Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 2: Hoán vị - Tổ hợp - Chỉnh hợp

Một cái khay tròn đựng bánh kẹo ngày Tết có 6 ngăn hình quạt màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách bày 6 loại bánh kẹo vào 6 ngăn đó?

Phương pháp giải:

Sử dụng hoán vị 6 phần tử.

Hướng dẫn giải:

Số cách bày 6 loại bánh kẹo vào 6 ngăn là 6! = 720 cách bày bánh kẹo.

Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ vào 10 ghế được kê thành hàng ngang, sao cho:

a) Nam và nữ ngồi xen kẽ nhau ?

b) Các bạn nam ngồi liền nhau?

Phương pháp giải:

a) - Ta đánh số từ 1 đến 10 cho ghế, chia hai trường hợp:

+  TH1: Các bạn nam ngồi ở các ghế ghi số lẻ

+ TH2: Các bạn nam ngồi ở các ghế ghi số chẵn

- Sử dụng hoán vị 5 phần tử để tính số cách xếp ở từng trường hợp.

→ Sử dụng quy tắc cộng để tính số cách xếp nam và nữ ngồi xen kẽ.

b) Bài toán sử dụng:

- Hoán vị 5 phần tử.

- Quy tắc cộng.

- Quy tắc nhân.

Hướng dẫn giải:

a) Nam và nữ ngồi xen kẽ nhau:

Để xác định, các ghế được đánh số từ 1 đến 10 tính từ trái sang phải.

- TH1: Các bạn nam ngồi ở các ghế ghi số lẻ:

Có 5! cách xếp bạn nam, 5! cách xếp bạn nữ. Tất cả có (5!)² cách xếp.

- TH2: Các bạn nam ngồi ở các ghế ghi số chẵn:

Có (5!)² cách xếp nam và nữ.

Vậy có tất cả 2.(5!)² cách xếp nam nữ ngồi xen kẽ nhau.

b) Các bạn nam ngồi liền nhau:

Các bạn nam được bố trí ngồi ở các ghế từ k đến k+4, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 (6 trường hợp)

Trong mỗi trường hợp có:

5 bạn nam xếp vào 5 vị trí nên có 5! cách xếp.

5 bạn nữ xếp vào 5 vị trí nên có 5! cách xếp.

Theo quy tắc nhân, có 5!.5! = 5!² cách xếp.

Vậy theo quy tắc cộng, có 6.(5!)² cách xếp mà các bạn nam ngồi cạnh nhau.

Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, trong đó có An và Bình, và 10 ghế kê thành hàng ngang, sao cho:

a) Hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau?

b) Hai bạn An và Bình không ngồi cạnh nhau? 

Phương pháp giải:

a) Bài toán sử dụng:

- Hoán vị 2, 8 phần tử.

- Quy tắc cộng.

- Quy tắc nhân.

b) Sử dụng phương pháp gián tiếp:

“Số cách sắp xếp để hai bạn Bình và An không ngồi cạnh nhau” bằng “ tổng số cách xếp 10 bạn vào 10 vị trí” trừ “ số cách sắp xếp 10 bạn vào vị trí mà Bình và An ngồi cạnh nhau”

Hướng dẫn giải:

a) Hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau:

Hai bạn Bình và An được bố trí ngồi ở các ghế từ k đến k + 1, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (9 trường hợp)

Trong mỗi trường hợp:

2 bạn xếp vào 2 vị trí nên có 2! cách xếp.

8 bạn còn lại xếp vào 8 vị trí nên có 8! cách xếp

Theo quy tắc nhân, có 2!.8 cách xếp.

Vậy theo quy tắc cộng, có 9.2!.8! = 18.8! cách xếp mà 2 bạn Bình và An ngồi cạnh nhau.

b) Hai bạn An và Bình không ngồi cạnh nhau:

Có 10! cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn vào 10 vị trí.

Từ đó có 10! − 18.8! = 72.8! cách xếp chỗ cho 10 bạn mà An và Bình không ngồi cạnh nhau.

