left( { - 2} \right)}^n}} \right]\)

Câu 4: Tính giá trị của

a) \(A = \lim \frac{{2{n^2} + 3n + 1}}{{3{n^2} - n + 2}}.\)

b) \(B = \lim \frac{{{n^3} - 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}}.\)

Câu 1: Dãy số nào dưới đây có giới hạn bằng 0?

A. \((0,999)^{n}\)

B. \((-1,01)^{n}\)

C. \((1,01)^{n}\)

D. \((-2,001)^{n}\)

Câu 2: \(lim\frac{(-1)^{n}}{n+5}\) bằng:

A. \(\frac{-1}{5}\)

B. \(\frac{-1}{6}\)

C. \(-1\)

D. \(0\)

Câu 3: \(lim\frac{3n^{4}-2n+3}{4n^{4}+2n+1}\) bằng:

A. \(0\)

B. \(+\infty\)

C. \(\frac{3}{4}\)

D. \(\frac{4}{7}\)

Câu 4: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

A. \(u_{n}=\frac{n^{2}-2n}{5n+5n^{2}}\)

B. \(u_{n}=\frac{1-2n}{5n+5}\)

C. \(u_{n}=\frac{1-2n^{2}}{5n+5}\)

D. \(u_{n}=\frac{1-2n}{5n+5n^{2}}\)

Câu 5: Trong giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng -1?

A. \(lim\frac{2n^{2}-3}{-2n^{3}-4}\)

B. \(lim\frac{2n^{2}-3}{-2n^{2}-1}\)

C. \(lim\frac{2n^{2}-3}{-2n^{3}+2n^{2}}\)

D. \(lim\frac{2n^{3}-3}{-2n^{2}-1}\)

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Nắm được khái niệm giới hạn của dãy số, một số định lí về giới hạn của dãy số
• Biết cách tính giới hạn của dãy số
• Nắm được định nghĩa cấp số nhân lùi vô hạn, biết cách tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.