Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác
Để giúp các em học sinh lớp 11 học tập thật tốt môn Toán, eLib xin giới thiệu nội dung giải bài tập bài Hàm số lượng giác SBT trang 12 - 14 bên dưới đây. Tài liệu gồm tất cả các bài tập có phương pháp và hướng dẫn giải chi tiết, rõ ràng, sẽ giúp các em ôn tập lại kiến thức, cũng cố kĩ năng làm bài hiệu quả. Mời các em cùng tham khảo.
Mục lục nội dung
1. Giải bài 1.1 trang 12 SBT Đại số & Giải tích 11
2. Giải bài 1.2 trang 12 SBT Đại số & Giải tích 11
3. Giải bài 1.3 trang 12 SBT Đại số & Giải tích 11
4. Giải bài 1.4 trang 13 SBT Đại số & Giải tích 11
5. Giải bài 1.5 trang 13 SBT Đại số & Giải tích 11
6. Giải bài 1.6 trang 13 SBT Đại số & Giải tích 11
7. Giải bài 1.7 trang 13 SBT Đại số & Giải tích 11
8. Giải bài 1.8 trang 13 SBT Đại số & Giải tích 11
9. Giải bài 1.9 trang 13 SBT Đại số & Giải tích 11
10. Giải bài 1.10 trang 14 SBT Đại số & Giải tích 11
11. Giải bài 1.11 trang 14 SBT Đại số & Giải tích 11
1. Giải bài 1.1 trang 12 SBT Đại số & Giải tích 11
Tìm tập xác định của các hàm số.
a) \(y = \cos {{2x} \over {x – 1}} \);
b) \(y = \tan {x \over 3}\);
c) \(y = \cot 2x\);
d) \(y = \sin {1 \over {{x^2} – 1}}\).
Phương pháp giải:
a) d) Phân thức xác định khi mẫu số khác 0.
b) Hàm số \(y = \tan \frac{x}{3} = \frac{{\sin \frac{x}{3}}}{{\cos \frac{x}{3}}}\) xác định khi \({\cos \frac{x}{3}}\ne 0\).
c) Hàm số \(y = \cot 2x = \frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}\) xác định khi \(\sin 2x \ne 0\).
Hướng dẫn giải:
a) \(y = \cos {{2x} \over {x – 1}} \)
Điều kiện xác định:
x − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1
Vậy \(D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\).
b) \(y = \tan {x \over 3}\)
Điều kiện xác định:
\(cos {x \over 3} \ne 0 \\ \Leftrightarrow {x \over 3} \ne {\pi \over 2} + k\pi \\\Leftrightarrow x \ne {{3\pi } \over 2} + k3\pi ,k \in Z\)
Vậy \({\rm{ D = R\backslash }}\left\{ {{{3\pi } \over 2} + k3\pi ,{\rm{ }}k \in Z} \right\}\).
c) \(y = \cot 2x\)
Điều kiện xác định:
\(\sin 2x \ne 0 \\ \Leftrightarrow 2x \ne k\pi \\ \Leftrightarrow x \ne k{\pi \over 2},k \in Z\)
Vậy \({\rm{D = R\backslash }}\left\{ {k{\pi \over 2},k \in Z} \right\}\).
d) \(y = \sin {1 \over {{x^2} – 1}}\)
Điều kiện xác định:
\({x^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pm 1\)
Vậy \(D{\rm{ = R\backslash }}\left\{ { – 1;1} \right\}\).
2. Giải bài 1.2 trang 12 SBT Đại số & Giải tích 11
Tìm tập xác định của các hàm số.
a) \(y = \sqrt {\cos x + 1}\);
b) \(y = {3 \over {{{\sin }^2}x – {{\cos }^2}x}}\);
c) \(y = {2 \over {\cos x – \cos 3x}}\);
d) \(y = \tan x + \cot x\).
Phương pháp giải:
a) Hàm số \(y = \sqrt {f\left( x \right)} \) xác định khi \(f\left( x \right) \ge 0\).
b) c) Phân thức xác định khi mẫu số khác 0.
d) Hàm số \(y = \tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\) xác định khi \({\cos x}\ne 0\).
