Giải bài tập SBT Toán 11 Ôn tập chương 2: Tổ hợp - Xác suất

Xếp ngẫu nhiên ba người đàn ông, hai người đàn bà và một đứa bé vào ngồi trên 6 cái ghế xếp thành hàng ngang. Tính xác suất sao cho

a) Đứa bé ngồi giữa hai người đàn bà;

b) Đứa bé ngồi giữa hai người đàn ông.

Phương pháp giải:

a) Để tính xác suất của biến cố A.

+) Tính \(n(\Omega) \): hoán vị của 6 người.

+) Tính n(A): sử dụng hoán vị, quy tắc nhân để tìm số phần tử.

+) Tính xác suất của biến cố A: \(P(A)=\dfrac {n(A)}{n(\Omega)} \).

b) Để tính xác suất của biến cố B.

+) Tính \(n(\Omega) \): hoán vị của 6 người.

+) Tính n(A): sử dụng hoán vị, tổ hợp, quy tắc nhân để tìm số phần tử.

+) Tính xác suất của biến cố B: \(P(B)=\dfrac {n(B)}{n(\Omega)} \).

Hướng dẫn giải:

a) Không gian mẫu gồm các hoán vị của 6 người do đó \(n\left( \Omega \right) = 6! \).

Kí hiệu A là biến cố: “Đứa bé được xếp giữa hai người đàn bà”

Để tạo nên một cách xếp mà đứa bé được xếp giữa hai người đàn bà, ta tiến hành như sau:

- Xếp đứa bé ngồi vào ghế thứ hai đến ghế thứ năm. Có 4 cách.

- Ứng với mỗi cách xếp đứa bé, có 2 cách xếp hai người đàn bà.

- Khi đã xếp hai người đàn bà và đứa bé, xếp ba người đàn ông vào các chỗ còn lại. Có 3! cách.

Theo quy tắc nhân, ta có \(n\left( A \right) = 4.2.3! = 48 \).

Từ đó \(P\left( A \right) = \dfrac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \dfrac{{48}}{{6!}} = \dfrac{1}{{15}} \).

b) Không gian mẫu gồm các hoán vị của 6 người do đó \(n\left( \Omega \right) = 6! \).

B là biến cố: “Đứa bé được xếp giữa hai người đàn ông”.

Để tạo nên một cách xếp mà đứa bé ngồi giữa hai người đàn ông, ta tiến hành như sau:

- Xếp đứa bé vào các ghế thứ hai đến thứ năm. Có 4 cách.

- Chọn hai trong số ba người đàn ông. Có \(C_3^2 = 3\) cách.

- Xếp hai người đàn ông ngồi hai bên đứa bé. Có 2 cách.

- Xếp ba người còn lại vào ba chỗ còn lại. Có 3! cách.

Theo quy tắc nhân, ta có: \( n\left( B \right) = 4.C_3^2.2.3! = 144 .\)

Vậy \(P\left( B \right) = \dfrac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \dfrac{{144}}{{6!}} = \dfrac{1}{5} \).

Có bao nhiêu cách xếp 7 người vào hai dãy ghế sao cho dãy ghế đầu có 4 người và dãy sau có 3 người.

Phương pháp giải:

- Chọn 4 người trong 7 người là chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử.

- Xếp 3 người vào 3 vị trí là hoán vị 3 phần tử.

→ Áp dụng quy tắc nhân.

Hướng dẫn giải:

Chọn 4 người để xếp vào 4 ghế ở dãy đầu có \(A_7^4\) cách.

Còn lại 3 người xếp vào 3 ghế ở dãy sau: có 3! cách.

Vậy có tất cả \(A_7^4.3! = 5040\) cách xếp.

Tính xác suất sao cho trong 13 con bài tú lơ khơ được chia ngẫu nhiên cho bạn Bình có 4 con pích, 3 con rô, 3 con cơ và 3 con nhép.

Phương pháp giải:

Để tính xác suất của biến cố A.

+) Tính \(n(\Omega) \): là tổ hợp chập 13 của 52 phần tử.

+) Tính n(A): sử dụng tổ hợp, quy tắc nhân để tìm số phần tử của biến cố.

+) Tính xác suất của biến cố A: \(P(A)=\dfrac {n(A)}{n(\Omega)} \).

Hướng dẫn giải:

Số cách rút ra 13 con bài là \(C_{52}^{13}\) do đó \(n\left( \Omega \right) = C_{52}^{13} \).

Biến cố A: “Trong 13 con bài có 4 con pích, 3 con rô, 3 con cơ và 3 con nhép”.

Ta có \(n\left( A \right) = C_{13}^4.C_9^3.C_6^3 = \dfrac{{13!}}{{4!{{\left( {3!} \right)}^3}}} \).

Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \dfrac{{13!}}{{4!{{\left( {3!} \right)}^3}.C_{52}^{13}}} \approx 0,000002 \).

