Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {{\left( {x - 1} \right)\left| x \right|} \over x}\)

Vẽ đồ thị của hàm số này. Từ đồ thị dự đoán các khoảng trên đó hàm số liên tục và chứng minh dự đoán đó.

Phương pháp giải:

- Đưa hàm số về dạng khoảng rồi vẽ đồ thị.

- Quan sát đồ thị nhận xét tính liên tục và kết luận.

Hướng dẫn giải:

\( f\left( x \right) = {{\left( {x - 1} \right)\left| x \right|} \over x} = \left\{ \matrix{x - 1,\,{\rm{ nếu }}\,\,x > 0 \hfill \cr 1 - x,\,{\rm{ nếu\,\, x < 0}} \hfill \cr} \right.\)

Hàm số này có tập xác định là \(R\backslash \left\{ 0 \right\}\)

Từ đồ thị dự đoán f(x) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty {\rm{ }};{\rm{ }}0} \right),\;\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)\) nhưng không liên tục trên R.

Thật vậy,

- Với \(x > 0, f(x) = x - 1\) là hàm đa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên \(\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)\)

- Với \(x < 0,f\left( x \right) = 1 - x\) cũng là hàm đa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên \(\left( { - \infty {\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)\)

Dễ thấy hàm số gián đoạn tại x = 0 vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = - 1,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = 1\)

Cho ví dụ về một hàm số liên tục trên (a; b] và trên (b; c) nhưng không liên tục trên (a; c).

Phương pháp giải:

Lấy ví dụ hàm số dạng khoảng và chứng minh.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số 

\( f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ x + 2,\,{\rm{nếu}} \le {\rm{0}} \hfill \cr {1 \over {{x^2}}}{\rm\,{,nếu }}\,\,x > 0 \hfill \cr} \right.\)

- Trường hợp \(x \le 0\)

\( f\left( x \right) = x + 2\) là hàm đa thức, liên tục trên R nên nó liên tục trên (-2; 0]

- Trường hợp x > 0

\( f\left( x \right) = {1 \over {{x^2}}}\) là hàm số phân thức hữu tỉ xác định trên \(D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\) nên liên tục trên (0; 2).

Như vậy f(x) liên tục trên (-2; 0] và trên (0; 2)

Tuy nhiên, vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {1 \over {{x^2}}} = + \infty \) nên hàm số f(x) không có giới hạn hữu hạn tại x = 0.

Do đó, nó không liên tục tại x = 0.

Nghĩa là không liên tục trên (-2; 2).

Chứng minh rằng nếu một hàm số liên tục trên (a; b] và trên [b; c) thì nó liên tục trên (a; c).

Phương pháp giải:

Chứng minh hàm số liên tục tại điểm b suy ra điều phải chứng minh

Hướng dẫn giải:

Vì hàm số liên tục trên (a; b] nên liên tục trên (a; b) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right) \) (1)

Vì hàm số liên tục trên [b; c) nên liên tục trên (b; c) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x \right) = f\left( b \right) \) (2)

Từ (1) và (2) suy ra f(x) liên tục trên các khoảng (a; b), (b; c) và liên tục tại x = b (vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to b} f\left( x \right) = f\left( b \right) \)).

Nghĩa là nó liên tục trên (a; c).

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm x₀

Chứng minh rằng nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}} = L\) thì hàm số f(x) liên tục tại điểm x_0.

Hướng dẫn: Đặt \(g\left( x \right) = {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}} - L\) và biểu diễn f(x) qua g(x).

Phương pháp giải:

Đặt \(g\left( x \right) = {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}} - L\) và biểu diễn f(x) qua g(x).

Hướng dẫn giải:

Đặt \(g\left( x \right) = {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}} - L\)

Suy ra g(x) xác định trên \(\left( {a{\rm{ }};{\rm{ }}b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 0\)

Mặt khác, \(f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) + L\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {x - {x_0}} \right)g\left( x \right)\) nên

\( \eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( {{x_0}} \right) + L\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {x - {x_0}} \right)g\left( x \right)} \right] \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( {{x_0}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} L\left( {x - {x_0}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x - {x_0}} \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right). \cr} \)

Vậy hàm số y = f(x) liên tục tại x_0.

Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a) \( f\left( x \right) = \sqrt {x + 5}\) tại x = 4

b) \( g\left( x \right) = \left\{ \matrix{ {{x - 1} \over {\sqrt {2 - x} - 1}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x < 1 \hfill \cr - 2x{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x \ge 1 \hfill \cr} \right. tại x = 1\)

Phương pháp giải:

 Hàm số y = f(x) liên tục tại \({x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Hướng dẫn giải:

a) Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 5}\)  có tập xác định là \( {\rm{[}} - 5{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty ). \)

Do đó, nó xác định trên khoảng \(\left( { - 5{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)\) chứa x = 4

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \sqrt {x + 5} = 3 = f\left( 4 \right)\) nên f(x) liên tục tại x = 4

b) Hàm số: \(g\left( x \right) = \left\{ \matrix{ {{x - 1} \over {\sqrt {2 - x} - 1}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x < 1 \hfill \cr - 2x{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x \ge 1 \hfill \cr} \right.\)  có tập xác định là R

Ta có, \(g\left( 1 \right) = - 2 \) (1)

\( \eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{x - 1} \over {\sqrt {2 - x} - 1}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2 - x} + 1} \right)} \over {1 - x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - \sqrt {2 - x} - 1} \right) = - 2 \ (2) \cr } \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - 2x} \right) = - 2 \ (3)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = - 2 = g\left( 1 \right)\)

Vậy g(x) liên tục tại x = 1.

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

a) \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ {{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }},\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne \sqrt 2 \hfill \cr 2\sqrt 2 {\rm{ , \,\,nếu }}\,\,x = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)

b) \( g\left( x \right) = \left\{ \matrix{ {{1 - x} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne 2 \hfill \cr 3{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x = 2 \hfill \cr} \right.\)

Phương pháp giải:

- Tìm tập xác định của hàm số.

- Hàm số y = f(x) liên tục tại \({x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Hướng dẫn giải:

a) \( f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ {{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }},\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne \sqrt 2 \hfill \cr 2\sqrt 2 {\rm{ , \,\,nếu }}\,\,x = \sqrt 2 \hfill \cr} \right. \)

Tập xác định của hàm số là D = R

- Nếu \(x \ne \sqrt 2 \) thì \(f\left( x \right) = {{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }}\)

Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty {\rm{ }};{\rm{ }}\sqrt 2 } \right)\) và \(\left( {\sqrt 2 {\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)\)

- Tại \(x = \sqrt 2 \):

\( \eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } {{{x^2} - 2} \over {x - \sqrt 2 }} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } {{\left( {x - \sqrt 2 } \right)\left( {x + \sqrt 2 } \right)} \over {x - \sqrt 2 }} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \left( {x + \sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 = f\left( {\sqrt 2 } \right) \cr}\)

Vậy hàm số liên tục tại \(x = \sqrt 2 \).

Kết luận: y = f(x) liên tục trên R.

b) \(g\left( x \right) = \left\{ \matrix{ {{1 - x} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne 2 \hfill \cr 3{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x = 2 \hfill \cr} \right.\)

Tập xác định là D = R

- Nếu \(x \ne 2\) thì \(g\left( x \right) = {{1 - x} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) là hàm phân thức hữu tỉ, nên nó liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ,2} \right)\) và \(\left( {2, + \infty } \right)\)

Tại x = 2: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{1 - x} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = - \infty\)

Vậy hàm số y = g(x) không liên tục tại x = 2

Kết luận: y = g(x) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ,2} \right)\) và \(\left( {2, + \infty } \right)\) nhưng gián đoạn tại x = 2.

Tìm giá trị của tham số m để hàm số \( f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ {{\sqrt x - 1} \over {{x^2} - 1}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \ne 1 \hfill \cr {m^2}{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x = 1 \hfill \cr} \right. \) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right) .\)

Phương pháp giải:

Hàm số y = f(x) liên tục tại \({x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Trên \(\left( {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\) thì \(f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{{x^2} - 1}}\) là hàm phân thức nên liên tục.

Tại x = 1 ta có:

\( \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{{x^2} - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{1}{{\left( {1 + 1} \right)\left( {\sqrt 1 + 1} \right)}} = \dfrac{1}{4}\end{array}\)

Để hàm số liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì nó liên tục tại x = 1

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} = {m^2} \Leftrightarrow m = \pm \dfrac{1}{2}\)

Vậy \(m = \pm \dfrac{1}{2} .\)

Chứng minh rằng phương trình:

a) \({x^5} - 3x - 7 = 0\) luôn có nghiệm;

b) \( \cos 2x = \sin x - 2\) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng \(\left( { - {\pi \over 6};\pi } \right) \);

c) \( \sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0\) có nghiệm dương.

Phương pháp giải:

a) Chọn [a;b] sao cho f(a).f(b) < 0 ⇒ Phương trình f(x) có nghiệm thuộc [a; b].

b) Chọn [a;b] và [c; d] sao cho f(a).f(b) < 0, f(c).f(d) < 0 ⇒ Phương trình f(x) có nghiệm thuộc [a; b], [c; d].

c) Chọn [a;b] \((0\le a<b)\) sao cho f(a).f(b) < 0 ⇒ Phương trình f(x) có nghiệm thuộc [a; b].

