Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

1. Giải bài 1.14 trang 23 SBT Đại số & Giải tích 11

Giải các phương trình sau:

a) $\sin 3x =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

b) $\sin (2x-15^o)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

c) $\sin (\dfrac{x}{2}+10^o)=-\dfrac{1}{2}$

d) $\sin 4x=\dfrac{2}{3}$

Phương pháp giải:

a) d) Phương trình sinx = a

- Nếu |a|>1 phương trình vô nghiệm.

- Nếu |a|≤1 khi đó phương trình có nghiệm là:

$x=\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$ và $x=\pi-\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

b) c) Phương trình sinx = a

- Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm.

- Nếu |a| ≤ 1 có β^o thỏa mãn sinβ^o = a trong đó β^o=arcsina. 

Khi đó phương trình có nghiệm là 

$x=\beta^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}$ và $x={180}^o-\beta^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}$.

Hướng dẫn giải:

a) ​​$\sin 3x =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Ta có: 

​​$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin(\arcsin(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}))=\sin (-\dfrac{\pi}{3})$

Khi đó:

$\sin 3x=\sin (-\dfrac{\pi}{3})$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = -\dfrac{\pi}{3}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\3x= \pi-({-\dfrac{\pi}{3}})+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = -\dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3} ,k \in \mathbb{Z}\\ x=\dfrac{4\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3} ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

Vậy phương trình có các nghiệm là:

$x = -\dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3} ,k \in \mathbb{Z}$ và $x=\dfrac{4\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3} ,k \in \mathbb{Z}$

b) $\sin (2x-15^o)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Ta có:$\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sin ({45}^o)$

Khi đó: $\sin(2x-{15}^o)=\sin ({45}^o)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x-{15}^o = {45}^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\\ 2x-{15}^o = {135}^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {30}^o+k{180}^o ,k \in \mathbb{Z}\\ x = {75}^o+k{180}^o ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

Vậy nghiệm của phương trình là: $x = {30}^o+k{180}^o ,k \in \mathbb{Z}$ và $x = {75}^o+k{180}^o ,k \in \mathbb{Z}$.

c) $\sin (\dfrac{x}{2}+10^o)=-\dfrac{1}{2}$

Ta có: $-\dfrac{1}{2}=\sin (-{30}^o)$

Khi đó $\sin(\dfrac{x}{2}+{10}^o)=\sin (-{30}^o)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{x}{2}+{10}^o = -{30}^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\\ \dfrac{x}{2}+{10}^o = {210}^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = -{80}^o+k{720}^o ,k \in \mathbb{Z}\\ x = {400}^o+k{720}^o ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

Vậy nghiệm của phương trình là: $x = -{80}^o+k{720}^o ,k \in \mathbb{Z}$ và $x = {400}^o+k{720}^o ,k \in \mathbb{Z}$.

d) $\sin 4x=\dfrac{2}{3}$

Ta có: $\dfrac{2}{3}=\sin(\arcsin\dfrac{2}{3})$

Khi đó $\sin 4x=\sin(\arcsin\dfrac{2}{3})$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x = \arcsin\dfrac{2}{3}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\4x= \pi-\arcsin\dfrac{2}{3}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{1}{4}\arcsin\dfrac{2}{3}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{4}\arcsin\dfrac{2}{3}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

Vậy phương trình có các nghiệm là: $x = \dfrac{1}{4}\arcsin\dfrac{2}{3}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}$ và $x=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{4}\arcsin\dfrac{2}{3}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}$.

2. Giải bài 1.15 trang 23 SBT Đại số & Giải tích 11

Giải các phương trình:

a) $\cos(x+3) =\dfrac{1}{3}$

b) $\cos(3x-45^o)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

c) $\cos(2x+\dfrac{\pi}{3})=-\dfrac{1}{2}$

d) $(2+\cos x)(3\cos2x-1)=0$

Phương pháp giải:

a) c) Phương trình cosx = a

- Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm.

- Nếu |a| ≤ 1 khi đó phương trình có nghiệm là: $x=\pm\arccos a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

b) Phương trình cosx = a

- Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm.

- Nếu |a| ≤ 1 có β^o thỏa mãn cosβ^o = a trong đó β^o=arccosa.