Giả sử A và B là hai biến cố \(\dfrac{{P\left( {A \cup B} \right)}}{{P\left( A \right) + P\left( B \right)}} = a \). Chứng minh rằng

a) \( \dfrac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right) + P\left( B \right)}} = 1 - a \)

b) \( \dfrac{1}{2} \le a \le 1 .\)

Phương pháp giải:

a) b) Sử dụng công thức: \( P(A\cup B)= P(A)+P(B)-P(A\cap B) \)

Hướng dẫn giải:

a) Theo tính chất hai biến cố A và B bất kì cùng liên quan đến phép thử thì

\( P(A\cup B) =P(A)+P(B)-P(A\cap B) \\ \Leftrightarrow P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cup B} \right)\)

Nên \(\dfrac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right) + P\left( B \right)}} = \dfrac{{P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cup B} \right)}}{{P\left( A \right) + P\left( B \right)}} = 1 - a .\)

b) Vì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right) \le P\left( A \right) + P\left( B \right)\)

Nên \(a = \dfrac{{P\left( {A \cup B} \right)}}{{P\left( A \right) + P\left( B \right)}} \le 1{\rm{ }} \text{ (1)}\)

Mặt khác, \(2P\left( {A \cup B} \right) = P\left( {A \cup B} \right) + P\left( {A \cup B} \right) \ge P\left( A \right) + P\left( B \right) .\)

Vậy \(a = \dfrac{{P\left( {A \cup B} \right)}}{{P\left( A \right) + P\left( B \right)}} \ge \dfrac{1}{2} \).

Kết hợp với (1), ta có \(\dfrac{1}{2} \le a \le 1 \).

Hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả đỏ và 2 quả xanh, hộp thứ hai chứa 4 quả đỏ và 6 quả xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả. Tính xác suất sao cho

a) Cả hai quả đều đỏ;

b) Hai quả cùng màu;

c) Hai quả khác màu.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi \(P(A\cap B)=P(A).P(B) \).

b) Sử dụng tính chất A và B hai biến cố xung khắc cùng liên quan đến một phép thử \(P(A\cup B)=P(A)+P(B) \).

Sử dụng tính chất hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi \(P(A\cap B)=P(A).P(B) \).

c) D: " Hai quả khác màu" là biến cố đối của biến cố C.

P(D) = 1 - P(C)

Hướng dẫn giải:

a) Gọi A là biến cố quả lấy từ hộp thứ nhất màu đỏ, \(n(A)=\dfrac{3}{5} \).

Gọi B là biến cố quả lấy từ hộp thứ hai màu đỏ, \(n(B)=\dfrac{4}{10} \).

Ta thấy A và B độc lập.

Ta có \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right) = \dfrac{3}{5}.\dfrac{4}{{10}} = 0,24 \).

b) Gọi A là biến cố quả lấy từ hộp thứ nhất màu đỏ, \(n(A)=\dfrac{3}{5} \).

Gọi B là biến cố quả lấy từ hộp thứ hai màu đỏ, \(n(B)=\dfrac{4}{10} \).

Ta thấy A và B độc lập

Cần tính xác suất của \(C = \left( {A \cap B} \right) \cup \left( {\overline A \cap \overline B } \right)\).

Do tính xung khắc và độc lập của các biến cố, ta có

 \(P\left( C \right) = P(A \cap B) + P\left( {\overline A \cap \overline B } \right) \\ = P\left( A \right)P\left( B \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {\overline B } \right) \\ = \dfrac{3}{5}.\dfrac{4}{{10}} + \dfrac{2}{5}.\dfrac{6}{{10}} = 0,48 \)

c) P(D) = 1 - P(C) = 1 - 0,48 = 0,52.

Cho 5 đoạn thẳng với các độ dài 3, 5, 7, 9, 11 . Chọn ngẫu nhiên ra ba đoạn thẳng.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định biến cố A : “Ba đoạn thẳng chọn ra tạo thành một tam giác” và tính xác suất của A.

Phương pháp giải:

a) Mô tả không gian mẫu bằng cách liệt kê.

b) Để tính xác suất của biến cố A.

+) Tính \(n(\Omega) \): là tổ hợp chập 3 của 5 phần tử.

+) Tính n(A): sử dụng phương pháp liệt kê để số phần tử

+) Tính xác suất của biến cố A: \(P(A)=\dfrac {n(A)}{n(\Omega)} \).

Hướng dẫn giải:

a) Không gian mẫu 

\(\Omega = \{\left( {3,5,7} \right);\left( {3,7,9} \right);\left( {3,9,11} \right); \left( {5,7,9} \right);\left( {5,7,11} \right);\\ \left( {3,5,9} \right); \left( {3,5,11} \right);\left( {3,7,11} \right);\left( {5,9,11} \right); \left( {7,9,11} \right)\} .\)

b) Không gian mẫu là bộ ba đoạn thẳng khác nhau trong số năm đoạn thẳng đã cho do đó \(n(\Omega ) = C_5^3 = 10 \).