Thầy giáo có ba quyển sách Toán khác nhau cho ba bạn mượn (mỗi bạn một quyển). Sang tuần sau thầy giáo thu lại và tiếp tục cho ba bạn mượn ba quyển đó. Hỏi có bao nhiêu cách cho mượn sách mà không bạn nào phải mượn quyển đã đọc?

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức mở rộng: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\).

Hướng dẫn giải:

Ta đánh số ba bạn 1, 2, 3.

Kí hiệu \({A_i}\) là tập hợp các cách cho mượn mà bạn thứ i được thầy giáo cho mượn lại cuốn đã đọc lần trước (i = 1, 2, 3).

Kí hiệu X là tập hợp các cách cho mượn lại.

Ta cần tính \(n\left[ {X\backslash \left( {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}} \right)} \right].\)

Ta có: \(n\left( {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}} \right)\)

\(= n\left( {{A_1}} \right) + n\left( {{A_2}} \right) + n\left( {{A_3}} \right) -n\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right) - n\left( {{A_1} \cap {A_3}} \right) -n\left( {{A_2} \cap {A_3}} \right) + n\left( {{A_1} \cap {A_2} \cap {A_3}} \right)\)

Mà \(A_1\) là tập hợp các cách bạn thứ nhất mượn trùng cuốn, khi đó hai bạn còn lại mượn khác cuốn nên có 2! cách.

Tương tự \(A_2\) và \(A_3\) ${\mathrm{}}_{}$ cũng có $2$ cách.

\({{A_1} \cap {A_2}}\) là tập hợp các cách bạn thứ nhất và thứ hai trùng cuốn, khi đó chỉ có bạn thứ ba khác cuốn nên chỉ có 1 cách.

Tương tự \({{A_1} \cap {A_3}}\) và \({{A_2} \cap {A_3}}\) cũng chỉ có 1 cách.

\({{A_1} \cap {A_2} \cap {A_3}}\) là tập hợp các cách cả ba bạn mượn trùng cuốn nên chỉ có 1 cách.

Suy ra có \(2! + 2! + 2! - 1 - 1 - 1 + 1=4\)

Mà \(n\left( X \right) = 3! = 6\)

Nên \(n\left[ {X\backslash \left( {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}} \right)} \right] = 6 - 4 = 2\)

Bốn người đàn ông, hai người đàn bà và một đứa trẻ được xếp ngồi vào bảy chiếc ghế đặt quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho:

a) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà?

b) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông?

Phương pháp giải:

a) Bài toán sử dụng:

- Quy tắc cộng, quy tắc nhân.

- Hoán vị.

b) Bài toán sử dụng quy tắc nhân, quy tắc cộng, tổ hợp, hoán vị.

Hướng dẫn giải:

a) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà:

Xếp hai người đàn bà ngồi cạnh nhau có 2 cách. Có 5 trường hợp để xếp hai người đàn bà ngồi cạnh nhau như vậy.

Sau đó xếp đứa trẻ ngồi vào giữa. Có 1 cách.

Xếp 4 người đàn ông vào 4 ghế còn lại. Có 4! cách.

Mỗi trường hợp hai người đàn bà ngồi cạnh nhau, theo quy tắc nhân, có 2.4! = 48 cách.

→ 5 trường hợp theo quy tắc cộng có tất cả số cách xếp là 5.48 = 240 cách.

b) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông:

Đầu tiên chọn 2 người đàn ông. Chọn 2 người từ 4 người là tổ hợp chập 2 của 4 có \(C_4^2\) cách.

Xếp hai người đó ngồi cạnh nhau có 2 cách. Có 5 trường hợp để xếp hai người đàn ông ngồi cạnh nhau như vậy.

Sau đó xếp đứa trẻ vào giữa. Có 1 cách.

Xếp 4 người còn lại vào 4 ghế còn lại là hoán vị có 4! cách.

Mỗi trường hợp xếp hai người đàn ông vào vị trí, theo quy tắc nhân, có \(C_4^2.2.4! = 288\) cách.

