Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 1: Quy tắc đếm

Nam đến cửa hàng văn phòng phẩm để mua quà tặng bạn. Trong cửa hàng có ba mặt hàng: Bút, vở và thước, trong đó có 5 loại bút, 4 loại vở và 3 loại thước. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một món quà gồm một bút, một thước và một vở?

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có:

+ m cách thực hiện hành động thứ nhất

+ n cách thực hiện hành động thứ hai.

⇒ Có m.n cách hoàn thành công việc.

Hướng dẫn giải:

Có 5 cách chọn bút.

Có 4 cách chọn vở.

Có 3 cách chọn thước.

Theo quy tắc nhân, số cách chọn một món quà gồm một bút, một vở và một thước là:

5.4.3 = 60 cách chọn.

Trong một đội văn nghệ có 8 bạn nam và 6 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một đôi song ca nam- nữ?

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có:

+ m cách thực hiện hành động thứ nhất

+ n cách thực hiện hành động thứ hai.

⇒ Có m.n cách hoàn thành công việc.

Hướng dẫn giải:

Có 8 cách chọn bạn nam.

Có 6 cách chọn bạn nữ.

Theo quy tắc nhân, số cách chọn một đôi song ca nam - nữ là:

8.6 = 48 cách chọn.

Có bao nhiêu số tự nhiên có tính chất:

a) Là số chẵn và có hai chữ số (không nhất thiết khác nhau)?

b) Là số lẻ và có hai chữ số (không nhất thiết khác nhau)?

c) Là số lẻ và có hai chữ số khác nhau?

d) Là số chẵn và có hai chữ số khác nhau? 

Phương pháp giải:

a) Số chẵn và có hai chữ số thỏa mãn đồng thời hai tính chất là:

- Hàng chục khác 0.

- Hàng đơn vị là số chẵn.

→ Áp dụng quy tắc nhân.

b) Số lẻ và có hai chữ số thỏa mãn đồng thời hai tính chất là:

- Hàng chục khác 0.

- Hàng đơn vị là số lẻ.

→ Áp dụng quy tắc nhân.

c) Số lẻ và có hai chữ số khác nhau thỏa mãn đồng thời hai tính chất là:

- Hàng đơn vị là số lẻ.

- Hàng chục khác 0 và khác chữ số hàng đơn vị.

→ Áp dụng quy tắc nhân.

d) Số chẵn và có hai chữ số khác nhau có hai trường hợp:

- TH1: Nếu chữ số hàng đơn vị là 0 khi đó chữ số hàng chục chỉ cần khác 0.

- TH2: Nếu chữ số hàng đơn vị là 2, 4, 6, 8 khi đó chữ số hàng chục khác 0 và khác chữ số hàng đơn vị.

→ Áp dụng quy tắc nhân và quy tắc cộng.

Hướng dẫn giải:

a) Là số chẵn và có hai chữ số (không nhất thiết khác nhau)

- Để số tự nhiên là số có hai chữ số thì hàng chục phải khác 0 nên có 9 cách chọn (1,2,3,4,5,6,7,8,9).

- Để số tự nhiên là số chẵn thì hàng đơn vị có 5 cách chọn (0,2,4,6,8).

Theo quy tắc nhân, có 9.5 = 45 số chẵn có hai chữ số.

b) Là số lẻ và có hai chữ số (không nhất thiết khác nhau)

- Để số tự nhiên là số có hai chữ số thì hàng chục phải khác 0 nên có 9 cách chọn (1,2,3,4,5,6,7,8,9).

- Để số tự nhiên là số lẻ thì hàng đơn vị có 5 cách chọn 1,3,5,7,9.

Theo quy tắc nhân, có ​​9.5 = 45 số lẻ có hai chữ số.

c) Là số lẻ và có hai chữ số khác nhau

- Để số tự nhiên là số lẻ thì hàng đơn vị có 55 cách chọn 1,3,5,7,9.

- Để số tự nhiên là số có hai chữ số thì hàng chục phải khác 0 và khác chữ số ở hàng đơn vị nên có 8 cách chọn.

Theo quy tắc nhân, có 8.5 = 40 số lẻ có hai chữ số khác nhau.

d) Là số chẵn và có hai chữ số khác nhau

* TH1: “Số tự nhiên là số chẵn và có hai chữ số khác nhau” có hàng đơn vị là 0

- Hàng đơn vị là 0 có 1 cách chọn.

