Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Tìm số hạng thứ năm trong khai triển ${\left( {x + \dfrac{2}{x}} \right)^{10}}$, mà trong khai triển đó số mũ của x giảm dần.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức Nhị thức Niu-tơn

${\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}$

- Sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số: $x^m.x^n=x^{m+n};\ \dfrac{x^m}{x^n}=x^{m−n}$ để thu gọn biểu thức.

- Để tìm số hạng thứ k+1 ta cho số mũ của x bằng k và tính số hạng thứ k+1.

Hướng dẫn giải:

Số hạng tổng quát trong khai triển ${\left( {x + \dfrac{2}{x}} \right)^{10}}$ là:

$T_{k+1}={C_{10}^k{x^{10 - k}}{{\left( {\dfrac{2}{x}} \right)}^k}}$ $= C_{10}^k{x^{10 - k}}.\frac{{{2^k}}}{{{x^k}}} = C_{10}^k{x^{10 - k - k}}{.2^k}$ $= C_{10}^k 2^k x^{10 - 2k}$

Khi đó số hạng thức 5 ứng với k+1=5 hay k=4 là:

$T_{ 5} = C_{10}^4 2^4 x^{10 - 2.4} =C_{10}^4 2^4 x^2= 3360{x^2}$

Vậy ${T_5} = 3360{x^2}$.

2. Giải bài 2.33 trang 79 SBT Đại số & Giải tích 11

Viết khai triển của ${(1+x)}^6$.

a) Dùng ba số hạng đầu để tính gần đúng $1,{01^6}$.

b) Dùng máy tính để kiểm tra kết quả trên.

Phương pháp giải:

- Viết khai triển của ${(1+x)}^6$ theo công thức nhị thức Niu-tơn:

${\left( {a + b} \right)^n} \\= \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{a^{n - k}}{b^k}$ $= C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}$

Với n = 6, a = 1, b = x.

a) - Ta tách $1,01^6=(1+0,01)^6$ sau đó sử dụng công thức khai triển của ${(1+x)}^6=1+6x+15x^2+20x^3+15x^4+6x^5+x^6$

- Tính tổng ba số hạng đầu.

b) Sử dụng máy tính casio nhấn phép tính $1,01^6$ để có kết quả.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$(1 + x)^6 \\= \sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k{x^k}} \\= C_6^0{x^0} + C_6^1{x^1} + C_6^2{x^2} + C_6^3{x^3} C_6^4{x^4}+C_6^5{x^5}+ C_6^6{x^6} \\= 1 + 6x + 15{x^2} + 20{x^3} + 15{x^4} + 6{x^5} + {x^6}$

a) Ta có khai triển:

${\left( {1 + x} \right)^6} = 1 + 6x + 15{x^2} + 20{x^3} + 15{x^4} + 6{x^5} + {x^6}$

Nên $1,{01^6} = {\left( {1 + 0,01} \right)^6} \approx 1 + 6 \times 0,01 + 15 \times {\left( {0,01} \right)^2} = 1,0615$.

b) Dùng máy tính ta nhận được $1,{01^6} \approx 1,061520151$.

Trong khai triển ${\left( {1 + ax} \right)^n}$ ta có số hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 24x, số hạng thứ ba là $252{x^2}$. Hãy tìm a và n.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức Nhị thức Niu-tơn:

${\left( {a + b} \right)^n} \\= \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{a^{n - k}}{b^k}$ $= C_n^1{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}$

Với a = 1, b = ax sau đó đồng nhất các số hạng thứ nhất, thứ 2, thứ 3 với các giá trị cho ở đề bài.

- Sử dụng công thức lũy thừa của một tích: ${(x.y)^\alpha } = {x^\alpha }{y^\alpha }$ để thu gọn biểu thức.