Hướng dẫn giải:

a) Hàm số \(f\left( x \right) = {x^5} - 3x - 7\) liên tục trên R nên liên tục trên \(\left[ {0;2} \right]\)

Ta có: \(f\left( 0 \right) = - 7,f\left( 2 \right) = 19 \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 2 \right) < 0\)

Vậy phương trình f(x) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {0;2} \right) .\)

b) Hàm số \(f\left( x \right) = \cos 2x - 2\sin x + 2\) liên tục trên R nên liên tục trên \(\left[ { - \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) và \(\left[ {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right]\)

Ta có:

\( f\left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right) = \cos \left( { - \dfrac{\pi }{3}} \right) - 2\sin \left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right) + 2 = \dfrac{7}{2} \\ f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = - 1 \\ f\left( \pi \right) = 3\)

\( \Rightarrow f\left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right).f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( { - \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2}} \right) .\)

\( f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right).f\left( \pi \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right) .\)

Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất hai nghiệm thuộc \(\left( { - \dfrac{\pi }{6};\pi } \right) .\)

c) Ta có:

\( \eqalign{ & \sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^3} + 6x + 1 = 4 \cr & \Leftrightarrow {x^3} + 6x - 3 = 0 \cr}\)

Hàm số \(f(x)={x^3} + 6x - 3\) liên tục trên R nên liên tục trên đoạn [0; 1] (1)

Ta có \(f\left( 0 \right)f\left( 1 \right) = - 3.4 < 0 \) (2)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình \({x^3} + 6x - 3 = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)

Do đó, phương trình \(\sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0\) có ít nhất một nghiệm dương.

Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:

a) \( \left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\)

b) \(m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) = 2\sin 5x + 1\)

Phương pháp giải:

Chọn [a;b] sao cho f(a).f(b) < 0 với mọi giá trị m ⇒ Phương trình f(x) có nghiệm thuộc [a; b].

Hướng dẫn giải:

a) \( \left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3 = 0 \)

\( f\left( x \right) = \left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3\) là hàm đa thức liên tục trên R. Do đó nó liên tục trên [-2; -1]

Ta có \(f\left( { - 1} \right) = - 1 < 0\) và \(f\left( { - 2} \right) = {m^2} + 2 > 0\) nên \(f\left( { - 1} \right)f\left( { - 2} \right) < 0\) với mọi m.

Do đó, phương trình \(f\left( x \right) = 0\) luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; -1) với mọi m.

Vậy phương trình \(\left( {1 - {m^2}} \right){\left( {x + 1} \right)^3} + {x^2} - x - 3 = 0\) luôn có nghiệm với mọi m.

b) \(m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) = 2\sin 5x + 1\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) - 2\sin 5x - 1\) trên đoạn \(\left[ { - {\pi \over 4};{\pi \over 4}} \right] .\)

Hàm số \(f\left( x \right) = m\left( {2\cos x - \sqrt 2 } \right) - 2\sin 5x - 1\) là hàm số lượng giác có TXĐ D = R 

⇒ Liên tục trên \(\left[ { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4}} \right]\)

Ta có:

\( f\left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) = m\left( {2\cos \left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 2 } \right) - 2\sin \left( { - \dfrac{{5\pi }}{4}} \right) - 1 = - 1 - \sqrt 2 < 0 \\ f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = m\left( {2\cos \left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 2 } \right) - 2\sin \left( {\dfrac{{5\pi }}{4}} \right) - 1 = - 1 + \sqrt 2 > 0 \\ \Rightarrow f\left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right).f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) < 0\)

Vậy phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4}} \right)\) với mọi m .

Chứng minh phương trình \( {x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n} = 0\) luôn có nghiệm với n là số tự nhiên lẻ.

Phương pháp giải:

Hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên (a; b). Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;b} \right)\) sao cho\( f\left( c \right) = 0 .\)

Hướng dẫn giải:

Hàm số \(f\left( x \right) = {x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n}\) xác định trên R

Ta có

\( \eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n}} \right) \cr & {\rm{ = }}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^n}\left( {1 + {{{a_1}} \over x} + {{{a_2}} \over {{x^2}}} + ... + {{{a_{n - 1}}} \over {{x^{n - 1}}}} + {{{a_n}} \over {{x^n}}}} \right) = + \infty \cr}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) nên với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì mà \({x_n} \to + \infty \) ta luôn có \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = + \infty\)

Do đó, \(f\left( {{x_n}} \right)\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là 1 thì \(f\left( {{x_n}} \right) > 1\) kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nói cách khác, luôn tồn tại số a sao cho \(f\left( a \right) > 1 \) (1)

\( \eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n}} \right) \cr & {\rm{ = }}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^n}\left( {1 + {{{a_1}} \over x} + {{{a_2}} \over {{x^2}}} + ... + {{{a_{n - 1}}} \over {{x^{n - 1}}}} + {{{a_n}} \over {{x^n}}}} \right) = - \infty \cr} \)

(do n lẻ)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty\) nên với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì mà \({x_n} \to - \infty \) ta luôn có \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = - \infty \) hay \(\lim \left[ { - f\left( {{x_n}} \right)} \right] = + \infty\)

Do đó, \(- f\left( {{x_n}} \right)\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nếu số dương này là 1 thì \( - f\left( {{x_n}} \right) > 1\) kể từ số hạng nào đó trở đi.