→ 5 trường hợp xếp hai người đàn ông vào vị trí, theo quy tắc cộng có tất cả số cách xếp là:

5.288 = 1440 cách.

Ba quả cầu được đặt vào ba cái hộp khác nhau (không nhất thiết hộp nào cũng có quả cầu). Hỏi có bao nhiêu cách đặt, nếu:

a) Các quả cầu giống hệt nhau (không phân biệt)?

b) Các quả cầu đôi một khác nhau? 

Phương pháp giải:

a) Phương pháp liệt kê từng trường hợp.

b) Do để đặt xong các quả cầu vào hộp thì cần phải hoàn thành liên tiếp ba công việc là đặt từng quả cầu vào hộp

→ Quy tắc nhân.

Hướng dẫn giải:

a) Các quả cầu giống hệt nhau (không phân biệt):

- TH1: ba quả cầu được đặt vào một hộp có 3 cách đặt.

- TH2: hai quả cầu được đặt vào một hộp có 3 cách đặt, một quả cầu đặt vào hai cái hộp có 2 cách đặt.

Theo quy tắc nhân, có 3.2 = 6 cách.

- TH3: mỗi quả cầu đặt vào một hộp có 1 cách.

Theo quy tắc cộng, có 3+6+1=10 cách.

b) Các quả cầu đôi một khác nhau:

Quả thứ nhất có 3 cách đặt ;

Quả thứ hai có 3 cách đặt ;

Quả thứ ba có 3 cách đặt.

Theo quy tắc nhân, số cách đặt là 3³ = 27.

Có bao nhiêu cách chia 10 người thành:

a) Hai nhóm, một nhóm 7 người, nhóm kia 3 người?

b) Ba nhóm tương ứng gồm 5, 3, 2 người? 

Phương pháp giải:

a) Chọn 7 người từ nhóm 10 người là tổ hợp chập 7 của 10.

b) Chọn $5$ người từ $10$ người là tổ hợp chập $5$ của $10.$

Chọn $3$ người từ $5$ người là tổ hợp chập $3$ của 5.

Hướng dẫn giải:

a) Hai nhóm, một nhóm 7 người, nhóm kia 3 người:

Chọn 7 người từ 10 người để lập một nhóm là tổ hợp chập 7 của 10 có \(C_{10}^7\) cách chia.

Ba người còn lại tự động vào một nhóm.

Vậy số cách chia là \(C_{10}^7\).

b) Ba nhóm tương ứng gồm 5, 3, 2 người:

Chọn 5 người từ 10 người là tổ hợp chập 5 của 10 có \(C_{10}^5\) cách chia.

Chọn 3 người từ 5 người là tổ hợp chập 3 của 5 có \(C_5^3\) cách chia.

Vậy số cách chia là \(C_{10}^5.C_5^3\)

Một giá sách bốn tầng xếp 40 quyển sách khác nhau, mỗi tầng xếp 10 quyển. Hỏi có bao nhiêu cách chọn các quyển sách sao cho từ mỗi tầng có

a) Hai quyển sách?

b) Tám quyển sách? 

Phương pháp giải:

a) - Để chọn ra mỗi tầng hai quyển cần thực hiện bốn hành động liên tiếp là lấy ra hai quyển sách ở bốn tầng nên sử dụng quy tắc nhân.

- Mỗi tầng lấy ra 2 quyển sách từ 10 quyển là tổ hợp chập 2 của 10.

b) - Để chọn ra mỗi tầng tám quyển cần thực hiện bốn hành động liên tiếp là lấy ra tám quyển sách ở bốn tầng nên sử dụng quy tắc nhân.

- Mỗi tầng lấy ra 8 quyển sách từ 10 quyển là tổ hợp chập 8 của 10.

Hướng dẫn giải:

a) Hai quyển sách

Có \(C_{10}^2\) cách chọn hai quyển từ mỗi tầng.

Theo quy tắc nhân, vậy có tất cả \({\left( {C_{10}^2} \right)^4}\) cách chọn.

b) Tám quyển sách

Có \(C_{10}^8\) cách chọn hai quyển từ mỗi tầng.