- Hàng chục chỉ cần khác 0 nên có 9 cách chọn.

Theo quy tắc nhân, TH1 này có 9.1=9 số.

* TH2: “Số tự nhiên là số chẵn và có hai chữ số khác nhau” có hàng đơn vị khác 0

- Hàng đơn vị là 2, 4, 6, 8 nên có 4 cách chọn.

- Hàng chục khác 0 và khác chữ số hàng đơn vị nên có 8 cách chọn.

Theo quy tắc nhân,TH2 này có 8.4 = 32 số.

Theo quy tắc cộng, có 9 + 32 = 41 số tự nhiên chẵn có 2 chữ số khác nhau.

Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tính số cách chọn một người đàn ông và một đàn bà trong buổi tiệc để phát biểu ý kiến, sao cho

a) Hai người đó là vợ chồng

b) Hai người đó không là vợ chồng

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có:

+ m cách thực hiện hành động thứ nhất

+ n cách thực hiện hành động thứ hai.

⇒ Có m.n cách hoàn thành công việc.

Hướng dẫn giải:

a) Hai người đó là vợ chồng

Chọn nam có 10 cách chọn

Vì yêu cầu 2 người được chọn là vợ chồng nên nữ có 1 cách chọn

Theo quy tắc nhân, có 10.1 = 10 cách chọn để hai người đó là vợ chồng.

b) Hai người đó không là vợ chồng

Chọn nam có 10 cách chọn

Vì hai người được chọn không phải là vợ chồng nên nữ có 9 cách chọn

Theo quy tắc nhân, có 10.9 = 90 cách chọn để hai người đó không phải là vợ chồng.

Trong 100000 số nguyên dương đầu tiên, có bao nhiêu số chứa một chữ số 3, một chữ số 4 và một chữ số 5?

Phương pháp giải:

- Từ giả thiết "trong 100000 số nguyên dương đầu tiên" → số có 5 chữ số.

- Áp dụng quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có:

+ m cách thực hiện hành động thứ nhất

+ n cách thực hiện hành động thứ hai.

⇒ Có m.n cách hoàn thành công việc.

Hướng dẫn giải:

Từ dãy hình thức ∗∗∗∗∗ ta lần lượt thay dấu ∗ bởi các chữ số.

Chữ số 3 có 5 cách đặt, có 4 cách đặt số 4, có 3 cách đặt số 5.

Khi đã đặt xong các số 3, 4, 5 rồi còn hai chỗ nữa.

Có 7 cách đặt một trong 7 số (0,1,2,6,7,8,9) vào một trong hai dấu * còn lại và 7 cách đặt chữ số vào dấu ∗ cuối cùng.

Vậy theo quy tắc nhân, có 5.4.3.7.7 = 2940 số nguyên dương không vượt quá 100000  mà chứa một chữ số 3, một chữ số 4 và một chữ số 5.

Giữa hai thành phố A và B có 5 con đường đi. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến B rồi trở về A mà không có đường nào được đi hai lần?

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có:

+ m cách thực hiện hành động thứ nhất

+ n cách thực hiện hành động thứ hai.

⇒ Có m.n cách hoàn thành công việc.

Hướng dẫn giải:

Có 5 cách đi từ A đến B.

Đến B rồi, có 4 cách trở về A mà không đi qua con đường đã đi từ A đến B.

Vậy theo quy tắc nhân có 5.4 = 20 cách đi từ A đến B rồi trở về A mà không đường nào đi hai lần.

Một người vào cửa hàng ăn. Người đó muốn chọn thực đơn gồm một món ăn trong 10 món, một loại hoa quả tráng miệng trong 5 loại hoa quả và một loại nước uống trong 4 loại nước uống. Hỏi có bao nhiêu cách chọn thực đơn của bữa ăn ?

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có:

+ m cách thực hiện hành động thứ nhất

+ n cách thực hiện hành động thứ hai.

+ q cách thực hiện hành động thứ ba.

⇒ Có m.n.q cách hoàn thành công việc.

Hướng dẫn giải:

Có 10 cách chọn một món ăn.

Có 5 cách chọn một loại hoa quả.

Có 4 cách chọn một loại nước uống.

Vậy theo quy tắc nhân, có 10.5.4 = 200 cách chọn thực đơn.