Hàm số \(y = \cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\) xác định khi \(\sin x \ne 0\).
Hướng dẫn giải:
a) \(y = \sqrt {\cos x + 1}\)
Điều kiện xác định:
\(\cos x + 1 \ge 0,\forall x \in R.{\rm{ }}\)
Vậy D = R.
b) \(y = {3 \over {{{\sin }^2}x – {{\cos }^2}x}}\)
Điều kiện xác định:
\({\sin ^2}x – {\cos ^2}x = – \cos 2x \ne 0 \\ \Leftrightarrow 2x \ne {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z \\ \Leftrightarrow x \ne {\pi \over 4} + k{\pi \over 2},k \in Z.{\rm{ }}\)
Vậy \({\rm{D = R\backslash }}\left\{ {{\pi \over 4} + k{\pi \over 2},k \in Z} \right\}\).
c) \(y = {2 \over {\cos x – \cos 3x}}\)
Ta có:
\(\cos x – \cos 3x = – 2\sin 2x\sin ( – x) = 4{\sin ^2}x\cos x\)
Điều kiện xác định:
\( \cos x – \cos 3x \ne 0 \Leftrightarrow \sin x \ne 0\) và \(\cos x \ne 0\)
\(\Leftrightarrow x \ne k\pi\) và \(x \ne {\pi \over 2} + k\pi ,k \in Z\)
Vậy \(D = R\backslash \left\{ {{{k\pi } \over 2},k \in Z} \right\}.\)
d) \(y = \tan x + \cot x\)
tan x và cot x có nghĩa khi sin x ≠ 0 và cos x ≠ 0
Vậy \(D = R\backslash \left\{ {{{k\pi } \over 2},k \in Z} \right\}\).
3. Giải bài 1.3 trang 12 SBT Đại số & Giải tích 11
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a) \(y = 3 – 2\left| {\sin x} \right|\);
b) \(y = \cos x + \cos \left( {x – {\pi \over 3}} \right)\);
c) \(y = {\cos ^2}x + 2\cos 2x\);
d) \(y = \sqrt {5 – 2{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}\).
Phương pháp giải:
a) Hàm số y = sinx có \( - 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in R\)
\(\Leftrightarrow 0 \le \left| {\sin x} \right| \le 1,\forall x \in R\).
b) Áp dụng công thức phân tích tổng thành tích thu gọn hàm số.
Áp dụng lí thuyết \( - 1 \le \cos x \le 1,\forall x \in R\) để tìm GTLN, GTNN.
c) Áp dụng công thức nhân đôi để thu gọn hàm số.
Áp dụng lí thuyết \( - 1 \le \cos x \le 1,\forall x \in R\) để tìm GTLN, GTNN.
d) Áp dụng công thức nhân đôi để thu gọn hàm số.
Hàm số y = sinx có \( - 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in R\)
\(\Leftrightarrow 0 \le \left| {\sin x} \right| \le 1,\forall x \in R\)
\( \Leftrightarrow 0 \le {\sin ^2}x \le 1,\forall x \in R\).
Hướng dẫn giải:
a) \(y = 3 – 2\left| {\sin x} \right|\)
Ta có: \( 0 \le \left| {\sin x} \right| \le 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 0 \ge - 2\left| {\sin x} \right| \ge - 2\\ \Leftrightarrow 3 \ge 3 - 2\left| {\sin x} \right| \ge 1\\ \Leftrightarrow 3 \ge y \ge 1 \end{array}\)
Vậy GTLN của hàm số y là 3, đạt được khi sin x = 0 \( \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in Z\).
GTNN của hàm số y là 1, đạt được khi sin x = ± 1 \( \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z\).
b) \(y = \cos x + \cos \left( {x – {\pi \over 3}} \right)\)
\(= 2\cos \left( {x – {\pi \over 6}} \right)\cos {\pi \over 6}\)
\(= \sqrt 3 \cos \left( {x – {\pi \over 6}} \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} - 1 \le \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 1\\ \Leftrightarrow - \sqrt 3 \le \sqrt 3 \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow - \sqrt 3 \le y \le \sqrt 3 \end{array}\)
Vậy GTLN của hàm số y là \(\sqrt3\), đạt được khi \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 1 \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{6} = k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in Z\).
