Giải bài tập SBT Toán 11 Ôn tập chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Chứng minh rằng

a) ${n^5} - n$ chia hết cho 5 với mọi $n \in N^*$;

b) Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9;

c)  ${n^3} - n$ chia hết cho 6 với mọi $n \in N^*$.

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi $n \in N^*$, ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên $n = k\left( {k \ge 1} \right)$ và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

a) Với n = 1 thì ${n^5} - n = {1^5} - 1 = 0\ \vdots \ 5$ nên mệnh đề đúng.

Giả sử mệnh đề đúng với n = k , nghĩa là $\left( {{k^5} - k} \right)\ \vdots \ 5$.

Ta sẽ chứng minh $\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^5} - \left( {k + 1} \right)} \right]\ \vdots \ 5$.

Thật vậy

${\left( {k + 1} \right)^5} - \left( {k + 1} \right) \\= \left( {{k^5} + 5{k^4} + 10{k^3} + 10{k^2} + 5k + 1} \right) - k - 1 \\ = \left( {{k^5} - k} \right) + \left( {5{k^4} + 10{k^3} + 10{k^2} + 5k} \right)$

Vì $\left( {{k^5} - k} \right) \ \vdots \ 5$ và $\left( {5{k^4} + 10{k^3} + 10{k^2} + 5k} \right) \ \vdots \ 5$ nên ${\left( {k + 1} \right)^5} - \left( {k + 1} \right)\ \vdots \ 5$

Vậy ${n^5} - n$ chia hết cho 5 với mọi $n \in N^*$

b) Đặt ${A_n} = {n^3} + {\left( {n + 1} \right)^3} + {\left( {n + 2} \right)^3}$, dễ thấy ${A_1} \ \vdots \ 9$.

Giả sử đã có ${A_k}\ \vdots \ 9$ với $k \ge 1$. Ta phải chứng minh ${A_{k + 1}} \ \vdots \ 9$.

Ta có:

$\begin{array}{l}{A_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + {\left( {k + 2} \right)^3} + {\left( {k + 3} \right)^3}\\ = {\left( {k + 1} \right)^3} + {\left( {k + 2} \right)^3} + \left( {{k^3} + 9{k^2} + 27k + 27} \right)\\ = {k^3} + {\left( {k + 1} \right)^3} + {\left( {k + 2} \right)^3} + 9{k^2} + 27k + 27\\ = {A_k} + 9{k^2} + 27k + 27.\end{array}$

Vì ${A_k}\ \vdots \ 9$ và $9{k^2} + 27k + 27 \ \vdots \ 9$ nên ${A_{k + 1}} \ \vdots \ 9$.

Vậy tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9.

c) Đặt ${B_n} = {n^3} - n$.

Với n = 1 thì ${B_1} = {1^3} - 1 = 0 \ \vdots \ 6 .$

Giả sử ta có ${B_k} \ \vdots \ 6,k \ge 1$. Ta cần chứng minh ${B_{k + 1}} \ \vdots \ 6$.

Thật vậy

${B_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} - \left( {k + 1} \right) \\= {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 - k - 1 \\= \left( {{k^3} - k} \right) + 3{k^2} + 3k \\= {B_k} + 3{k^2} + 3k \ \vdots \ 3$

Vậy ${n^3} - n$ chia hết cho 6 với mọi $n \in N^*$

$n \in N^*$

Chứng minh các đẳng thức sau với $n \in {N^*}$

a) ${A_n} = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{{n\left( {n + 3} \right)}}{{4\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$

b) ${B_n} = 1 + 3 + 6 + 10 + ... + \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{6}$

c) ${S_n} = \sin x + \sin 2x + \sin 3x + ... + \sin nx = \dfrac{{\sin \dfrac{{nx}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {n + 1} \right)x}}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}.$

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$, ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên $n = k\left( {k \ge 1} \right)$ và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

a) Kiểm tra với n = 1, ta có ${A_1} = \dfrac{1}{{1.2.3}} = \dfrac{1}{6} = \dfrac{{1.\left( {1 + 3} \right)}}{{4.2.3}}$.