Biến cố A là các bộ có tổng của hai số lớn hơn số còn lại.

\( A = \{ \left( {3,5,7} \right);\left( {3,7,9} \right);\left( {3,9,11} \right); \left( {5,7,9} \right);\left( {5,7,11} \right);\left( {5,9,11} \right); \left( {7,9,11} \right)\} .\)

Do đó \(n\left( A \right) = 7 \).

Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}= \dfrac{7}{{10}} = 0,7 \).

Một phòng làm việc có 2 máy tính hoạt động độc lập với nhau. Khả năng hoạt động tốt trong ngày của 2 máy này tương ứng là 75% và 85% . Xác suất để 2 máy tính cùng hoạt động tốt trong ngày là :

A. 0,5375         B. 0,6375

C. 0,7375         D. 0,8375

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B) để tính P(A.B).

Hướng dẫn giải:

Gọi A là biến cố máy tính thứ nhất hoạt động tốt khi đó P(A) = 0.75

Gọi B là biến cố máy tính thứ hai hoạt động tốt khi đó P(B) = 0,85

Do A và B là hai biến cố độc lập nên xác suất để hai máy tính cùng hoạt động tốt là P(A.B) = P(A).P(B)

\( 0,75. 0,85=0,6375\)

Đáp án: B.

Một phòng làm việc có 2 máy tính hoạt động độc lập với nhau. Khả năng hoạt động tốt trong ngày của 2 máy này tương ứng là 75% và 85% . Xác suất để có đúng một máy hoạt động không tốt trong ngày là:

A. 0,325

B. 0,425

C. 0,525

D. 0,625 

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B) để tính P(A.B).

Hướng dẫn giải:

Xác suất để máy tính thứ nhất hoạt động tốt khi đó 0.75, hoạt động không tốt là 0,25 .

Xác suất để máy tính thứ hai hoạt động tốt khi đó 0,85, hoạt động không tốt là 0,15 .

Một máy tính hoạt động không tốt trong ngày khi hoặc máy thứ nhất hoạt động không tốt máy thứ hai hoạt động tốt hoặc ngược lại.

Nên xác suất để một máy hoạt động không tốt trong ngày là 0,25.0,85+0,75.0,15=0,325 .

Đáp án: A.

Có ba học sinh vào ba quầy sách để mua sách. Xác suất để cả ba học sinh này cùng vào một quầy là:

A. \(\dfrac{1}{9}\)               B. \(\dfrac{2}{9}\)

C. \(\dfrac{1}{27}\)             D. \(\dfrac{2}{27}\)

Phương pháp giải:

Để tính xác suất của biến cố A.

+) Tính \(n(\Omega) \): dùng tổ hợp để tính số phần tử.

+) Tính n(A).

+) Tính xác suất của biến cố A: \(P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)} \).

Hướng dẫn giải:

Không gian mẫu là cách xếp 3 bạn vào 3 quầy (có thể vào chung quầy) nên khi đó \(n(\Omega)=3^3=27\)

Gọi A là biến cố cả 3 học sinh vào cùng một quầy nên n(A) = 3

Vậy xác suất để cả ba học sinh vào cùng một quầy là \(P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{3}{27}=\dfrac{1}{9}\)

Đáp án: A.

Có ba học sinh vào ba quầy sách để mua sách. Xác suất để có hai học sinh vào cùng một quầy, học sinh còn lại vào một trong hai quầy còn lại là:

A. \(\dfrac{1}{3}\)            B. \(\dfrac{2}{3}\)

C. \(\dfrac{1}{4}\)            D. \(\dfrac{1}{6}\)

Phương pháp giải:

Để tính xác suất của biến cố A.

+) Tính \(n(\Omega) \): dùng tổ hợp để tính số phần tử.

+) Tính n(A): dùng tổ hợp và quy tắc nhân để tính số phần tử.

+) Tính xác suất của biến cố A: \(P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)} \).

Hướng dẫn giải:

Không gian mẫu là cách xếp 3 bạn vào 3 quầy (có thể vào chung quầy) nên khi đó \(n(\Omega)=3^3=27 \).

Gọi biến cố A là hai học sinh vào cùng một quầy, học sinh còn lại vào một trong hai quầy còn lại.

Chọn 2 học sinh vào một quầy có \(C_3^2\) cách.

Chọn quầy xếp hai học sinh đó có 3 cách.

Học sinh còn lại xếp vào một trong hai quầy còn lại có 2 cách.

Theo quy tắc nhân, \(n(A)=C_3^2.3.2=18 \).

Vậy xác suất để cả ba học sinh vào cùng một quầy là \(P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}\dfrac{18}{27}=\dfrac{2}{3} \).

Đáp án: B.