GTNN của hàm số y là \(-\sqrt3\), đạt được khi \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = -1 \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{6} =\pi+ k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{7\pi }{6} + k2\pi ,k \in Z\).
c) \(y = {\cos ^2}x + 2\cos 2x\)
\(= {{1 + \cos 2x} \over 2} + 2\cos 2x\)
\(= {{1 + 5\cos 2x} \over 2}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} - 1 \le \cos 2x \le 1\\ \Leftrightarrow - 4 \le 1 + 5\cos 2x \le 6\\ \Leftrightarrow - 2 \le y \le 3 \end{array}\)
Vậy GTLN của hàm số y là 3, đạt được khi \(\cos 2x = 1 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in Z.\)
GTNN của hàm số y là \(-2\), đạt được khi \(\cos 2x = -1 \Leftrightarrow x =\frac{\pi}{2} +k\pi ,k \in Z.\)
d) \(y = \sqrt {5 – 2{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}\)
Ta có: \(5 – 2{\cos ^2}x{\sin ^2}x = 5 – {1 \over 2}{\sin ^2}2x\).
Vì \(0 \le {\sin ^2}2x \le 1{\rm{ }} \Leftrightarrow \ – {1 \over 2} \le – {1 \over 2}{\sin ^2}2x \le 0{\rm{ }} \Leftrightarrow \frac{9}{2} \le 5 – {1 \over 2}{\sin ^2}2x \le 5\)
\(\Rightarrow {\rm{ }}{{3\sqrt 2 } \over 2} \le y \le \sqrt 5\)
Vậy GTLN của hàm số y là \(\sqrt5\), đạt được khi \({\sin ^2}2x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2},k \in Z\).
GTNN của hàm số y là \(\frac{3\sqrt 2} 2\), đạt được khi \({\sin ^2}2x = 1 \Leftrightarrow \sin 2x = \pm 1 \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},k \in Z\).
4. Giải bài 1.4 trang 13 SBT Đại số & Giải tích 11
Với những giá trị nào của x, ta có mỗi đẳng thức sau?
a) \({1 \over {\tan x}} = \cot x\);
b) \({1 \over {1 + {{\tan }^2}x}} = {\cos ^2}x\);
c) \({1 \over {{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x\);
d) \(\tan x + \cot x = {2 \over {\sin 2x}}\).
Phương pháp giải:
- Biến đổi VT = VP, từ đó suy ra đẳng thức xảy ra khi hai vế xác định.
- Tìm ĐKXĐ của các biểu thức xuất hiện trong đẳng thức và kết luận.
Hướng dẫn giải:
a) \({1 \over {\tan x}} = \cot x\)
Ta có:
\(VT = \frac{1}{{\tan x}} = \frac{1}{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}} = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \cot x = VP\)
Do đó VT = VP nếu hai vế xác định.
Điều kiện xác định:
\(\left\{ \begin{array}{l} \sin \ne 0\\ \cos \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in Z\)
Vậy đẳng thức xảy ra khi \(x \ne k{\pi \over 2},k\in Z\).
b) \({1 \over {1 + {{\tan }^2}x}} = {\cos ^2}x\)
Ta có:
\(VT = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}x}} = \frac{1}{{1 + \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}} = \frac{1}{{\frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}} = {\cos ^2}x = VP\)
Do đó VT = VP nếu hai vế xác định.
Điều kiện xác định:
\(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z\)
Vậy đẳng thức xảy ra khi \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z\).
c) \({1 \over {{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x\)
Ta có:
\(VP = 1 + {\cot ^2}x = 1 + \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = VT\)
Do đó VT = VP nếu hai vế xác định.
Điều kiện xác định:
\(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in Z\)
Vậy đẳng thức xảy ra khi \(x \ne k\pi ,k \in Z\).
d) \(\tan x + \cot x = {2 \over {\sin 2x}}\)
\(VT = \tan x + \cot x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{\sin x\cos x}} = \frac{1}{{\sin x\cos x}}\)
\(VP = \frac{2}{{\sin 2x}} = \frac{2}{{2\sin x\cos x}} = \frac{1}{{\sin x\cos x}}\)
⇒ VT = VP
Do đó VT = VP nếu hai vế xác định.