Giả sử ta có:

${A_k} = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + ... + \dfrac{1}{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \dfrac{{k\left( {k + 3} \right)}}{{4\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}$

Ta cần chứng minh:

${A_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 4} \right)}}{{4\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}$

Thật vậy

${A_{k + 1}} = {A_k} + \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}} \\ = \dfrac{{k\left( {k + 3} \right)}}{{4\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}} \\ = \dfrac{{k{{\left( {k + 3} \right)}^2} + 4}}{{4\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}} \\ = \dfrac{{{k^3} + 6{k^2} + 9k + 4}}{{4\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}} \\ = \dfrac{{\left( {k + 4} \right){{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{{4\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}} \\ = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 4} \right)}}{{4\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}$

Vậy${A_n} = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{{n\left( {n + 3} \right)}}{{4\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$.

b) Kiểm tra với n = 1 ta có ${B_1} = \dfrac{{1.\left( {1 + 1} \right)}}{2} = 1 = \dfrac{{1\left( {1 + 1} \right)\left( {1 + 2} \right)}}{6}$ nên n = 1 đúng.

Giả sử đã có ${B_k} = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{6}$.

Ta cần chứng minh ${B_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{6}$

Thật vậy,

${B_{k + 1}} = {B_k} + \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2} \\= \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{6} + \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2} \\ = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) + 3\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{6} \\ = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{6}$

Vậy ${B_n} = 1 + 3 + 6 + 10 + ... + \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{6}$.

c) Kiểm tra với n = 1 ta có: ${S_1} = \sin x = \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}.\sin x}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}$ nên đúng.

Giả sử đã có ${S_k} = \dfrac{{\sin \dfrac{{kx}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {k + 1} \right)}}{2}x}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}.$

Ta cần chứng minh ${S_{k + 1}} = \dfrac{{\sin \dfrac{{\left( {k + 1} \right)x}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {k + 2} \right)x}}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}$

Thật vậy,

${S_{k + 1}} = {S_k} + \sin \left( {k + 1} \right)x \\= \dfrac{{\sin \dfrac{{kx}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {k + 1} \right)}}{2}x}}{{\sin \dfrac{x}{2}}} + \sin \left( {k + 1} \right)x \\= \dfrac{{ - \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)x}}{2} - \cos \dfrac{x}{2}} \right) - \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{{\left( {2k + 3} \right)x}}{2} - \cos \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)x}}{2}} \right)}}{{\sin \dfrac{x}{2}}} \\ = \dfrac{{ - \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{{\left( {2k + 3} \right)x}}{2} - \cos \dfrac{x}{2}} \right)}}{{\sin \dfrac{x}{2}}} \\ = \dfrac{{\sin \dfrac{{\left( {k + 2} \right)x}}{2}\sin \dfrac{{\left( {k + 1} \right)x}}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}$

Vậy ${S_n} = \sin x + \sin 2x + \sin 3x + ... + \sin nx = \dfrac{{\sin \dfrac{{nx}}{2}.\sin \dfrac{{\left( {n + 1} \right)x}}{2}}}{{\sin \dfrac{x}{2}}}.$

Chứng minh các bất đẳng thức sau

a) ${3^{n - 1}} > n\left( {n + 2} \right)$ với $n \ge 4$

b) ${2^{n - 3}} > 3n - 1$ với $n \ge 8.$

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$, ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên $n = k\left( {k \ge 1} \right)$ và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Hướng dẫn giải:

a) Với n = 4 thì ${3^{4 - 1}} = 27 > 4\left( {4 + 2} \right) = 24$.

Giả sử đã có ${3^{k - 1}} > k\left( {k + 2} \right)$ với $k \ge 4.{\rm{ }}\left( 1 \right)$

Nhân hai vế của (1) với 3, ta có

${3.3^{k - 1}} = {3^{\left( {k + 1} \right) - 1}} > 3k\left( {k + 2} \right) {\rm{ = }}\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right] + 2{k^2} + 2k - 3.$

Do $2{k^2} + 2k - 3 > 0$ nên ${3^{\left( {k + 1} \right) - 1}} > \left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) + 2} \right]$, chứng tỏ bất đẳng thức đúng với n = k + 1. 