Theo quy tắc nhân, vậy có tất cả \({\left( {C_{10}^8} \right)^4}={\left( {C_{10}^2} \right)^4}\) cách chọn.

Cô giáo chia 4 quả táo, 3 quả cam và 2 quả chuối cho 9 cháu (mỗi cháu một quả). Hỏi có bao nhiêu cách chia khác nhau?

Phương pháp giải:

Bài toán dùng tổ hợp và quy tắc nhân.

Hướng dẫn giải:

Chọn 4 trong 9 cháu để phát táo là tổ hợp chập 4 của 9 nên có \(C_9^4\) cách.

Chọn 3 trong 5 cháu còn lại để phát cam là tổ hợp chập 3 của 5 nên. Có \(C_5^3\) cách.

Chuối sẽ phát cho hai cháu còn lại.

Vậy có \(C_9^4.C_5^3 = 1260\) cách.

Một đoàn đại biểu gồm 4 học sinh được chọn từ một tổ gồm 5 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong đó có ít nhất một nam và ít nhất một nữ?

Phương pháp giải:

Sử dụng tổ hợp và công thức \(n\left[ {X\backslash \left( {A \cup B} \right)} \right] = n\left( X \right) - n\left( {A \cup B} \right)= n\left( X \right) - n\left( A \right) - n\left( B \right)\)

Hướng dẫn giải:

Kí hiệu X là tập hợp các đoàn đại biểu.

A, B lần lượt là tập các đoàn đại biểu gồm toàn nam và toàn nữ.

Ta cần tìm \(n\left[ {X\backslash \left( {A \cup B} \right)} \right] = n\left( X \right) - n\left( {A \cup B} \right)= n\left( X \right) - n\left( A \right) - n\left( B \right)\)

Ta có:

Tập hợp các đoàn đại biểu là số cách chọn ra $4$ bạn từ $9$ bạn là tổ hợp chập 4 của 9: \(n\left( X \right) = C_9^4\)

Tập các đoàn bao gồm toàn nam là số cách chọn 4 bạn từ 5 bạn là tổ hợp chập 4 của 5: \(n\left( A \right) = C_5^4\)

Tập các đoàn đại biểu toàn nữ là số cách trong 4 bạn nữ từ 4 bạn là tổ hợp chập 4 của 4: \(n\left( B \right) = C_4^4\)

Vậy \(n\left[ {X\backslash \left( {A \cup B} \right)} \right] = C_9^4 - C_5^4 - C_4^4 = 120\)

Từ tập hợp gồm 10 điểm nằm trên một đường tròn:

a) Vẽ được bao nhiêu tam giác?

b) Vẽ được bao nhiêu đa giác? 

Phương pháp giải:

a) Ba điểm không thẳng hàng hình thành một tam giác

→ Số tam giác được hình thành từ 10 điểm là cách chọn ra 3 điểm từ 10 điểm là tổ hợp chập 3 của 10.

b) Đa giác vẽ được từ mười điểm là: tam giác, tứ giác, ngũ giác,… thập giác.

Cách tìm số tứ giác, ngũ giác,… thập giác tương tự như tam giác ở câu a.

→ Sử dụng quy tắc cộng.

Hướng dẫn giải:

a) Cứ ba điểm vẽ được một tam giác nên số tam giác vẽ được là tổ hợp chập 3 của 10.

Vậy có thể vẽ được \(C_{10}^3 = 120\) tam giác.

b) Số đa giác vẽ được là tổng cộng của số tam giác, tứ giác, ngũ giác, …, thập giác.

Số tam giác vẽ được là \(C_{10}^3 = 120\) tam giác.

Số tứ giác vẽ được là cách chọn ra 4 điểm từ 10 điểm là tổ hợp chập 4 của 10.

Số ngũ giác vẽ được là cách chọn ra 5 điểm từ 10 điểm là tổ hợp chập 5 của 10.

Tương tự với lục giác, thất giác, bát giác, cửu giác và thập giác.