Điều kiện xác định:
\(\left\{ \begin{array}{l} \cos x \ne 0\\ \sin x \ne 0\\ \sin 2x \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},k\in Z\)
Vậy đẳng thức xảy ra khi \(x \ne \frac{{k\pi }}{2},k\in Z\).
5. Giải bài 1.5 trang 13 SBT Đại số & Giải tích 11
Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số:
a) \(y = {{\cos 2x} \over x}\);
b) \(y = x – \sin x\);
c) \(y = \sqrt {1 – \cos x}\);
d) \(y = 1 + \cos x\sin \left( {{{3\pi } \over 2} – 2x} \right)\).
Phương pháp giải:
Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu x ∈ D thì −x ∈ D và f(−x) = f(x).
Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu x ∈ D thì −x ∈ D và f(−x) = −f(x).
- Bước 1: tìm TXĐ D, chứng minh D là tập đối xứng.
- Bước 2: lấy x ∈ D ⇒ −x ∈ D.
- Bước 3: xét f(−x).
Nếu f(−x) = f(x) hàm số chẵn
Nếu f(−x) = −f(x) hàm số lẻ.
Hướng dẫn giải:
a) \(y =f(x)= {{\cos 2x} \over x}\)
TXĐ: D = R \ {0} là tập đối xứng.
\(f\left( { - x} \right) = \frac{{\cos \left( {2\left( { - x} \right)} \right)}}{{ - x}} = \frac{{\cos \left( { - 2x} \right)}}{{ - x}} = \frac{{\cos 2x}}{{ - x}} = - f\left( x \right)\)
Vậy \(y = {{\cos 2x} \over x}\) là hàm số lẻ.
b) \(y = f(x)=x – \sin x\)
TXĐ D = R là tập đối xứng.
\(f\left( { - x} \right) = \left( { - x} \right) - \sin \left( { - x} \right) = - \left( {x - \sin x} \right) = - f\left( x \right)\)
Vậy \(y = x – \sin x\) là hàm số lẻ.
c) \(y = f(x)=\sqrt {1 – \cos x}\)
TXĐ D = R là tập đối xứng.
\(f\left( { - x} \right) = \sqrt {1 - \cos \left( { - x} \right)} = \sqrt {1 - \cos x} = f\left( x \right)\)
Vậy \(y = \sqrt {1 – \cos x}\) là hàm số chẵn.
d) \(y =f(x)= 1 + \cos x\sin \left( {{{3\pi } \over 2} – 2x} \right)\)
Ta có: \(y = 1 + \cos x\sin \left( {{{3\pi } \over 2} – 2x} \right)\)
\(= 1 + \cos x\sin \left( { - \frac{\pi }{2} + 2x} \right) \\= 1 - \cos x\sin \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) \\= 1 - \cos x\cos 2x\)
TXĐ D = R là tập đối xứng.
\(f\left( { - x} \right) = 1 - \cos \left( { - x} \right)\cos \left( {2\left( { - x} \right)} \right) = 1 - \cos x\cos 2x = f\left( x \right)\)
Vậy \(y = 1 + \cos x\sin \left( {{{3\pi } \over 2} – 2x} \right)\) là hàm số chẵn.
6. Giải bài 1.6 trang 13 SBT Đại số & Giải tích 11
a) Chứng minh rằng \(\cos 2\left( {x + k\pi } \right) = \cos 2x,k \in Z\). Từ đó đồ thị hàm số y = cos 2x.
b) Từ đồ thị hàm số y = cos 2x, hãy vẽ đồ thị hàm số y = |cos 2x|.
Phương pháp giải:
a) Áp dụng công thức \(\cos \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \cos \alpha \).
b) Cách dựng đồ thị hàm số y=|f(x)| từ đồ thị hàm số y=f(x):
- Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục Ox của đồ thị hàm số y=f(x).
- Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục Ox của đồ thị y=f(x) qua Ox.
- Xóa phần đồ thị phía dưới trục Ox của đồ thị hàm số y=f(x).