Vậy ${3^{n - 1}} > n\left( {n + 2} \right)$ với $n \ge 4$.

b) Với n = 8 ta có: ${2^{8 - 3}} = {2^5} = 32 > 23 = 3.8 - 1$ nên đúng.

Giả sử ta có ${2^{k - 3}} > 3k - 1\,\,\left( 1 \right)$ với $k \ge 8$

Ta cần chứng minh ${2^{\left( {k + 1} \right) - 3}} > 3.\left( {k + 1} \right) - 1$

Thật vậy, nhân cả hai vế của $\left( 1 \right)$ với 2 ta có:

 ${2^{k - 2}} > 3k.2 - 2 \\ \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3k + 3 + 3k - 5 \\ \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3\left( {k + 1} \right) + 3k - 5 \\ \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3\left( {k + 1} \right) - 1 + 3k - 4 \\ \Leftrightarrow {2^{k - 2}} > 3\left( {k + 1} \right) - 1$

Hay ${2^{\left( {k + 1} \right) - 3}} > 3\left( {k + 1} \right) - 1$ nên bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Vậy ${2^{n - 3}} > 3n - 1$ với $n \ge 8.$

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right) : {\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1,{u_2} = 2\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1{\rm{ \ với \ n}} \ge {\rm{2}}{\rm{.}}\end{array} \right.$

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b) Lập dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ với ${v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}$. Chứng minh dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số cộng;

c) Tìm công thức tính ${u_n}$ theo n.

Phương pháp giải:

a) Thay các giá trị của n từ 1 đến 5 để tìm 5 số hạng đầu.

b) Từ công thức truy hồi của $\left( {{u_n}} \right)$ suy ra công thức truy hồi của $\left( {{v_n}} \right)$ và kết luận.

c) Tính ${v_1},{v_2},...,{v_{n - 1}}$ rồi cộng các kết quả, rút gọn suy ra ${u_n}$.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$u_1=1 \\u_2=2 \\u_3=2u_2-u_1+1=2.2-1+1=4 \\u_4=2u_3-u_2+1=2.4-2+1=7 \\u_5=2u_4-u_3+1=2.7-4+1=11$

b) Từ công thức xác định dãy số ta có

${u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1$ hay ${u_{n + 1}} - {u_n} = {u_n} - {u_{n - 1}} + 1.{\rm{ }}\left( 1 \right)$

Vì ${v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}$ nên từ (1), ta có

${v_n} = {v_{n - 1}} + 1$ với $n \ge 2.{\rm{ }}\left( 2 \right)$

Vậy $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số cộng với ${v_1} = {u_2} - {u_1} = 1$, công sai d = 1.

c) Để tính ${u_n}$, ta viết

$\begin{array}{l}{v_1} = 1\\{v_2} = {u_3} - {u_2}\\{v_3} = {u_4} - {u_3}\\...\\{v_{n - 2}} = {u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}\\{v_{n - 1}} = {u_n} - {u_{n - 1}}\end{array}$

Cộng từng vế n - 1 hệ thức trên và rút gọn, ta được

${v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}} = 1 - {u_2} + {u_n} = 1 - 2 + {u_n} = {u_{n - 1}}$

Suy ra ${u_n} = 1 + {v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}} = 1 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}.$

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right): \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{3}\\{u_{n + 1}} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right){u_n}}}{{3n}}{\rm{ \ với \ }}n \ge 1.\end{array} \right.$

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b) Lập dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ với ${v_n} = \dfrac{{{u_n}}}{n}$. Chứng minh dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân;

c) Tìm công thức tính ${u_n}$ theo n.

Phương pháp giải:

a) Thay các giá trị của n từ 1 đến 5 để tìm 5 số hạng đầu.

b) Từ công thức của $\left( {{u_n}} \right)$ suy ra công thức của $\left( {{v_n}} \right)$ và kết luận.

c) Tính $\dfrac{{{v_n}}}{{{v_{n - 1}}}}.\dfrac{{{v_{n - 1}}}}{{{v_{n - 2}}}}...\dfrac{{{v_3}}}{{{v_2}}}.\dfrac{{{v_2}}}{{{v_1}}}$ tìm công thức của ${v_n}$, từ đó suy ra ${u_n}$.