Do đó theo công thức cộng vẽ được

\(C_{10}^3 + C_{10}^4 + C_{10}^5 + C_{10}^6 + C_{10}^7++C_{10}^8 + C_{10}^9 + C_{10}^{10} = 968\)

Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau, nếu

a) Ghế sắp thành hàng ngang?

b) Ghế sắp quanh một bàn tròn?

Phương pháp giải:

a) Bài toán sử dụng hoán vị, tổ hợp và quy tắc nhân.

b) Bài toán sử dụng hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp và quy tắc nhân.

Hướng dẫn giải:

a) Xếp 6 nam vào 6 ghế cạnh nhau có 6! cách.

Giữa các bạn nam có 5 khoảng trống cùng hai đầu dãy, nên có 7 chỗ có thể đặt ghế cho nữ.

Chọn 4 trong 7 vị trí để đặt ghế có \(C_7^4\) cách.

Xếp nữ vào 4 ghế đó có 4! cách.

Theo quy tắc nhân, có \(6!.C_7^4.4! = 120.7!\) cách xếp mà không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau.

b) Xếp 6 ghế quanh bàn tròn rồi xếp nam vào ngồi. Có 5! cách.

Giữa hai nam có khoảng trống. Xếp 4 nữ vào 4 trong 6 khoảng trống đó có \(A_6^4\) cách.

Theo quy tắc nhân, có \(5!.A_6^4 = 43200\) cách.

a) Một lớp có 50 học sinh. Tính số cách phân công 4 bạn quét sân trường và 5 bạn xén cây bằng hai phương pháp để rút ra đẳng thức: \(C_{50}^9.C_9^4 = C_{50}^4.C_{46}^5.\)

b) Chứng minh công thức Niu-tơn: \(C_n^r.C_r^k = C_n^k.C_{n - k}^{r - k}.{\rm{ }}\left( {n \ge r \ge k \ge 0} \right).\)

c) Tìm chữ số ở hàng đơn vị của tổng: \(S = 0! + 2! + 4! + 6! + ... + 100!.\)

Phương pháp giải:

a) Để tính số cách chọn ra 9 bạn làm việc cho hai cách ta sử dụng tổ hợp và quy tắc nhân:

- Cách thứ nhất là chọn 9 bạn trong 50 bạn trước rồi chọn 4 bạn quét sân, 5 bạn kia sẽ xén cây.

- Cách thứ hai là chọn  luôn 4 bạn trong 50 bạn quét sân, và 5 trong 46 bạn còn lại xén cỏ.

b) Sử dụng công thức \(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\) để chứng minh công thức Niu-tơn.

c) Sử dụng công thức \(\text{P}=\text{n}!=1.2.3.4…\text{n}\) để tìm chữ số tận cùng của từng số hạng rồi cộng các chữ số tận cùng đó lại.

Hướng dẫn giải:

a) - Cách thứ nhất:

Chọn 9 bạn nam trong 50 bạn để làm trực nhật có \(C_{50}^9\) cách.

Chọn 4 trong 9 bạn đó để quét sân có \(C_9^4\) cách.

Theo quy tắc nhân có \(C_{50}^9.C_9^4\) cách phân công.

- Cách thứ hai:

Chọn 4 trong 50 bạn để quét sân, sau đó chọn 5 trong 46 bạn còn lại để xén cây.

Vậy có \(C_{50}^4.C_{46}^5\) cách phân công.

Từ đó ta có đẳng thức cần chứng minh.

b) Ta có:

\( C_n^rC_r^k= \dfrac{{n!}}{{r!(n - r)!}}\dfrac{{r!}}{{k!(r - k)!}}=\dfrac{{n!}}{{ (n - r)!k!(r - k)!}}\)

\(VT = C_n^kC_{n-k}^{r-k} \\=\dfrac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\dfrac{{(n-k)!}}{{(r-k)![n-k-(r - k)]!}} \\= \dfrac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\dfrac{{(n-k)!}}{{(r-k)!(n-r)!}} \\=\dfrac{{n!}}{{ k!(r - k)!(n - r)!}} \\=VT\text{(đpcm)}\)

c) Ta có:

\(0! = 1\)

\(2! = 2\)

\(4! = 1.2.3.4 = 24\)

\(6!=1.2.3.4.5.6=720\) (tận cùng là 0)

Tương tự với các số hạng tiếp theo ta có các số hạng 8!;...100! đều có tận cùng là chữ số 0 (vì trong biểu thức khai triển tính giai thừa có 4.5 = 20).