Khi đó phương trình có nghiệm là $x=\pm\beta^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}$.

d) - Sử dụng công thức f(x)g(x)=0

$\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} f(x) = 0\\g(x) = 0\end{array} \right.$

- Phương trình cosx = a

+ Nếu |a| > 1 phương trình vô nghiệm.

+ Nếu |a| ≤ 1 khi đó phương trình có nghiệm là: $x=\pm\arccos a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Hướng dẫn giải:

a) $\cos(x+3) =\dfrac{1}{3}$

$\Leftrightarrow x+3 = \pm\arccos\dfrac{1}{3}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x =-3 \pm\arccos\dfrac{1}{3}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

b) $\cos(3x-45^o)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow\cos(3x-45^o)=\cos {30}^o$

$\Leftrightarrow 3x-{45}^o = \pm{30}^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x= {25}^o+k{120}^o ,k \in \mathbb{Z}\\x= {5}^o+k{120}^o ,k \in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

Vậy phương trình có các nghiệm là: $x= {25}^o+k{120}^o ,k \in \mathbb{Z}$ và $x= {5}^o+k{120}^o ,k \in\mathbb{Z}$.

c) $\cos(2x+\dfrac{\pi}{3})=-\dfrac{1}{2}$

Ta có: $-\dfrac{1}{2}=\cos(\arccos-\dfrac{1}{2})=\cos (\dfrac{2\pi}{3})$

Khi đó $2x+\dfrac{\pi}{3}=\pm\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{6}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x=-\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

Vậy phương trình có các nghiệm là: $x = \dfrac{\pi}{6}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ và $x=-\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

d) $(2+\cos x)(3\cos2x-1)=0$

$\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} 2+\cos x = 0\\3\cos2x-1 = 0\end{array} \right.$

Nếu cosx = −2 (vô nghiệm)

Nếu $\cos 2x = \dfrac{1}{3}$

$\Leftrightarrow 2x = \pm\arccos\dfrac{1}{3}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x = \pm\dfrac{1}{2}\arccos\dfrac{1}{3}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$

Vậy nghiệm của phương trình là: $x = \pm\dfrac{1}{2}\arccos\dfrac{1}{3}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$.

3. Giải bài 1.16 trang 24 SBT Đại số & Giải tích 11

Giải các phương trình:

a) $\tan (2x+45^o) =-1$

b) $\cot (x+\dfrac{\pi}{3})=\sqrt{3}$

c) $\tan (\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4})=\tan\dfrac{\pi}{8}$

d) $\cot (\dfrac{x}{3}+20^o)=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Phương pháp giải:

a) Phương trình $\tan x=\tan \beta^o$ có nghiệm là $x=\beta^o+k{180}^o ,k\in\mathbb{Z}$.

b) Phương trình $\cot x=\cot \alpha$ có nghiệm là $x=\alpha+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$.

c) Phương trình $\tan x=\tan\alpha$ có nghiệm là $x=\alpha+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$.

d) Phương trình $\cot x=\cot \beta^o$ có nghiệm là $x=\beta^o+k{180}^o ,k\in\mathbb{Z}$.

Hướng dẫn giải

a) $\tan (2x+45^o) =-1$

Ta có: $-1=\tan({-45}^o)$

Khi đó $\tan(2x+{45}^o)=\tan({-45}^o)$

$\Leftrightarrow 2x+{45}^o={-45}^o+k{180}^o ,k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x={-45}^o+k{90}^o ,k\in\mathbb{Z}$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x={-45}^o+k{90}^o ,k\in\mathbb{Z}$

b) $\cot (x+\dfrac{\pi}{3})=\sqrt{3}$

Ta có: $\sqrt{3}=\cot(\text{arccot} \sqrt{3})=\cot(\arctan\dfrac{1}{\sqrt{3}})=\cot\dfrac{\pi}{6}$

Khi đó $\cot(x+\dfrac{\pi}{3})=\cot\dfrac{\pi}{6}$

$\Leftrightarrow x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$.

c) $\tan (\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4})=\tan\dfrac{\pi}{8}$

$\Leftrightarrow \dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{8}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x=\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}$.

d) $\cot (\dfrac{x}{3}+20^o)=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Ta có:

 $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\cot(\text{arccot} (-\dfrac{\sqrt{3}}{3}))=\cot(\arctan (-\dfrac{3}{\sqrt{3}}))=\cot(-{60}^o)$

Khi đó $\cot(\dfrac{\pi}{3}+{20}^o)=\cot(-{60}^o)$

$\Leftrightarrow\dfrac{\pi}{3}+{20}^o=-{60}^o+k{180}^o ,k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x={-240}^o+k{540}^o ,k\in\mathbb{Z}$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x={-240}^o+k{540}^o ,k\in\mathbb{Z}$.