Hướng dẫn giải:

a) Năm số hạng đầu là $\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{9},\dfrac{1}{9},\dfrac{4}{{81}},\dfrac{5}{{243}}.$

b) Lập tỉ số $\dfrac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}}.\dfrac{n}{{{u_n}}} = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}.\dfrac{n}{{n + 1}}.{\rm{ }}\left( 1 \right)$

Theo công thức định nghĩa ta có $\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{n + 1}}{{3n}}.{\rm{ }}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\dfrac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \dfrac{1}{3}$ hay ${v_{n + 1}} = \dfrac{1}{3}{v_n}.$

Vậy, dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân, có ${v_1} = \dfrac{1}{3},q = \dfrac{1}{3}.$

c) Do $\left( {{y_n}} \right)$ là CSN có ${v_1} = \dfrac{1}{3},q = \dfrac{1}{3}$ nên ${v_n} = \dfrac{1}{3}.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = \dfrac{1}{{{3^n}}}.$

Suy ra ${u_n} = n{v_n} = \dfrac{n}{{{3^n}}}$.

Vậy ${u_n} = \dfrac{n}{{{3^n}}}$.

Ba số có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc là các số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng để tổng của chúng là 820?

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức của CSC: ${u_n} = {u_k} + \left( {n - k} \right)d$.

- Tính chất CSN: ${u_{k + 1}}.{u_{k - 1}} = u_k^2$.

- Tổng CSC: ${S_n} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Gọi số hạng thứ hai của cấp số cộng là ${u_2}$, ta có

${u_9} = {u_2} + 7d,{u_{44}} = {u_2} + 42d.$

Tổng ba số là 217 nên 

$\left( {{u_2} + 7d} \right) + {u_2} + \left( {{u_2} + 42d} \right) = 217 \\ \Leftrightarrow 3{u_2} + 49d = 217$

Lại có:

${u_2}.{u_{44}} = u_9^2 \\\Leftrightarrow {u_2}\left( {{u_2} + 42d} \right) = {\left( {{u_2} + 7d} \right)^2} \\ \Leftrightarrow 42{u_2}d = 14{u_2}d + 49{d^2} \\ \Leftrightarrow 4{u_2}d = 7{d^2} \\ \Leftrightarrow 4{u_2} = 7d$

Suy ra

$\left\{ \begin{array}{l}4{u_2} = 7d\\3{u_2} + 49d = 217\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 7\\d = 4\end{array} \right. \\ \Rightarrow {u_1} = 7 - 4 = 3$

Tổng của CSC:

$820 = \dfrac{{n\left[ {2.3 + \left( {n - 1} \right).4} \right]}}{2} \\ \Leftrightarrow 4{n^2} + 2n - 1640 = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 20\left( {thỏa} \right)\\n = - \dfrac{{41}}{2}\left( {loại} \right)\end{array} \right.$

Vậy n = 20.

Một cấp số cộng và một cấp số nhân có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10, còn các số hạng thứ ba bằng nhau. Tìm các cấp số ấy.

Phương pháp giải:

- Gọi công sai của CSC là d và công bội của CSN là q .

- Lập và giải hệ phương trình ẩn d,q suy ra đáp số.

Hướng dẫn giải:

Gọi công sai của CSC $\left( {{u_n}} \right)$ là d và công bội của CSN $\left( {{v_n}} \right)$ là q .

Ta có: 

${u_2} = 5 + d,{v_2} = 5q$ nên $5 + d = 5q + 10 \Leftrightarrow d = 5 + 5q$

${u_3} = 5 + 2d,{v_3} = 5{q^2}$ nên $5 + 2d = 5{q^2}$

Thay d = 5 + 5q vào phương trình trên được:

$5 + 2\left( {5 + 5q} \right) = 5{q^2} \\ \Leftrightarrow 5{q^2} - 10q - 15 = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 3\\q = - 1\end{array} \right.$

Nếu q = 3 thì d = 20 , ta có:

Cấp số cộng 5, 25, 45.