Do đó chữ số ở hàng đơn vị của S là 1 + 2 + 4 = 7.

Trong một đa giác đều bảy cạnh, kẻ các đường chéo. Hỏi có bao nhiêu giao điểm của các đường chéo, trừ các đỉnh?

Phương pháp giải:

Sử dụng tổ hợp.

Hướng dẫn giải:

Mỗi giao điểm của hai đường chéo ứng với một và chỉ một tập hợp gồm 4 điểm từ tập hợp 7 đỉnh của đa giác.

Vậy có \(C_7^4 = 35\) giao điểm.

Tìm số các số nguyên dương gồm năm chữ số sao cho mỗi chữ số của số đó lớn hơn chữ số ở bên phải nó.

Phương pháp giải:

- Cách chọn 5 số từ 10 số là tổ hợp chập 5 của 10.

- Sắp xếp để mỗi chữ số của số đó lớn hơn chữ số bên phải là sắp xếp giảm dần chỉ có một cách sắp xếp.

Hướng dẫn giải:

Có \(C_{10}^5\) cách chọn 5 chữ số khác nhau để lập số cần thiết.

Nhưng khi đã có 5 chữ số khác nhau rồi, chỉ có một cách xếp 5 chữ số đó để tạo nên số cần thiết.

Vậy có \(C_{10}^5 = 252\) số.

Có 7 người khách dưới sân ga lên một đoàn tàu 6 toa. Nếu số khách này lên tàu một cách tùy ý thì số cách lên tàu là:

A. 6!

B. 7!

C. 6⁷

D. 7⁶

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc nhân.

Hướng dẫn giải:

Mỗi khách có 6 cách chọn toa.

Theo quy tắc nhân, số cách lên tàu tùy ý là 6.6.6.6.6.6.6=6⁷.

Vậy chọn đáp án C.

Có 7 người khách dưới sân ga lên một đoàn tàu 6 toa. Nếu toa đầu lên 2 khách, số khách còn lại mỗi người lên một toa tàu khác thì số cách lên tàu là:

A. \(C_7^2.5!\)

B. \(2.7.5!\)

C. \(2.5!\)

D. \(2.5^5\)

Phương pháp giải:

- Số cách chọn 2 khách trong 7 khách là tổ hợp chập 2 của 7.

- Mỗi khách còn lại lên một toa khác nhau là sắp xếp 5 khách vào 5 toa là hoán vị.

→ Sử dụng quy tắc nhân để tìm số cách lên tàu.

Hướng dẫn giải:

Số cách chọn 2 khách trong 7 khách là tổ hợp chập 2 của 7 có \(C_7^2\) cách chọn.

5 khách còn lại mỗi người lên một toa trong 5 toa còn lại nên có 5! cách chọn.

Theo quy tắc nhân, có \(C_7^2. 5!\) cách chọn.

Vậy chọn đáp án A.

Một lớp có 20 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Số cách bầu một ban cán sự lớp 4 người, trong đó có ít nhất một học sinh nam là:

A. \(C_{30}^4\)

B. \(C_{20}^4- C_{10}^4\)

C. \(C_{30}^4- C_{10}^4\)

D. \(C_{20}^4- C_{10}^1\)

Phương pháp giải:

Với bài toán này ta nên tính gián tiếp và dùng tổ hợp.

" Số cách bầu một ban cán sự lớp 4 người, trong đó có ít nhất một học sinh nam" bằng "Số cách bầu một ban cán sự 4 học sinh bất kì trong lớp" trừ "Số cách bầu một ban cán sự 4 học sinh toàn nữ".

Hướng dẫn giải:

Số cách bầu một ban cán sự 4 học sinh bất kì trong lớp là tổ hợp chập 4 của 30: \(C_{30}^4\).

Số cách bầu một ban cán sự 4 học sinh toàn nữ là tổ hợp chập 4 của 10: \(C_{10}^4\).

Số cách bầu một ban cán sự lớp 4 người, trong đó có ít nhất một học sinh nam là: \(C_{30}^4- C_{10}^4\).

Vậy chọn đáp án C.

Một đoàn văn nghệ gồm 20 người trong đó có 3 người tên là Thu, Xuân, Thắm. Số cách chọn ra một nhóm 4 người, sao cho trong đó có Thu và Xuân hoặc có Thu và Thắm là:

A. \(C_{18}^2- C_{17}^1\)

B. \(2C_{18}^4- C_{17}^1\)

C. \(C_{18}^2+ C_{17}^1\)

D. \(3C_{18}^2- C_{17}^1\)

Phương pháp giải:

Bài toán này ta nên tính gián tiếp: “số cách chọn ra 4 người có Thu và Xuân hoặc Thu và Thắm” bằng “số cách chọn 4 người trong đó có Thu và Xuân” cộng “số cách chọn 4 người trong đó có Thu và Thắm” trừ “số cách chọn 4 người trong đó có Thu, Xuân  Thắm”.

- Số cách chọn 4 người trong đó có Thu và Xuân

- Số cách chọn 4 người trong đó có Thu và Thắm

- Số cách chọn 4 người trong đó có Thu, Xuân và Thắm

→ Ta sử dụng quy tắc nhân và tổ hợp.

Hướng dẫn giải:

Số cách chọn 4 người trong đó có Thu và Xuân:

- Chọn Thu, Xuân có 1 cách

- Tiếp theo đến chọn 2 trong 18 người còn lại có \(C_{18}^2\).

Theo quy tắc nhân có \(1.C_{18}^2=C_{18}^2\) cách.

Số cách chọn 4 người trong đó có Thu, Thắm tương tự như trên nên có \(C_{18}^2\) cách.

Số cách chọn 4 người trong đó có Thu, Xuân, Thắm tương tự như cách làm tương tự như trên ta có \(C_{17}^1\) cách.

Vậy số cách chọn ra 4 người có Thu và Xuân hoặc Thu và Thắm là:

\(C_{18}^2+ C_{18}^2- C_{17}^1= 2C_{18}^2- C_{17}^1\)

Vậy chọn đáp án B.

Cho hai đường thẳng (d) và (d′) song song với nhau, trên (d) có 10 điểm và trên (d′) có 12 điểm. Số tam giác tạo bởi các điểm trên hai đường thẳng đó là:

A. \(C_{10}^2\)

B. \(C_{10}^2- C_{12}^2\)

C. 1000

D. 1200

Phương pháp giải:

- TH1: 1 điểm thuộc đường thẳng (d) và 2 điểm thuộc đường thẳng (d′).

- TH2: 1 điểm thuộc đường thẳng (d′) và 2 điểm thuộc đường thẳng (d).

Mỗi trường hợp ta sử dụng quy tắc nhân và tổ hợp.

→ Dùng quy tắc cộng để tính số tam giác.

Hướng dẫn giải:

*TH1: Số tam giác có 1 điểm thuộc đường thẳng (d) và 2 điểm thuộc đường thẳng (d’):

- Chọn 1 điểm thuộc đường thẳng (d) có 10 cách.

- Chọn 2 điểm thuộc đường thẳng (d’) là tổ hợp chập 2 của 12 có \(C_{12}^2\) cách.

Theo quy tắc nhân, có \(10. C_{12}^2\) tam giác.

*TH2: Số tam giác có 1 điểm thuộc đường thẳng (d’) và 2 điểm thuộc đường thẳng (d)

Tương tự như trên nên có \(12. C_{10}^2\) tam giác.

Vậy theo quy tắc cộng, số tam giác được tạo bởi các điểm trên hai đường thẳng đó là \(10. C_{12}^2+12. C_{10}^2=1200\) tam giác.