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
\(\cos 2(x + k\pi ) = \cos (2x + k2\pi ) = \cos 2x,k \in Z\)
Vậy hàm số y = cos 2x là hàm số chẵn, tuần hoàn, có chu kì là π.
Đồ thị hàm số y = cos 2x đi qua các điểm \(\left( {0;1} \right),\left( { - \frac{\pi }{4};0} \right),\left( {\frac{\pi }{4};0} \right),\left( { - \frac{\pi }{2}; - 1} \right),\left( {\frac{\pi }{2};1} \right)\)
b) Đồ thị hàm số y = |cos 2x| gồm:
+ Phần đồ thị phía trên trục Oxcủa đồ thị hàm số y=cos2x.
+ Phần đồ thị có được từ việc lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục Ox của đồ thị hàm số y=cos2x.
7. Giải bài 1.7 trang 13 SBT Đại số & Giải tích 11
Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {1 + 2\cos x} \) là:
A. \(\left[ { - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ;\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right]\);
B. \(\left[ { - \frac{\pi }{3} + k2\pi ;\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right]\);
C. \(\left[ { - \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi } \right]\);
D. \(\left[ { - \frac{\pi }{4} + k2\pi ;\frac{\pi }{4} + k2\pi } \right]\).
Phương pháp giải:
Hàm số \(y = \sqrt {f\left( x \right)} \) xác định khi \(f\left( x \right) \ge 0\).
Hướng dẫn giải:
Điều kiện xác định:
\(\begin{array}{l} 1 + 2\cos x \ge 0\\ \Leftrightarrow \cos x \ge - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \le x \le \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in Z \end{array}\)
Vậy chọn đáp án A.
8. Giải bài 1.8 trang 13 SBT Đại số & Giải tích 11
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{1 - \sin x}}{{2\cot x}}\) là:
A. \(R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right\}\);
B. \(R\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2}} \right\}\);
C. \(R\backslash \left\{ {k\pi } \right\}\);
D. \(R\backslash \left\{ {k2\pi } \right\}\)
Phương pháp giải:
Phân thức xác định khi mẫu số khác 0.
Hướng dẫn giải:
Điều kiện xác định:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \sin x \ne 0\\ \cos x \ne 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \sin x\cos x \ne 0\\ \Leftrightarrow 2\sin x\cos x \ne 0\\ \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0\\ \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in Z \end{array}\)
Vậy chọn đáp án B.
9. Giải bài 1.9 trang 13 SBT Đại số & Giải tích 11
Tập xác định của hàm số \(y = \dfrac{{1 + \tan x}}{{\sqrt {1 - \sin x} }} \) là:
A. \(R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi } \right\} \);
B. \(\left[ {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right]\)
C. \(R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right\}\);
D. \(R\backslash \left[ {\dfrac{\pi }{6} + k2\pi ;\dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi } \right] \)
Phương pháp giải:
- Hàm số \(y = \dfrac{{f(x)}}{{g(x)}}\) xác định khi \(g(x) \ne 0\).
- Hàm số \(y = \sqrt {f(x)} \) xác định khi \(f(x) \ge 0\).
Hướng dẫn giải:
ĐKXĐ:
\(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\1 - \sin x > 0\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\1 - \sin x \ne 0\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi\\x \ne \dfrac{\pi }{2} + k2\pi\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \)
Vậy \(x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) hay \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
Vậy chọn đáp án C.
10. Giải bài 1.10 trang 14 SBT Đại số & Giải tích 11
Tập xác định của hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt {1 - 2\cos x} }}{{\sqrt 3 - \tan x}}\) là:
A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right\}\);
B. \(\mathbb{R}\backslash \left( { - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \right)\);
C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\left\{ {\dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \right\} \cup \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi } \right\}} \right\}\);
D. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\left( { - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \right] \cup \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right\}} \right\}\)
Phương pháp giải:
- Phân thức xác định khi mẫu số khác 0.
- Hàm số \(y = \sqrt {f(x)}\) xác định khi \(f(x) \ge 0\).