4. Giải bài 1.17 trang 24 SBT Đại số & Giải tích 11

Giải các phương trình:

a) $\cos 3x - \sin 2x = 0$

b) $\tan x\tan 2x = -1$

c) $\sin 3x+\sin 5x = 0$

d) $\cot 2x\cot 3x= 1$

Phương pháp giải:

a) Đưa phương trình về dạng cosa = cosb. Khi đó $a=\pm b+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}$.

b) - Tìm điều kiện xác định của tanx và tan2x là cosx ≠ 0 và cos2x ≠ 0.

- Biến đổi $\tan x=\dfrac{\ sin x}{\cos x}$.

- Áp dụng công thức cosin của một hiệu: $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$.

c) Đưa phương trình về dạng sina = sinb

Khi đó $a=b+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}$ và $a=\pi-b+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}$.

d) - Tìm điều kiện xác định của cot2x và cot3x là sin2x ≠ 0 và sin3x ≠ 0.

- Biến đổi $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$.

- Áp dụng công thức cosin của một tổng: $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$.

Hướng dẫn giải:

a) $\cos 3x - \sin 2x = 0$

$\Leftrightarrow\cos 3x=\sin 2x$

$\Leftrightarrow\cos 3x=\cos(\dfrac{\pi}{2}-2x)$

$\Leftrightarrow 3x=\pm(\dfrac{\pi}{2}-2x)+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}5x = \dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\\x = -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x = \dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}$ và $x = -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}$.

b) $\tan x\tan 2x = -1$ (1)

Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l} \cos x\ne0\\\cos 2x\ne0\end{array} \right.$

(1) $\Leftrightarrow \dfrac{\sin x}{\cos x}\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}=-1$

$\Rightarrow \sin x\sin 2x=-\cos x\cos 2x$

$\Leftrightarrow \cos x\cos 2x+\sin x\sin 2x=0$

$\Leftrightarrow \cos (2x-x)=0$

$\Leftrightarrow \cos x=0$

Kết hợp với điều kiện khi đó phương trình vô nghiệm.

c) $\sin 3x+\sin 5x = 0$

$\Leftrightarrow \sin 5x=-\sin 3x$

$\Leftrightarrow \sin 5x=\sin (-3x)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5x = -3x+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\5x= \pi-(-3x)+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\dfrac{\pi}{4} ,k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x=k\dfrac{\pi}{4} ,k\in\mathbb{Z}$ và $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$.

d) $\cot 2x\cot 3x= 1$ (2)

Điều kiện xác định: 

$\left\{ \begin{array}{l} \sin 2x\ne0\\\sin 3x\ne0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 2x\ne m\pi ,m\in\mathbb{Z}\\3x\ne m\pi ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x\ne m\dfrac{\pi}{2} ,m\in\mathbb{Z}\\x\ne m\dfrac{\pi}{3} ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

(2) $\Leftrightarrow \dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}\dfrac{\cos 3x}{\sin 3x}=1$

$\Rightarrow \cos 2x\cos 3x=\sin 2x\sin 3x$

$\Leftrightarrow \cos 2x\cos 3x-\sin 2x\sin 3x=0$

$\Leftrightarrow \cos (2x+3x)=0$

$\Leftrightarrow \cos 5x=0$

$\Leftrightarrow 5x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}$

Với điều kiện ở trên khi đó:

$\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5}\ne m\dfrac{\pi}{2} ,m\in\mathbb{Z}\\\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5}\ne m\dfrac{\pi}{3} ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} k\ne\dfrac{5m-1}{2} ,m\in\mathbb{Z}\\k\ne\dfrac{10m-3}{6} ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x=\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}$ với $k\ne\dfrac{5m-1}{2}$ và $k\ne\dfrac{10m-3}{6}$, $m\in\mathbb{Z}$