Một lớp có 40 học sinh, đăng kí chơi ít nhất một trong hai môn thể thao: bóng đá và cầu lông. Có 30 em đăng kí môn bóng đá, 25 em đăng kí môn cầu lông. Hỏi có bao nhiêu em đăng kí cả hai môn thể thao?

Phương pháp giải:

Tập số em đăng ký môn bóng đá và tập số em đăng ký môn cầu lông là hai tập hữu hạn (tập đếm được ) ta sử dụng công thức:

\(n\left( {A \cup B} \right) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\)

→ Giao của hai tập hay số em đăng ký hai môn thể thao \(n(A\cap B)\).

Hướng dẫn giải:

Gọi A là tập các học sinh đăng kí môn bóng đá.

B là tập các học sinh đăng kí môn cầu lông.

Ta có \(n\left( {A \cup B} \right) = 40.\)

Theo quy tắc cộng mở rộng ta có:

\(n\left( {A \cap B} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) - n\left( {A \cup B} \right)=30+25-40=15\)

Vậy có 15 em đăng kí chơi hai môn thể thao.

Dùng 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 để lập ra các số điện thoại có 7 chữ số. Khi đó, số các số điện thoại đầu 8 là số lẻ là:

A. 5.10⁵

B. 5.10⁶

C. 2.10⁶

D. 10⁷

Phương pháp giải:

“Lập ra số điện thoại có 7 chữ số với số đầu là 8 và là số lẻ” là công việc hoàn thành bởi bảy lần chọn liên tiếp nên bài toán sử dụng quy tắc nhân.

Hướng dẫn giải:

Số đầu là 8 có 1 cách chọn.

Số điện thoại là số lẻ nên số cuối có 5 cách chọn 1, 3, 5, 7, 9.

Năm số ở giữa mỗi số có 10 cách chọn.

⇒ Số điện thoại có 7 chữ số đầu 8 và là số lẻ là 1.10⁵.5 = 5.10⁵.

Vậu chọn đáp án A.

Sắp xếp 5 học sinh lớp A và 5 học sinh lớp B vào hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy 5 ghế sao cho 2 học sinh ngồi đối diện nhau thì khác lớp. Khi đó số cách xếp là:

A. 460000

B. 460500

C. 460800

D. 460900

Phương pháp giải:

Bài toán sử dụng quy tắc nhân vì “Sắp xếp 10 người vào ghế” là công việc hoàn thành bởi 10 lần chọn liên tiếp.

Hướng dẫn giải:

Giả sử học sinh đầu tiên là học sinh lớp A có 10 cách chọn ghế, sau đó có 5 cách chọn ra một học sinh lớp B ngồi vào ghế đối diện.

Học sinh thứ hai của lớp A có 8 cách chọn ghế, sau đó có 4 cách để chọn ra một học sinh lớp B ngồi vào ghế đối diện.

Học sinh thứ ba của lớp A có 6 cách chọn ghế, sau đó có 3 cách để chọn ra một học sinh lớp B ngồi vào ghế đối diện.

Học sinh thứ tư của lớp A có 4 cách chọn ghế, sau đó có 2 cách để chọn ra một học sinh lớp B ngồi vào ghế đối diện.

Học sinh thứ năm của lớp A có 2 cách chọn ghế, sau đó có 1 cách để chọn ra một học sinh lớp B ngồi vào ghế đối diện.

Ta có số cách sắp xếp là: 10.5.8.4.6.3.4.2.2.1 = 460800 cách.

Vậy chọn đáp án C.

Dùng 10 chữ số từ 0 đến 9 và 26 chữ cái từ A đến Z để lập mật khẩu gồm 6 kí tự trong đó có ít nhất một kí tự là chữ cái thì số mật khẩu được lập là

A. 26⁶ − 10⁶

B. 36⁶ − 26⁶

C. 36⁶ − 10⁶

 D. 26⁶

Phương pháp giải:

Ta sẽ tìm gián tiếp bằng cách lấy “số tất cả mật khẩu gồm 6 kí tự” − “số mật khẩu gồm 66 kí tự đều là chữ số”.

Hướng dẫn giải:

Số tất cả mật khẩu gồm 6 kí tự là 36⁶

Số mật khẩu gồm 6 kí tự đều là chữ số là 10⁶

Vậy số mật khẩu gồm 6 kí tự chứa ít nhất một kí tự là chữ cái là 36⁶ − 10⁶

Vậy chọn đáp án C.