Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 8: Phép đồng dạng

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình \(x=2\sqrt{2} \). Hãy viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số \(k=\dfrac{1}{2}\) và phép quay tâm O góc \({45}^o \).

Phương pháp giải:

- Cho I và \(k\ne 0 \). Phép vị tự tâm I, tỉ số k biến điểm M thành điểm M’ sao cho \(\vec{IM’}=k\vec{IM}\).

- Cho O và góc lượng giác \(\alpha \). Phép quay tâm O góc \(\alpha \) biến:

+ O thành chính nó

+ Mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM’=OM và góc lượng giác (OM;OM’) bằng \(\alpha\).

Hướng dẫn giải:

Gọi \(d_1\) là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số \(k=\dfrac{1}{2}\)

⇒ Phương trình của \(d_1\) là \(x=\sqrt{2} \).

Giả sử d’ là ảnh của \(d_1\) qua phép quay tâm O góc \({45}^o \).

Lấy \(M(\sqrt{2};0)\) thuộc \(d_1\) thì ảnh của nó qua phép quay tâm O góc \({45}^o\) là M’(1;1) thuộc d’

Vì \(OM \bot {d_1},OM' \bot d'\)

Do đó d’ là đường thẳng đi qua M’ và vuông góc với OM’.

Khi đó d' có phương trình \( x+y-2=0 .\)

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình \(({x-1})^2+({y-2})^2=4 \). Hãy viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số \(k=-2\) và phép đối xứng qua trục Ox.

Phương pháp giải:

- Cho I và \(k\ne 0 \). Phép vị tự tâm I, tỉ số k biến điểm M thành điểm M’ sao cho \(\vec{IM’}=k\vec{IM}\).

- Cho M(x, y). Phép đối xứng qua trục Ox biến M thành M'(x; -y).

Hướng dẫn giải:

Ta có bán kính của (C’) bằng \(|-2|.2=4 \).

Tâm I của (C’) là ảnh của tâm \(I\left( {1;2} \right)\) của (C) qua phép đồng dạng nói trên.

Qua phép vị tự tâm O tỉ số \(k=-2 \), I biến thành \(I_1(-2;-4) \).

Qua phép đối xứng qua trục Ox , \(I_1\) biến thành \(I’(-2;4) \).

Vậy phương trình của (C’) là \({(x+2)}^2+{(y-4)}^2=16 \).

Chứng minh rằng hai đa giác đều có cùng số cạnh luôn đồng dạng với nhau.

Phương pháp giải:

Sử dụng phép tịnh tiến và phép quay.

Hướng dẫn giải:

Dùng phép tịnh tiến đưa về hai đa giác đều cùng tâm đối xứng, sau đó dùng phép quay đưa về hai đa giác đều cùng tâm đối xứng có các đỉnh tương ứng thẳng hàng với tâm, cuối cùng dùng phép vị tự biến đa giác này thành đa giác kia.

Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AD = a, DC = b còn hai đỉnh A , B cố định. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo.

a) Tìm tập hợp các điểm C khi D thay đổi.

b) Tìm tập hợp các điểm I khi C và D thay đổi như trong câu a). 

Phương pháp giải:

a) Sử dụng định nghĩa: \(T_{\vec v}(M) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {MM'} = \vec v .\)

b) Cho I và \(k\ne 0 \). Phép vị tự tâm I, tỉ số k biến điểm M thành điểm M’ sao cho \(\vec{IM’}=k\vec{IM}\).

Hướng dẫn giải:

a) Dựng hình bình hành ADCE.

Ta có \(\vec{DC}=\vec{AE}\) không đổi.

Do AE = b không đổi, nên E cố định.

Do AD = EC = a nên khi D chạy trên đường tròn (A;a) thì C chạy trên đường tròn (E;a) là ảnh của (A;a) qua phép tịnh tiến theo \(\vec{AE} \).

b) Đường thẳng qua I , song song với AD cắt AE tại F .

Ta có:

\(\dfrac{AI}{IC}=\dfrac{AB}{CD} \\ \Rightarrow\dfrac{AI}{AI+IC}=\dfrac{AB}{AB+b} \\ \Rightarrow\dfrac{AI}{AC}=\dfrac{AB}{AB+b} \\ \Rightarrow\vec{AI}=\dfrac{AB}{AB+b}\vec {AC}\)

Do đó có thể xem I là ảnh của C qua phép vị tự tâm A, tỉ số \(\dfrac{AB}{AB+b} \).

Vậy khi C chạy trên (E;a) thì I chạy trên đường tròn là ảnh của (E;a) qua phép vị tự nói trên.