Cấp số nhân 5,15, 45.

Nếu q = - 1 thì d = 0 , ta có:

Cấp số cộng: 5; 5; 5

Cấp số nhân: 5; - 5; 5 .

Chứng minh rằng nếu ba số lập thành một cấp số nhân, đồng thời lập thành cấp số cộng thì ba số ấy bằng nhau.

Phương pháp giải:

Gọi 3 số đó là a - d, a, a + d rồi áp dụng tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân.

Hướng dẫn giải:

Gọi 3 số đó là a - d, a, a + d .

Ta có: 

${a^2} = \left( {a - d} \right)\left( {a + d} \right) \\ \Leftrightarrow {a^2} = {a^2} - {d^2} \\ \Leftrightarrow d = 0$

Vậy ba số đó là a, a, a nên ta có đpcm.

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có công bội là q và các số hạng là chẵn. Gọi ${S_c}$ là tổng các số hạng có chỉ số chẵn và ${S_l}$ là tổng các số hạng có chỉ số lẻ. Chứng minh rằng: $q = \dfrac{{{S_c}}}{{{S_l}}}.$

Phương pháp giải:

Gọi số hạng thứ nhất của cấp số nhân là ${u_1}$ và công bội là q.

Lập công thức tính ${S_c},{S_l}$ và suy ra đpcm.

Hướng dẫn giải:

Gọi số hạng thứ nhất của cấp số nhân là ${u_1}$ và công bội là q.

Ta có

$\begin{array}{l}{S_1} = {u_1} + {u_1}{q^2} + {u_1}{q^4} + ...{\rm{ }}\left( 1 \right)\\{S_c} = {u_1}q + {u_1}{q^3} + {u_1}{q^5} + ...{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array}$

Nhân hai vế của (1) với q ta có

$q{S_1} = {u_1}q + {u_1}{q^3} + {u_1}{q^5} + ... = {S_c}$

Vậy $q = \dfrac{{{S_c}}}{{{S_1}}}$.

Có thể có một tam giác vuông mà số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng không?

Phương pháp giải:

- Gọi số đo ba cạnh của tam giác vuông là x - d, x, x + d.

- Sử dụng định lí Py-ta-go tìm ba cạnh và kết luận.

Hướng dẫn giải:

Gọi số đo ba cạnh của tam giác vuông là x - d, x, x + d.

Theo giả thiết ta có ${\left( {x + d} \right)^2} = {\left( {x - d} \right)^2} + {x^2}{\rm{ }}\left( 1 \right)$

Từ (1) tìm được x = 0, x = 4d.

Như vậy có thể có tam giác vuông thoả mãn đầu bài, các cạnh của nó là 3d, 4d, 5d.

Tính tổng:

a) $\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{{{2^2}}} + \dfrac{5}{{{2^3}}} + ... + \dfrac{{2n - 1}}{{{2^n}}} ;$

b) ${1^2} - {2^2} + {3^2} - {4^2} + ... + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}.{n^2}.$

Phương pháp giải:

a) Đặt tổng là ${S_n}$ và tính $2{S_n}$ và suy ra ${S_n}$.

b) Chú ý ${n^2} - {\left( {n + 1} \right)^2} = - 2n - 1$, tính tổng đã cho bằng cách nhận xét các số hạng mới.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

${S_n} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{{{2^2}}} + \dfrac{5}{{{2^3}}} + ... + \dfrac{{2n - 1}}{{{2^n}}} 2{S_n} = 1 + \dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{{{2^2}}} + ... + \dfrac{{2n - 1}}{{{2^{n - 1}}}} \\ \Rightarrow 2{S_n} - {S_n} = 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + ... + \dfrac{1}{{{2^{n - 2}}}} - \dfrac{{2n - 1}}{{{2^n}}} \\ \Rightarrow {S_n} = 2 + \dfrac{{\dfrac{1}{2}\left( {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^{n - 2}} - 1} \right)}}{{\dfrac{1}{2} - 1}} - \dfrac{{2n - 1}}{{{2^n}}} \\ = 2 - {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{n - 2}} + 1 - \dfrac{{2n - 1}}{{{2^n}}} \\= 3 - \dfrac{{2n + 3}}{{{2^n}}}$

b) Nếu n = 2k + 1 thì :

