Toán 11 Chương 5 Bài 5: Đạo hàm cấp hai

Giả sử hàm số \(f(x)\) có đạo hàm  \(f'(x)\). Nếu \(f'(x)\) cũng có đạo hàm thì ta gọi đạo hàm của nó là đạo hàm cấp hai của \(f(x)\) và kí hiệu \(f"(x)\): \((f'(x))' = f"(x)\) .

Tương tự: \((f''(x))' = f"'(x)\) hoặc \(f^{(3)}(x)\)

...

\(\left({f^{(n-1)}}\left( x \right)\right)' = {f^{(n)}}\left( x \right )\), \(n\in {\mathbb N}^*\), \(n ≥ 4\).

Ở đây kí hiệu \({f^{(0)}}\left( x \right)= f\left( x \right)\); \({f^{(n)}}\left( x \right)\) là đạo hàm cấp \(n\) của hàm số \(f(x)\).

Đạo hàm cấp hai \(f"(t)\) là gia tốc tức thời của chuyển động \(s = f(t)\) tại thởi điểm \(t\).

Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số sau: \(y = \sin 5x\cos 2x.\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}
y = \sin 5x\cos 2x\\
= \dfrac{1}{2}\left( {\sin 7x + \sin 3x} \right)
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
y' = \dfrac{1}{2}\left( {7\cos 7x + 3\cos 3x} \right)\\
y'' = \dfrac{1}{2}\left( { - 7.7\sin 7x - 3.3\sin 3x} \right)\\
= - \dfrac{1}{2}\left( {49\sin 7x + 9\sin 3x} \right)
\end{array}\)

Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số sau:

\(y = {{2x + 1} \over {{x^2} + x - 2}}.\)

Hướng dẫn giải

\(y = {{2x + 1} \over {{x^2} + x - 2}} = {1 \over {x - 1}} + {1 \over {x + 2}},\) do đó:

\(\begin{array}{l}
y' = \dfrac{{ - \left( {x - 1} \right)'}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{ - \left( {x + 2} \right)'}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\
= - \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\
y'' = - \dfrac{{ - \left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \right]'}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}} - \dfrac{{ - \left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \right]'}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^4}}}\\
= \dfrac{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)'}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}} + \dfrac{{2\left( {x + 2} \right)\left( {x + 2} \right)'}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^4}}}\\
= \dfrac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} + \dfrac{2}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}\\
= 2\left( {\dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}} \right)
\end{array}\)

Câu 1: Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số sau

a) \(y = {x \over {{x^2} - 1}}.\)

b) \(y = {{x + 1} \over {x - 2}}.\)

Câu 2: Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số sau:

a) \(y = {x^2}\sin x.\)

b) \(y = \left( {1 - {x^2}} \right)\cos x.\)

c) \(y = \sin x\sin 2x\sin 3x.\)

d) \(y = x\cos 2x.\)

Câu 3: Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số sau:

a) \(y = x\sqrt {1 + {x^2}} .\)

b) \(y = {1 \over {\sqrt x }}.\)

Câu 4: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sin 3x.\) 

Tính \(f''\left( { - {\pi  \over 2}} \right),f''\left( 0 \right),f''\left( {{\pi  \over {18}}} \right).\)

Câu 1: Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y=\frac{1}{2x-3}\) bằng biểu thức nào dưới đây?

A. \(\frac{8}{(2x-3)^{3}}\)

B. \(\frac{-8}{(2x-3)^{3}}\)

C. \(\frac{4}{(2x-3)^{3}}\)

D. \(\frac{-4}{(2x-3)^{3}}\)

Câu 2: Cho hàm số \(f(x)=x^{4}-4x^{2}+3\) và \(g(x)=3+10x-7x^{2}\). Nghiệm của phương trình \(f''(x)+g'(x)=0\) là:

A. \(x=1;x=\frac{1}{6}\)

B. \(x=-1;x=\frac{1}{6}\)

C. \(=-1;x=\frac{-1}{6}\)

D. \(x=1;x=\frac{-1}{6}\)

Câu 3: Cho hàm số \(y=3x^{5}-5x^{4}+3x-2\). Giải bất phương trình \(y''<0\)

A. \(x\in (1;+\infty)\)

B. \(x\in (-\infty;1)\setminus \left \{ 0 \right \}\)

C. \(x\in (-1;1)\)

D. \(x\in (-2;2)\)

Câu 4: Cho hàm số \(f(x)=(x+10)^{6}\). Tính giá trị của \(f''(2)\).

A. \(f"(2)=622080\)

B. \(f"(2)=1492992\)

C. \(f"(2)=124416\)

D. \(f"(2)=103680\)

Câu 5: Cho hàm số \(y=-3x^{3}+3x^{2}-x+5\). Tính giá trị của \(y^{(3)}(2017)\)

A. \(y^{(3)}(2017)=0\)

B. \(y^{(3)}(2017)=-2017\)

C. \(y^{(3)}(2017)=2017\)

D. \(y^{(3)}(2017)=-18\)

Qua bài học này, các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Nắm được định nghĩa đạo hàm cấp 2, biết cách tính đạo hàm cấp 2 và cấp n.
• Nắm được ý nghĩa hình hoc; ý nghĩa vật lí đạo hàm cấp một và y nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai để tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động.
• Bước đầu vận dụng được công thức tính đạo hàm cấp cao để tính các đạo hàm đơn giản