5. Giải bài 1.18 trang 24 SBT Đại số & Giải tích 11

Nghiệm của phương trình $\sin 5x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ là

A. $\dfrac{2\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}$ và $\dfrac{4\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}$ $(k\in\mathbb{Z})$

B. $\dfrac{2\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}$ và $\dfrac{\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}$$(k\in\mathbb{Z})$

C. $\dfrac{\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}$ và $\dfrac{2\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}$ $(k\in\mathbb{Z})$

D. $\dfrac{\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}$ và $\dfrac{4\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5}$ $(k\in\mathbb{Z})$

Phương pháp giải:

 Phương trình sinx = a

- Nếu |a|>1 phương trình vô nghiệm.

- Nếu |a|≤1 khi đó phương trình có nghiệm là:

$x=\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$ và $x=\pi-\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin \dfrac{\pi}{3}$

Khi đó $\sin 5x=\sin \dfrac{\pi}{3}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\\5x=\pi-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\\x= \dfrac{2\pi}{15}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

Vậy chọn đáp án C.

6. Giải bài 1.19 trang 24 SBT Đại số & Giải tích 11

Nghiệm của phương trình $\cot(2x-{30}^o)=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ là:

A. ${30}^o+k{90}^o$ $(k\in\mathbb{Z})$

B. ${75}^o+k{90}^o$ $(k\in\mathbb{Z})$

C. ${45}^o+k{90}^o$ $(k\in\mathbb{Z})$

D. ${-75}^o+k{90}^o$ $(k\in\mathbb{Z})$

Phương pháp giải:

Phương trình: cotx = a có β^o thỏa mãn cotβ^o=a có nghiệm là $x=\beta^o+k{180}^o ,k\in\mathbb{Z}$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\cot({-60}^o)$

Khi đó $\cot(2x-{30}^o)=\cot({-60}^o)$

$\Leftrightarrow 2x-{30}^o={-60}^o+k{180}^o ,k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x={-15}^o+k{90}^o ,k\in\mathbb{Z}$

Hay $x={75}^o+k{90}^o ,k\in\mathbb{Z}$

Vậy chọn đáp án B.

7. Giải bài 1.20 trang 24 SBT Đại số & Giải tích 11

Nghiệm của phương trình $\tan x+\tan(x+\dfrac{\pi}{4})+2=0$ là

A. $x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi$ và $x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$ $(k\in\mathbb{Z})$

B. $x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$ và $x=\dfrac{2\pi}{3}+k\pi$ $(k\in\mathbb{Z})$

C. $x=\pm\dfrac{\pi}{6}+k\pi$ $(k\in\mathbb{Z})$

D. $x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k\pi$ $(k\in\mathbb{Z})$

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Áp dụng công thức cộng: $\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$.

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l} \sin x\ne 0 \\ \sin (x+\dfrac{\pi}{4})\ne 0\end{array} \right.$

$\tan x+\tan(x+\dfrac{\pi}{4})+2=0$

$\Leftrightarrow \tan x+\dfrac{\tan x+\tan \dfrac{\pi}{4}}{1-\tan x\tan \dfrac{\pi}{4}}+2=0$

$\Leftrightarrow \tan x+\dfrac{\tan x+1}{1-\tan x}+2=0$

$\Leftrightarrow \tan x-{\tan}^2 x+\tan x+1+2-2\tan x=0$

$\Leftrightarrow {\tan}^2 x=3$

$\Leftrightarrow \tan x=\pm\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$ (thỏa mãn)

Vậy chọn đáp án D.

8. Giải bài 1.21 trang 25 SBT Đại số & Giải tích 11

Nghiệm của phương trình sin3xcosx − sin4x = 0 là

A. $k\pi$ và $\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3}$ $(k\in\mathbb{Z})$

B. $\dfrac{\pi}{4}+k2\pi$ $(k\in\mathbb{Z})$

C. $\dfrac{\pi}{3}+k\pi$ $(k\in\mathbb{Z})$

D. $\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$ và $\dfrac{\pi}{4}+k2\pi$ $(k\in\mathbb{Z})$

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng để rút gọn phương trình.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\sin 3x\cos x=\dfrac{1}{2}[\sin(3x+x)+\sin(3x-x)]$ 

sin3xcosx − sin4x = 0

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(\sin 4x+\sin 2x)-\sin 4x=0$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(\sin 2x-\sin 4x)=0$

$\Leftrightarrow \sin 4x=\sin 2x$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x = 2x+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\4x= \pi-2x+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3} ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

Vậy chọn đáp án A.