- Sử dụng công thức: $C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

${\left( {1 + ax} \right)^n} \\= \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{(ax)^k}$ $= \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{a^k}{x^k}$ $= 1 + C_n^1ax + C_n^2{a^2}{x^2} + ...$

Theo bài ra:

$\left\{ \begin{array}{l}C_n^1a = 24\\C_n^2{a^2} = 252\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}na = 24\\\dfrac{{n\left( {n - 1} \right){a^2}}}{2} = 252\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}na = 24\\\left( {n - 1} \right)a = 21\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\n = 8.\end{array} \right.$

Trong khai triển của ${\left( {x + a} \right)^3}{\left( {x - b} \right)^6}$, hệ số của ${x^7}$ là - 9 và không có số hạng chứa ${x^8}$. Tìm a và b.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức khai triển Nhị thức Niu-tơn.

- Sử dụng công thức lũy thừa của một tích ${(xy)^\alpha } = {x^\alpha }{y^\alpha }$ để rút gọn biểu thức

- Nhóm các số hạng có chứa ${x^7}$ lại, và các số hạng có ${x^8}$ lại, đồng nhất hệ số của các số hạng này với giá trị đề bài đã cho.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

${\left( {x + a} \right)^3}{\left( {x - b} \right)^6} = \sum\limits_{m = 0}^3 {C_3^m{x^{3 - m}}{a^m}} \sum\limits_{n = 0}^6 {C_6^n{x^{6 - n}}{{( - b)}^n}} \\= \left( {C_3^0{x^3} + C_3^1{x^2}a + C_3^2x{a^2} + C_3^3{a^3}} \right) [ C_6^0{x^6} + C_6^1{x^5}( - b) + \\ C_6^2{x^4}{{(-b)}^2} + C_6^3{x^3}{{( - b)}^3} + C_6^4{x^2}{{(-b)}^4} + C_6^5x{{( - b)}^5} + C_6^6{{(-b)}^6}]$

Số hạng chứa ${x^7}$ là $[C_3^0.C_6^2{(- b)}^2 +C_3^1a.C_6^1{( - b)} + C_3^2a^2C_6^0 ]x^7$

Số hạng chứa ${x^8}$ là $\left[ {C_3^0.C_6^1\left( { - b} \right) + C_3^1a.C_6^0} \right]{x^8}$.

Theo bài ra ta có

$\left\{ \begin{array}{l}15{b^2} - 18ab + 3{a^2} = - 9\\ - 6b + 3a = 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\{b^2} = 1\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 1.\end{array} \right.\end{array} \right.$

Xác định hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ trong khai triển ${\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n}$ nếu biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển đó bằng 97.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn:

 ${\left( {a + b} \right)^n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{a^{n - k}}{b^k} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}$ với $a=x^2, b=-\dfrac{2}{x}$.

- Tính tổng các hệ số của ba số hạng đầu đồng nhất với giá trị đề bài cho để tìm n.

- Sau đó thay n vào khai triển ${\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n}$ sử dụng các công thức $x^m.x^n=x^{m+n} ; \dfrac{x^m}{x^n}=x^{m−n} ; {\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha .\beta }}$ để thu gọn biểu thức.

- Để tìm hệ số của $x^4$ ta cho số mũ của x bằng 4, giải phương trình tìm k và tính hệ số của $x^4$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

${\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n} = C_n^0{\left( {{x^2}} \right)^n} + C_n^1{\left( {{x^2}} \right)^{n - 1}}.\left( { - \dfrac{2}{x}} \right) + C_n^2{\left( {{x^2}} \right)^{n - 2}}.{\left( { - \dfrac{2}{x}} \right)^2} + ...$

Theo giả thiết, ta có:

$\begin{array}{l}C_n^0 - 2C_n^1 + 4C_n^2 = 97\\ \Leftrightarrow 1 - 2n + 2n\left( {n - 1} \right) - 97 = 0\\ \Leftrightarrow {n^2} - 2n - 48 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 8\\n = - 6{\rm{ }}\left( \text{loại} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy n = 8. Từ đó ta có:

${\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{8 - k}}{{\left( { - \dfrac{2}{x}} \right)}^k} } =\sum\limits_{k = 0}^8 {{{\left( { - 2} \right)}^k}.C_8^k.{x^{16 - 3k}}}$.

Như vậy, ta phải có $16 - 3k = 4 \Leftrightarrow k = 4$.  Do đó hệ số của số hạng chứa $x^4$ là ${\left( { - 2} \right)^4}.C_8^4 = 1120$.