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y = \dfrac{{\sqrt {1 - 2\cos x} }}{{\sqrt 3 - \tan x}}\) không xác định khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}1 - 2\cos x < 0\\\tan x = \sqrt 3 \\\cos x = 0\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi < x < \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)
Suy ra tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\left( { - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\dfrac{\pi }{3} + k2\pi } \right] \cup \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right\}} \right\}\)
Vậy chọn đáp án D.
11. Giải bài 1.11 trang 14 SBT Đại số & Giải tích 11
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 1 - \cos x - \sin x\) là:
A. \(- \dfrac{1}{2}\)
B. \(-1\)
C. \(1 - \sqrt 2\)
D. \(- \sqrt 2\)
Phương pháp giải:
- Áp dụng công thức phân tích tổng thành tích để rút gọn hàm số.
- Hàm số \(y=\cos x\) có \(\cos x\le 1\).
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\(y = 1 - \cos x - \sin x\)
\(=1-(\cos x + \sin x)\)
\(=1-[ \cos x + \cos (\dfrac{\pi }{2} - x)]\)
\(=1 - 2\cos \dfrac{\pi }{4}\cos (x - \dfrac{\pi }{4})\)
\(=1- \sqrt 2 \cos (x - \dfrac{\pi }{4})\)
Mà \(\cos (x - \dfrac{\pi }{4})\le 1\)
\(\Leftrightarrow y\ge 1-\sqrt2\)
Suy ra GTNN của hàm số y là \(1 - \sqrt 2\).
Vậy chọn đáp án C.
12. Giải bài 1.8 trang 14 SBT Đại số & Giải tích 11
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 2 + \left| {\cos x} \right| + \left| {\sin x} \right|\) là:
A. 2
B. \(2 + \sqrt 2\)
C. \(\dfrac{3}{2}\)
D. \(3 - \sqrt 2\)
Phương pháp giải:
- Hàm số \(y = 2 + \left| {\cos x} \right| + \left| {\sin x} \right|\) đạt GTLN khi \(\left| {\cos x} \right| + \left| {\sin x} \right|\) đạt GTLN.
- Hàm số \(y=\sin 2x\) có \(\sin 2x\le 1\).
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {\left| {\cos x} \right| + \left| {\sin x} \right|} \right)^2}\\ = {\cos ^2}x + {\sin ^2}x + 2\left| {\cos x\sin x} \right|\\ = 1 + \left| {\sin 2x} \right| \le 2\\ \Leftrightarrow \left| {\cos x} \right| + \left| {\sin x} \right| \le \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow 2 + \left| {\cos x} \right| + \left| {\sin x} \right| \le 2 + \sqrt 2 \end{array}\)
Suy ra GTLN của hàm số y là \(2 + \sqrt 2\).
Vậy chọn đáp án B.
13. Giải bài 1.8 trang 14 SBT Đại số & Giải tích 11
Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \(y = {\cos ^6}x + {\sin ^6}x\) tương ứng là:
A. \(\dfrac{1}{4}\) và 1
B. \(\dfrac{3}{5}\) và \(\dfrac{3}{4}\)
C. \(\dfrac{1}{2}\) và \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
D. \(\dfrac{2}{3}\) và \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Phương pháp giải:
- Biến đổi \( {\cos ^6}x + {\sin ^6}x\) về dạng biểu thức chỉ chứa sinf(x) hoặc cosf(x).
- Ta có |sinf(x)| ≤ 1 và |cosf(x)| ≤ 1 từ đó suy ra được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
\( {\cos ^6}x + {\sin ^6}x \\=({\cos ^2}x + {\sin ^2}x)({\cos ^4}x - {\cos ^2}x{\sin ^2}x + {\sin ^4}x)\)
\(={({\cos ^2}x + {\sin ^2}x)^2} - 3{\cos ^2}x{\sin ^2}x\)
\(= 1 - 3{(\dfrac{{\sin 2x}}{2})^2} = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2x\)
\(= \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x\)
Mà \(\dfrac{1}{4} \le \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}{\cos ^2}2x \le 1\) \(\Rightarrow \dfrac{1}{4} \le y \le 1\)
Vậy chọn đáp án A.
Tham khảo thêm
- doc Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản
- doc Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp
- doc Giải bài tập SBT Toán 11 Ôn tập chương 1: Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác