Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {\left( { - 3} \right)^{2n - 1}}\).

a) Chứng minh dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân. Nêu nhận xét về tính tăng, giảm của dãy số;

b) Lập công thức truy hồi của dãy số

c) Hỏi số  - 19683 là số hạng thứ mấy của dãy số?

Phương pháp giải:

a) - Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân thì \({u_{n + 1}} = q{u_n}\) với q không đổi.

- Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) suy ra tính tăng giảm của dãy số.

b) Sử dụng định nghĩa cấp số nhân \({u_{n + 1}} = q{u_n}\).

c) Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{{\left( { - 3} \right)}^{2\left( {n + 1} \right) - 1}}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{2n - 1}}}} = \dfrac{{{{\left( { - 3} \right)}^{2n + 1}}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^{2n - 1}}}} = 9\)

Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có \({u_1} = - 3,q = 9\).

Xét hiệu

\(H = {u_{n + 1}} - {u_n} \\= {\left( { - 3} \right)^{2n + 1}} - {\left( { - 3} \right)^{2n - 1}} \\={\left( { - 3} \right)^{2n}}\left[ {{{\left( { - 3} \right)}^1} - {{\left( { - 3} \right)}^{ - 1}}} \right] \\= {9^n}\left( { - \dfrac{8}{3}} \right) < 0\)

Vậy dãy số giảm.

b) Công thức truy hồi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 3\\{u_{n + 1}} = 9.{u_n}{\rm{ \ với \ }}n \ge 1.\end{array} \right.\)

c) Ta có:  \(- 19683 = \left( { - 3} \right){.9^{n - 1}} \Leftrightarrow n = 5 .\)

Vậy  - 19683 là số hạng thứ năm.

Cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có

\( \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102.\end{array} \right.\)

a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân;

b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên sẽ bằng 3069?

c) Số 12288 là số hạng thứ mấy?

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \)

- Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân \({S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {{q^n} - 1} \right)}}{{q - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\( \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}.{q^4} = 51\\{u_1}q + {u_1}{q^5} = 102\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51\\{u_1}q\left( {1 + {q^4}} \right) = 102\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\{u_1} = 3\end{array} \right.\)

Vậy \({u_1} = 3\),q = 2.

b) Ta có:

\({S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {{q^n} - 1} \right)}}{{q - 1}} = 3069 \\ \Leftrightarrow \dfrac{{3\left( {{2^n} - 1} \right)}}{{2 - 1}} = 3069 \\ \Leftrightarrow {2^n} - 1 = 1023 \\ \Leftrightarrow {2^n} = 1024 \\ \Leftrightarrow n = 10\)

Vậy n = 10.

c) Ta có:

\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \\ \Leftrightarrow 12288 = {3.2^{n - 1}} \\ \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = 4096 \\ \Leftrightarrow n - 1 = 12 \\ \Leftrightarrow n = 13\)

Vậy n = 13.

Tìm số các số hạng của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\), biết

a) \(q = 2,{u_n} = 96,{S_n} = 189\)

b) \( {u_1} = 2,{u_n} = \dfrac{1}{8},{S_n} = \dfrac{{31}}{8} \)

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \)

- Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân \({S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {{q^n} - 1} \right)}}{{q - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: 

\({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} \\ \Leftrightarrow 96 = {u_1}{.2^{n - 1}}\)

Lại có: 

\({S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {{q^n} - 1} \right)}}{{q - 1}} \\ \Leftrightarrow 189 = \dfrac{{{u_1}\left( {{2^n} - 1} \right)}}{{2 - 1}} \\ \Leftrightarrow 189 = {u_1}\left( {{2^n} - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{189}}{{96}} = \dfrac{{{2^n} - 1}}{{{2^{n - 1}}}} \\ \Leftrightarrow {189.2^{n - 1}} = {96.2^{n - 1}}.2 - 96 \\ \Leftrightarrow {3.2^{n - 1}} = 96 \\ \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = 32 \\ \Leftrightarrow n - 1 = 5 \\ \Leftrightarrow n = 6\)

Vậy n = 6.

b) Ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{8} = 2.{q^{n - 1}}\\\dfrac{{31}}{8} = \dfrac{{2\left( {{q^n} - 1} \right)}}{{q - 1}}\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{q^{n - 1}} = \dfrac{1}{{16}}\\31\left( {q - 1} \right) = 16\left( {q.{q^{n - 1}} - 1} \right)\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{q^{n - 1}} = \dfrac{1}{{16}}\\31\left( {q - 1} \right) = 16\left( {\dfrac{1}{{16}}q - 1} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{q^{n - 1}} = \dfrac{1}{{16}}\\30q = 15\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = \dfrac{1}{2}\\n - 1 = 4\end{array} \right. \\ \Rightarrow n = 5\)

Vậy n = 5. 

Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right) \), biết

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} - {u_1} = 15\\{u_4} - {u_2} = 6\end{array} \right.\)

b) \( \left\{ \begin{array}{l}{u_2} - {u_4} + {u_5} = 10\\{u_3} - {u_5} + {u_6} = 20\end{array} \right. \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^4} - {u_1} = 15\\{u_1}{q^3} - {u_1}q = 6\end{array} \right. hay \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {{q^4} - 1} \right) = 15\\{u_1}\left( {{q^3} - q} \right) = 6.\end{array} \right.{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Do (1) nên \(q \ne \pm 1\), suy ra \(\dfrac{{15}}{6} = \dfrac{{{q^4} - 1}}{{q\left( {{q^2} - 1} \right)}} = \dfrac{{{q^2} + 1}}{q}.\)

Biến đổi về phương trình \(2{q^2} - 5q + 2 = 0\).

Giải ra được q = 2 và \(q = \dfrac{1}{2}\).

Nếu q = 2 thì \({u_1} = 1\).

Nếu \(q = \dfrac{1}{2}\) thì \({u_1} = - 16\).

b) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}q - {u_1}{q^3} + {u_1}{q^4} = 10\\{u_1}{q^2} - {u_1}{q^4} + {u_1}{q^5} = 20\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q - {u_1}{q^3} + {u_1}{q^4} = 10\\q\left( {{u_1}q - {u_1}{q^3} + {u_1}{q^4}} \right) = 20\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\2{u_1} - 8{u_1} + 16{u_1} = 10\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\{u_1} = 1\end{array} \right.\)

Vậy \({u_1} = 1,q = 2. \)

Bốn số lập thành một cấp số cộng. Lần lượt trừ mỗi số ấy cho 2, 6, 7, 2 ta nhận được một cấp số nhân. Tìm các số đó.

Phương pháp giải:

- Gọi bốn số cần tìm là x, y, z, t .

- Lập hệ phương trình ẩn x, y, z, t và giải hệ.

- Chú ý các tính chất của cấp số cộng: \({u_{k - 1}} + {u_{k + 1}} = 2{u_k}\) và tính chất của cấp số nhân \({u_{k - 1}}.{u_{k + 1}} = u_k^2 \).

Hướng dẫn giải:

Gọi 4 số cần tìm là x, y, z, t ta có :

Cấp số cộng x, y, z, t

Cấp số nhân x - 2, y - 6, z - 7, t - 2.

Ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x + z = 2y\\y + t = 2z\\{\left( {y - 6} \right)^2} = \left( {x - 2} \right)\left( {z - 7} \right)\\{\left( {z - 7} \right)^2} = \left( {y - 6} \right)\left( {t - 2} \right).\end{array} \right.\)

Giải hệ ta được: \(x = 5, y = 12,z = 19,t = 26.\)

Viết bốn số xen giữa các số 5 và 160 để được một cấp số nhân.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

\({u_1} = 5,{u_6} = 160 \\ \Rightarrow 160 = 5.{q^5} \\\Leftrightarrow q = 2\)

Vậy \({u_2} = 10,{u_3} = 20,{u_4} = 40,{u_5} = 80\)

Vậy bốn số cần tìm là 10, 20, 40, 80.

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 0\\{u_{n + 1}} = \dfrac{{2{u_n} + 3}}{{{u_n} + 4}}{\rm{\ với \ }}n \ge 1.\end{array} \right.\)

a) Lập dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = \dfrac{{{u_n} - 1}}{{{u_n} + 3}}\). Chứng minh dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là cấp số nhân.

b) Tìm công thức tính \({x_n},{u_n}\) theo n.

Phương pháp giải:

a) Xét tỉ số \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}\) và chứng minh \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = q\) không đổi.

b) Từ đó suy ra công thức của số hạng tổng quát \({x_n}\) và suy ra \({u_n} \).

Hướng dẫn giải:

a) Từ giả thiết có

\( {u_{n + 1}}\left( {{u_n} + 4} \right) = 2{u_n} + 3 \) hay \( {u_{n + 1}}.{u_n} + 4{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Lập tỉ số

\(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = \dfrac{{{u_{n + 1}} - 1}}{{{u_{n + 1}} + 3}}.\dfrac{{{u_n} + 3}}{{{u_n} - 1}} = \dfrac{{{u_{n + 1}}{u_n} + 3{u_{n + 1}} - {u_n} - 3}}{{{u_{n + 1}}{u_n} - {u_{n + 1}} + 3{u_n} - 3}}{\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Từ (1) suy ra \({u_{n + 1}}.{u_n} = 2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1,}}\) thay vào (2) ta được

\( \dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} \\ = \dfrac{{2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}} + 3{u_{n + 1}} - {u_n} - 3}}{{2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}} - {u_{n + 1}} + 3{u_n} - 3}} \\ = \dfrac{{{u_n} - {u_{n + 1}}}}{{5\left( {{u_n} - {u_{n + 1}}} \right)}} = \dfrac{1}{5}.\)

Vậy \({x_{n + 1}} = \dfrac{1}{5}{x_n}\), ta có cấp số nhân \(\left( {{x_n}} \right)\) với \(q = \dfrac{1}{5} \) và \({x_1} = - \dfrac{1}{3}\).

b) Ta có \({x_n} = - \dfrac{1}{3}{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{n - 1}}.\)

Từ đó tìm được

\({u_n} = \dfrac{{3{x_n} - 1}}{{1 - {x_n}}} = \dfrac{{ - {{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^{n - 1}} - 1}}{{1 + \dfrac{1}{3}{{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^{n - 1}}}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^{n - 1}} + 1}}{{\dfrac{1}{3}{{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^{n - 1}} + 1}}.\)

Hãy chọn dãy số là cấp số nhân trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau :

A. \({u_n} = \dfrac{{{2^n} - 1}}{{{2^n} + 1}} \)

B. \({u_n} = 3n\)

C. \({u_n} = \dfrac{{{{\left( { - 3} \right)}^n}}}{3}\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = \sqrt {u_n^2 + 1} \, \ với \ \,n \ge 1\end{array} \right.\)

Phương pháp giải:

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là cấp số nhân nếu \({u_{n + 1}} = q{u_n} \).

Hướng dẫn giải:

Xét đáp án C:

\( \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{{\left( { - 3} \right)}^{n + 1}}}}{3}:\dfrac{{{{\left( { - 3} \right)}^n}}}{3} = - 3\)

Nên \({u_{n + 1}} = - 3{u_n}\), hay \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân công bội q = - 3 , số hạng đầu \({u_1} = - 1 \).

Vậy chọn C.

Tổng \({S_n} = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^n}\) bằng:

A. \({2^{n - 1}} - 1\)        B. \({2^{n + 1}} - 1\)

C. \({2^n} - 1\)           D. \(\dfrac{{\left( {1 + {2^n}} \right)n}}{2}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân \({S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {{q^{n - 1}} - 1} \right)}}{{q - 1}} \).

Hướng dẫn giải:

Dãy \(1,2,{2^2},...,{2^n}\) là cấp số nhân gồm n + 1 số hạng với \({u_1} = 1,q = 2 \).

Khi đó \({S_n} = \dfrac{{1\left( {{2^{n + 1}} - 1} \right)}}{{2 - 1}} = {2^{n + 1}} - 1 \).

Vậy chọn B.

Cho cấp số nhân \(x, - 3,y, - 27 \). Khi đó:

A. x = - 9,y = 81

B. x = 1,y = 9

C. x = 1,y = - 9

D. x = 9,y = - 15

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của cấp số nhân \(u_k^2 = {u_{k + 1}}.{u_{k - 1}} \).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 3} \right)^2} = xy\\{y^2} = \left( { - 3} \right).\left( { - 27} \right)\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 9\\{y^2} = 81\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 9\\x = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = - 9\\x = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Do đó ta có hai cấp số nhân là 1, - 3, 9, - 27 và  - 1, - 3, - 9, - 27 .

Vậy chọn B.