Tập hợp E có n phần tử thì số tập hợp con của E (kể cả tập hợp rỗng và tập E) là:

A. $n^2$               B. $C_n^2$

C. $2^n$               D. n!

Phương pháp giải:

- Tập con của E chia ra n+1 trường hợp: không có phần tử nào (tập rỗng), có một phần tử, có hai phần tử,… có n phần tử.

- Số tập con trong mỗi trường hợp được tính bằng cách sử dụng tổ hợp.

- Số tập con của E hoàn thành bởi một trong nhiều trường hợp nên sử dụng quy tắc cộng.

- Sử dụng công thức khai triển Nhị thức Niu-tơn.

Hướng dẫn giải:

Số tập con rỗng của E là số cách chọn ra 0 phần tử trong n phần tử là $C_n^0$

Số tập con có 1 phần tử của  E  là số cách chọn ra  1  phần tử trong  n  phần tử là $C_n^1$

Số tập con có 2 phần tử của  E  là số cách chọn ra  2  phần tử trong  n  phần tử là $C_n^2$

Số các tập con có k phần tử $(0\le k\le n)$ của tập hợp E là số cách chọn ra k phần tử trong n phần tử của E là $C_n^k$

Số tập con có n phần tử của E là số cách chọn ra n phần tử trong n phần tử là $C_n^n$

Do đó số tâp con của E là $C_n^0+C_n^1+ C_n^2+…+ C_n^n= \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} = {(1 + 1)^n} = {2^n}$

Vậy đáp án: C.

Hệ số của $x^{31}$ trong khai triển của ${\left( {x + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^{40}}$ là :

A. 9880               B. 9980

C. 10080             D. 10980

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ${\left( {a + b} \right)^n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{a^{n - k}}{b^k}$ với $a=x, b=\dfrac{1}{x^2}, n=40$

Sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số: $x^m.x^n=x^{m+n} ; \dfrac{x^m}{x^n}=x^{m−n}$ để thu gọn biểu thức.

Để tìm hệ số của $x^{31}$ ta cho số mũ của x bằng 31, giải phương trình tìm k và tính hệ số của $x^{31}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

${\left( {x + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^{40}} = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^{40 - k}}{\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k{x^{40 - k - 2k}} = } \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k{x^{40 - 3k}}}$

Vì đề yêu cầu tìm hệ số của $x^{31}$ khi đó $40-3k=31 \Leftrightarrow k=3$

Vậy hệ số của $x^{31}$ là $C_{40}^3=9880$

Hệ số của $x^{25}y^{10}$ trong khai triển của ${(x^3+xy)}^{15}$ là:

A. $C_{15}^5$                    B. $C_{25}^{10}$

C. $C_{15}^{10}$                   D. $C_{25}^{15}$

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn:

 ${\left( {a + b} \right)^n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n C_n^k{a^{n - k}}{b^k} với a=x^3, b=xy, n=15$.

- Sử dụng các công: $x^m.x^n=x^{m+n} ; \dfrac{x^m}{x^n}=x^{m−n} ; {\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha .\beta }} ; {(x.y)^\alpha } = {x^\alpha }{y^\alpha }$ để thu gọn biểu thức.

- Để tìm hệ số của  $x^{25}y^{10}$ ta cho số mũ của x bằng 25 và số mũ của y bằng 10, giải phương trình tìm k và tính hệ số của $x^{25}y^{10}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

${\left( {{x^3} + xy} \right)^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {\left( {{x^3}} \right)^{15 - k}}{\left( {xy} \right)^k} =\sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{x^{45 - 3k}}{x^k}{y^k} } = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{x^{45 - 2k}}{y^k}}$

Vì đề yêu cầu tìm hệ số của $x^{25}y^{10}$ khi đó $x^{45-2k}y^k= x^{25}y^{10} nên \left\{ \begin{array}{l}45 - 2k = 25\\k = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow k = 10$

Vậy hệ số của $x^{25}y^{10}$ là $C_{15}^{10}$.