Nói cách khác, luôn tồn tại b sao cho \( - f\left( b \right) > 1 \ hay \ f\left( b \right) < - 1 \) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(f\left( a \right)f\left( b \right) < 0\)

Mặt khác, f(x) hàm đa thức liên tục trên R nên liên tục trên [a; b]

Do đó, phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm.

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) > 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm hay không trong khoảng (a; b)? Cho ví dụ minh hoạ.

Phương pháp giải:

Lấy ví dụ một phương trình đơn giản và nhận xét.

Hướng dẫn giải:

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và \(f\left( a \right).f\left( b \right) > 0\) thì phương trình f(x) = 0 có thể có nghiệm hoặc vô nghiệm trong khoảng (a; b)

Ví dụ minh hoạ:

 + \(f\left( x \right) = {x^2} - 1\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right],f\left( { - 2} \right)f\left( 2 \right) = 9 > 0\)

Phương trình \({x^2} - 1 = 0\) có nghiệm \(x = \pm 1\) trong khoảng (-2; 2) 

+ \(f\left( x \right) = {x^2} + 1\) liên tục trên đoạn [-1; 1] và \(f\left( { - 1} \right)f\left( 1 \right) = 4 > 0 \). Còn phương trình \({x^2} + 1 = 0\) lại vô nghiệm trong khoảng (-1; 1).

Nếu hàm số y = f(x) không liên tục trên đoạn [a; b] nhưng \(f\left( a \right)f\left( b \right) < 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm hay không trong khoảng (a; b)? Hãy giải thích câu trả lời bằng minh hoạ hình học.

Phương pháp giải:

Vẽ các dáng đồ thị thỏa mãn bài toán và nhận xét.

Hướng dẫn giải:

Nếu hàm số y = f(x) không liên tục trên đoạn [a; b] nhưng \(f\left( a \right)f\left( b \right) < 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có thể có nghiệm hoặc vô nghiệm trong khoảng (a; b)

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K chứa a. Hàm số f(x) liên tục tại x = a nếu:

A. f(x) có giới hạn hữu hạn khi x → a

B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = + \infty\)

C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = a\)

D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\)

Phương pháp giải:

Hàm số y = f(x) liên tục tại \({x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Hàm số f(x) liên tục tại x = a nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = f\left( a \right) .\)

Chọn đáp án D.

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} + x}}\, \ nếu\,x \ne - 1\\3x + a\, \ nếu\,x = - 1\end{array} \right.\)

Với giá trị nào của tham số a thì hàm số f(x) liên tục tại x = -1?

A. a = 2     B. a = 4

C. a = 3     D. a = 6

Phương pháp giải:

- Tính f(-1)

- Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right)\)

- Giải phương trình \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right)=f(-1)\) để tìm a.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = 3.\left( { - 1} \right) + a = a - 3\)

\( \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{x + 2}}{x}\\ = \dfrac{{ - 1 + 2}}{{ - 1}}\\ = - 1\end{array}\)

Hàm số liên tục tại \(x = - 1 \)

\(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) \Leftrightarrow - 1 = a - 3 \Leftrightarrow a = 2 .\)

Chọn đáp án: A.

Phương trình x⁴ - 3x² + 1 = 0

A. Không có nghiệm trong (-1; 3)

B. Không có nghiệm trong (0; 1)

C. Có ít nhất hai nghiệm

D. Chỉ có một nghiệm duy nhất

Phương pháp giải:

Tính f(0), f(1), f(3) và nhận xét về dấu của chúng để kết luận.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm \(f\left( x \right) = {x^4} - 3{x^2} + 1\) trên \(\left( {0;1} \right),\left( {1;3} \right)\) ta có:

Hàm số liên tục trên R nên liên tục trên các khoảng đó.

\( f\left( 0 \right) = 1 > 0 \\ f\left( 1 \right) = - 1 < 0 \\ f\left( 3 \right) = 55 > 0\)

Do đó \(f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {0;1} \right)\)

⇒  A, B sai.

Lại có \(f\left( 1 \right).f\left( 3 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {1;3} \right)\)

⇒ Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất hai nghiệm.

Chọn đáp án: C