${S_n} = {1^2} - {2^2} + {3^2} - {4^2} + ... + {\left( {2k + 1} \right)^2} \\ = - 3 - 7 - 11 - ... - \left( {4k - 1} \right) + {\left( {2k + 1} \right)^2}$

Dãy tổng $- 3 - 7 - 11 - ... - \left( {4k - 1} \right)$ là dãy tổng k số hạng đầu của cấp số cộng có ${u_1} = - 3,d = - 4$

Nên $- 3 - 7 - 11 - ... - \left( {4k - 1} \right) = \dfrac{{k\left[ {2.\left( { - 3} \right) + \left( {k - 1} \right).\left( { - 4} \right)} \right]}}{2} = k\left( { - 2k - 1} \right)$

Do đó ${S_n} = k\left( { - 2k - 1} \right) + {\left( {2k + 1} \right)^2} = 2{k^2} + 3k + 1$

Nếu n = 2k thì ${S_n} = {1^2} - {2^2} + {3^2} - {4^2} + ... + {\left( {2k - 1} \right)^2} - {\left( {2k} \right)^2} \\ = - 3 - 7 - 11 - ... - \left( {4k - 1} \right)\\ = k\left( { - 2k - 1} \right)\\ = - 2{k^2} - k$

Vậy ${S_n} = \left\{ \begin{array}{l}2{k^2} + 3k + 1\,\ nếu\,n = 2k + 1\\ - 2{k^2} - k\,\ nếu\,n = 2k\end{array} \right.$

Tính tổng:

a) ${S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + ... + n{a^{n - 1}} ;$

b) ${S_n} = 1.x + 2.{x^2} + 3.{x^3} + ... + n{x^n}.$

Phương pháp giải:

a) Nhân hai vế của hệ thức ${S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + ... + n{a^{n - 1}}$ với a và tính hiệu ${S_n} - a{S_n} = \left( {1 - a} \right){S_n}.$

b) Chia hai vế của hệ thức ${S_n} = 1.x + 2.{x^2} + 3.{x^3} + ... + n{x^n}$ với x và tính hiệu $\dfrac{{{S_n}}}{x} - {S_n}$.

Hướng dẫn giải:

a) Với a = 1, ta có ${S_n} = 1 + 2 + 3 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}.$

Giả sử $a \ne 1$. Nhân hai vế của hệ thức ${S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + ... + n{a^{n - 1}}$ với a  ta được:

$a.{S_n} = a + 2{a^2} + 3{a^3} + ... + n{a^n} \\ \Rightarrow {S_n} - a.{S_n} = 1 + a + {a^2} + ... + {a^{n - 1}} - n{a^n} \\ \Leftrightarrow \left( {1 - a} \right){S_n} = \dfrac{{{a^n} - 1}}{{a - 1}} - n{a^n} = \dfrac{{{a^n} - 1 - n\left( {a - 1} \right){a^n}}}{{a - 1}} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^n} - 1 - n{a^{n + 1}}}}{{a - 1}} \\ \Rightarrow \left( {a - 1} \right){S_n} = \dfrac{{n{a^{n + 1}} - \left( {n + 1} \right){a^n} + 1}}{{a - 1}}\\ \Leftrightarrow {S_n} = \dfrac{{n{a^{n + 1}} - \left( {n + 1} \right){a^n} + 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}.$

b) Nếu x = 0 thì S = 0

Nếu $x \ne 0$, chia cả hai vế của ${S_n}$ cho x ta được:

$\dfrac{{{S_n}}}{x} = 1 + 2x + 3{x^3} + ... + n{x^{n - 1}} \\ \begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{S_n}}}{x} - {S_n} = 1 + x + {x^2} + ... + {x^{n - 1}} - n{x^n}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{1 - x}}{x}{S_n} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right){x^n} - 1 - n{x^{n + 1}}}}{{x - 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{x}{S_n} = \dfrac{{n{x^{n + 1}} - \left( {n + 1} \right){x^n} + 1}}{{x - 1}}\\ \Leftrightarrow {S_n} = \dfrac{{n{x^{n + 2}} - n{x^{n + 1}} + x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\end{array}$

Tìm m để phương trình ${x^4} - \left( {3m + 5} \right){x^2} + {\left( {m + 1} \right)^2} = 0$ có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng.