9. Giải bài 1.22 trang 25 SBT Đại số & Giải tích 11

Nghiệm của phương trình cos2xcos4x = 1 thuộc đoạn $\left[ { - \pi ; \pi} \right]$ là

A. $-\dfrac{\pi}{2},0 \ và \ \pi$

B. $0, \dfrac{\pi}{2} \ và \ \pi$

C. $-\pi, 0 \ và \ \pi$

D. $-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \ và \ \pi$

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng để thu gọn phương trình.

Hướng dẫn giải:

$\cos 2x \cos 4x=1$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}[\cos(4x+2x)+\cos(4x-2x)]=1$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(\cos 6x+\cos 2x)=1$

$\Leftrightarrow \cos 6x+\cos 2x=2$

Vì $-1\le\cos 6x\le1$ và $-1\le\cos 2x\le1$

Nên phương trình xảy ra khi:

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \cos 6x=1\\\cos 2x=1\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6x=k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\\2x=k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=k\dfrac{\pi}{3} ,k\in\mathbb{Z}\\x=k\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow x=k\pi ,k\in\mathbb{Z}$

Với k = −1, k = 0 và k = 1 phương trình có 3 nghiệm $-\pi, 0 \ và \ \pi$ thuộc đoạn $\left[ { - \pi ; \pi} \right]$.

Vậy chọn đáp án C.

10. Giải bài 1.23 trang 25 SBT Đại số & Giải tích 11

Nghiệm của phương trình tanxcot3x = −1 thuộc đoạn $\left[ { 0 ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]$ là:

A. $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{4}$ và $\dfrac{\pi}{3}$

B. $\dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{3\pi}{4}$ và $\pi$

C. $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{3\pi}{4}$ và $\dfrac{5\pi}{4}$

D. $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{3\pi}{4}$ và $\dfrac{5\pi}{4}$

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Áp dụng công thức $\cot x=\dfrac{1}{\tan x}$ để rút gọn phương trình.

Hướng dẫn giải:

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l} \cos x\ne 0 \\ \sin 3x\ne 0\end{array} \right.$

tanxcot3x = −1

$\Leftrightarrow \tan x \dfrac{1}{\tan 3x}=-1$

$\Leftrightarrow \tan x =-\tan 3x=\tan (-3x)$

$\Leftrightarrow x =-3x+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x =\dfrac{k\pi}{4} ,k\in\mathbb{Z}$

Có bảy giá trị của $\dfrac{k\pi}{4}$ thuộc đoạn $\left[ { 0 ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]$ là 0, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{2}$, $\dfrac{3\pi}{4}$, $\pi$, $\dfrac{5\pi}{4}$ và $\dfrac{3\pi}{2}$.

Vậy chọn đáp án D.

11. Giải bài 1.24 trang 25 SBT Đại số & Giải tích 11

Nghiệm lớn nhất của phương trình sin3x − cosx = 0 thuộc đoạn $\left[ { -\frac{{\pi }}{2} ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]$ là

A. $\dfrac{3\pi}{2}$

B. $\dfrac{4\pi}{3}$

C. $\dfrac{5\pi}{4}$

D. $\pi$

Phương pháp giải:

- Đưa phương trình về dạng sina = sinb.

- Phương trình có các nghiệm là: $a = b+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$ và $a=\pi-b+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Hướng dẫn giải:

sin3x − cosx = 0

$\Leftrightarrow \sin 3x=\cos x$

$\Leftrightarrow \sin 3x=\sin (\dfrac{\pi}{2}-x)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = \dfrac{\pi}{2}-x+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\3x= \pi-(\dfrac{\pi}{2}-x)+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

Với $x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2}$ ta có 4 giá trị là $-\dfrac{3\pi}{8}$, $\dfrac{\pi}{8}$, $\dfrac{5\pi}{8}$ và $\dfrac{9\pi}{8}$.

Với $x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$ ta có 2 giá trị là $\dfrac{\pi}{4}$ và $\dfrac{5\pi}{4}$.

Vậy chọn đáp án C.