Phương pháp giải:

- Đặt ${x^2} = y$, đưa phương trình về bậc hai.

- Tìm điều kiện để phương trình sau có hai nghiệm dương.

- Từ đó suy ra bốn nghiệm phương trình đầu và tìm điều kiện để phương trình đầu có bốn nghiệm tạo thành cấp số cộng.

Hướng dẫn giải:

Đặt ${x^2} = y$, ta có phương trình ${y^2} - \left( {3m + 5} \right)y + {\left( {m + 1} \right)^2} = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)$

Để phương trình có 4 nghiệm thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm dương ${y_1},{y_2}{\rm{ }}\left( {{y_1} < {y_2}} \right)$

$\Leftrightarrow \Delta = {\left( {3m + 5} \right)^2} - 4{\left( {m + 1} \right)^2} > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 22m + 21 > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > - 1\\m < - 21\end{array} \right.$

Bốn nghiệm đó là $- \sqrt {{y_2}} , - \sqrt {{y_1}} ,\sqrt {{y_1}} ,\sqrt {{y_2}}$.

Điều kiện để 4 nghiệm trên lập thành cấp số cộng là $\sqrt {{y_2}} - \sqrt {{y_1}} = 2\sqrt {{y_1}}$  hay ${y_2} = 9{y_1}\,\,\left( 2 \right)$

Theo $\left\{ \begin{array}{l}{y_1} + {y_2} = 3m + 5\,\,\left( 3 \right)\\{y_1}{y_2} = {\left( {m + 1} \right)^2}\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.$

Từ (2) và (3) ta có: ${y_1} + 9{y_1} = 3m + 5 \Leftrightarrow {y_1} = \dfrac{{3m + 5}}{{10}}$

Thay ${y_1} = \dfrac{{3m + 5}}{{10}}$ và ${y_2} = \dfrac{{9\left( {3m + 5} \right)}}{{10}}$ vào $\left( 4 \right)$ ta được:

$\dfrac{{3m + 5}}{{10}}.\dfrac{{9\left( {3m + 5} \right)}}{{10}} = {\left( {m + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {3m + 5} \right)^2} = \dfrac{{100{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{9}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m + 5 = \dfrac{{10\left( {m + 1} \right)}}{3}\\3m + 5 = - \dfrac{{10\left( {m + 1} \right)}}{3}\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9m + 15 = 10m + 10\\9m + 15 = - 10m - 10\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 5\\m = - \dfrac{{25}}{{19}}\end{array} \right. \left( {thỏa} \right)$

Vậy m = 5 và $m = - \dfrac{{25}}{{19}}$.

Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ sau đây, hãy chọn dãy số giảm

(A) ${u_n} = \sin n ;$

(B) ${u_n} = \dfrac{{{n^2} + 1}}{n} ;$

(C) ${u_n} = \sqrt n - \sqrt {n - 1} ;$

(D) ${u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\left( {{2^n} + 1} \right).$

Phương pháp giải:

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là giảm nếu ${u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Hướng dẫn giải:

Xét đáp án C ta có:

$\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} \\= \dfrac{{\sqrt {n + 1} - \sqrt n }}{{\sqrt n - \sqrt {n - 1} }}\\ = \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}.\dfrac{{\sqrt n + \sqrt {n - 1} }}{1}\\ = \dfrac{{\sqrt n + \sqrt {n - 1} }}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }} < 1\ vì\ \sqrt {n - 1} < \sqrt {n + 1}$

Do đó ${u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ hay dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm.

Vậy chọn đáp án: C.

Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ sau đây, hãy chọn dãy số bị chặn :

(A) ${u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} ;$

(B) ${u_n} = n + \dfrac{1}{n} ;$

(C) ${u_n} = {2^n} + 1 ;$

(D) ${u_n} = \dfrac{n}{{n + 1}}.$

Phương pháp giải:

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.

Hướng dẫn giải:

Xét đáp án D ta thấy:

${u_n} = \dfrac{n}{{n + 1}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ và ${u_n} = \dfrac{n}{{n + 1}} < 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$

Nên $0 < {u_n} < 1 .$

Do đó dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số bị chặn.

Vậy chọn đáp án D.

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_1} = 3,{u_2} = - 6$. Hãy chọn kết quả đúng :

(A) ${u_5} = - 24 ;$

(B) ${u_5} = 48 ;$

(C) ${u_5} = - 48 ;$

(D) ${u_5} = 24.$

Phương pháp giải:

Tìm công bội q và suy ra ${u_5} = {u_1}{q^4}$.

Hướng dẫn giải:

$q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{{ - 6}}{3} = - 2 \\ {u_5} = {u_1}{q^4} = 3.{\left( { - 2} \right)^4} = 48$

Vậy chọn đáp án: B.

Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ sau đây, dãy số nào là cấp số cộng ?

(A) $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = u_n^3 - 1\end{array} \right. ;$

(B) $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = {u_n} + n\end{array} \right. ;$

(C) $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} - {u_n} = 2\end{array} \right. ;$

(D) $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1\end{array} \right..$

Phương pháp giải:

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là CSC nếu ${u_{n + 1}} - {u_n} = d$ không đổi.

Hướng dẫn giải:

Xét đáp án C ta thấy ${u_{n + 1}} - {u_n} = 2$ nên dãy $\left( {{u_n}} \right)$ là CSC với công sai d = 2 và số hạng đầu ${u_1} = - 1$.

Vậy chọn đáp án: C.

Cho cấp số cộng  6, x, - 2, y.

Kết quả nào sau đây là đúng ?

(A) x = 2, y = 5;

(B) x = 4, y = 6;

(C) x = 2, y = - 6;

(D) x = 4, y = - 6.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất cấp số cộng $2{u_k} = {u_{k - 1}} + {u_{k + 1}} .$

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

$\left\{ \begin{array}{l}2x = 6 + \left( { - 2} \right)\\2.\left( { - 2} \right) = x + y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 6\end{array} \right.$

Vậy chọn đáp án: C.

Cho cấp số nhân  - 2, x, - 18, y.

Hãy chọn kết quả đúng :

(A) x = 6, y = - 54;

(B) x = - 10, y = - 26;

(C) x = - 6, y = - 54;

(D) x = - 16, y = 54.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất cấp số cộng $2{u_k} = {u_{k - 1}} + {u_{k + 1}} .$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \left( { - 2} \right).\left( { - 18} \right)\\{\left( { - 18} \right)^2} = x.y\end{array} \right. \\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 6\\x = 6\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = - 54\\x = 54\end{array} \right.$

Vậy chọn đáp án: C.

Cho dãy số $({u_n})$ với ${u_n} = {3^n}$. Hãy chọn hệ thức đúng:

(A) $\dfrac{{{u_1} + {u_9}}}{2} = {u_5} ;$

(B) $\dfrac{{{u_2}{u_4}}}{2} = {u_3} ;$

(C) $1 + {u_1} + {u_2} + ... + {u_{100}} = \dfrac{{{u_{100}} - 1}}{2} ;$

(D) ${u_1}{u_2}...{u_{100}} = {u_{5050}}.$

Phương pháp giải:

Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng các công thức cấp số nhân.

Hướng dẫn giải:

Xét đáp án D:

$\begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_2} = {3^2}\\{u_3} = {3^3}\\...\\{u_{100}} = {3^{100}}\end{array} \\ \Rightarrow {u_1}{u_2}...{u_{100}} = {3.3^2}{.3^3}{.....3^{100}} \\ = {3^{1 + 2 + 3 + ... + 100}} \\= {3^{\dfrac{{100.\left( {1 + 100} \right)}}{2}}} \\= {3^{5050}}\\ = {u_{5050}}$

Vậy chọn đáp án: D.