Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 4: Vi phân
Mời các em học sinh lớp 11 cùng tham khảo nội dung giải bài tập SBT bài Vi phân. Bài gồm có 11 bài tập được với nội dung chi tiết, rõ ràng giúp các em ôn tập lại các kiến thức đã học và vận dụng vào giải các bài tập tương tự. Hi vọng rằng đây sẽ là những tài liệu hữu ích trong học tập của các em học sinh.
Mục lục nội dung
1. Giải bài 5.82 trang 212 SBT Đại số & Giải tích 11
2. Giải bài 5.83 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11
3. Giải bài 5.84 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11
4. Giải bài 5.85 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11
5. Giải bài 5.86 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11
6. Giải bài 5.87 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11
7. Giải bài 5.88 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11
8. Giải bài 5.89 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11
9. Giải bài 5.90 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11
Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 4: Vi phân
1. Giải bài 5.82 trang 212 SBT Đại số & Giải tích 11
Cho hàm số f(x)=x3−2x+1.
Hãy tính Δf(1),df(1) và so sánh chúng, nếu
a) Δx=1
b) Δx=0,1
c) Δx=0,01
Phương pháp giải:
Tính Δf(x) rồi thay các Δx vào kiểm tra.
Hướng dẫn giải:
Gọi Δx là số gia của đối số tại x = 1 ta có:
Δf(1)=f(1+Δx)−f(1)=(1+Δx)3−2(1+Δx)+1−0=1+3Δx+3(Δx)2+(Δx)3−2−2Δx+1=Δx+3(Δx)2+(Δx)3f′(x)=3x2−2⇒f′(1)=3.12−2=1⇒df(1)=f′(1)Δx=Δx
Vậy
Δf(1)=Δx+3(Δx)2+(Δx)3df(1)=Δx
Với
Δx=1⇒Δf(1)=1+3+1=5df(1)=1⇒Δf(1)>df(1)
b) Với
Δx=0,1⇒Δf(1)=0,1+3.0,12+0,13=0,131df(1)=0,1⇒Δf(1)>df(1)
c) Với
Δx=0,01⇒Δf(1)=0,01+3.0,012+0,013=0,010301df(1)=0,01⇒Δf(1)>df(1)
2. Giải bài 5.83 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11
Tìm vi phân của hàm số sau: y=1x2.
Phương pháp giải:
- Tính y' bằng cách sử dụng công thứ đạo hàm (xn)′=nxn−1.
- Sử dụng công thức dy=y′dx.
Hướng dẫn giải:
y′=−(x2)′x4=−2xx4=−2x3⇒dy=y′dx=−2x3dx
3. Giải bài 5.84 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11
Tìm vi phân của hàm số sau: y=x+2x−1.
Phương pháp giải:
- Tính y' bằng cách sử dụng công thức đạo hàm của thương (uv)=u′.v−u.v′v2
- Sử dụng công thức dy = y'dx.
Hướng dẫn giải:
y′=(x+2)′(x−1)−(x+2)(x−1)′(x−1)2=x−1−x−2(x−1)2=−3(x−1)2⇒dy=y′dx=−3(x−1)2dx
4. Giải bài 5.85 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11
Tìm vi phân của hàm số sau: y=sin2x.
Phương pháp giải:
- Tính y' bằng cách sử dụng công thức đạo hàm (sinx)' = cosx.
- Sử dụng công thức dy = y'dx.
Hướng dẫn giải:
y′=2sinx(sinx)′=2sinxcosx=sin2x⇒dy=y′dx=sin2xdx
5. Giải bài 5.86 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11
Tìm vi phân của hàm số sau: y=tan√x√x.
Phương pháp giải:
- Tính y' bằng cách sử dụng công thức đạo hàm (uv)=u′.v−u.v′v2 và (tanu)′=u′cos2u
- Sử dụng công thức dy = y'dx.
Hướng dẫn giải:
y′=(tan√x)′.√x−tan√x.(√x)′(√x)2=(√x)′.1cos2√x.√x−tan√x.12√xx=12√x.√xcos2√x−tan√x2√xx=12cos2√x−tan√x2√xx=√x−tan√x.cos2√x2√xcos2√xx=√x−sin√xcos√x.cos2√x2x√xcos2√x=√x−sin√xcos√x2x√xcos2√x=2√x−2sin√xcos√x4x√xcos2√x=2√x−sin(2√x)4x√xcos2√x⇒dy=y′dx=2√x−sin(2√x)4x√xcos2√xdx
6. Giải bài 5.87 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11
Tìm d(tanx)d(cotx).
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức dy = y'dx, (tanx)′=1cos2x, (cotx)′=1cos2x
Hướng dẫn giải:
d(tanx)d(cotx)=(tanx)′dx(cotx)′dx=1cos2x−1sin2x=−sin2xcos2x=−tan2x(x≠kπ2,k∈Z).
7. Giải bài 5.88 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11
Chứng minh rằng vi phân dy và số gia \Delta y của hàm số y = ax + b trùng nhau.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức dy = y'dx và Δf(x)=f(x+Δx)−f(x).
Hướng dẫn giải:
y=ax+b⇒y′=a và dy=adx=aΔx;
Δy=a(x+Δx)+b−[ax+b]=aΔx.
Vậy dy=Δy.
8. Giải bài 5.89 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11
Chứng minh rằng với |x| rất bé so với a>0(|x|≤a) ta có
√a2+x≈a+x2a(a>0).
Áp dụng công thức trên, hãy tính gần đúng các số sau:
a) √146
b) √34
c) √120.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức Δy=y(x)−y(0).
Hướng dẫn giải:
Đặt y(x)=√a2+x, ta có:
y′(x)=(a2+x)′2√a2+x=12√a2+x
Từ đó
Δy=y(x)−y(0)≈y′(0)x⇒√a2+x−√a2+0≈12√a2+0x⇒√a2+x−a≈x2a⇒√a2+x≈a+x2a
Áp dụng :
√146=√122+2≈12+22.12≈12,0833
b) √34=√62−2≈6−22.6≈5,8333
c) √120=√112−1≈11−12.11≈10,9545
9. Giải bài 5.90 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11
Cho y=1x3. Hãy viết dy.
Phương pháp giải:
- Tính y' bằng cách sử dụng công thức đạo hàm (xn)′=nxn−1.
- Sử dụng công thức dy = y'dx.
Hướng dẫn giải:
y′=−(x3)′x6=−3x2x6=−3x4⇒dy=y′dx=−3x4dx
Chọn đáp án: B
10. Giải bài 5.91 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11
Cho hàm số f(x)=sin2√x. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. f(x) liên tục x = 0
B. f(x) có đạo hàm tại x = 0
C. f(x) không có vi phân tại x = 0
D. f(x) có đạo hàm tại x = 1
Phương pháp giải:
Tính f'(x) bằng cách sử dụng công thức (sin u )' = u'. cos u.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
f′(x)=2sin√x.(sin√x)′=2sin√x.(√x)′.cos√x=2sin√x.12√x.cos√x=sin√x.cos√x√x
Nên f(x) không có đạo hàm tại x = 0
Chọn đáp án: B
11. Giải bài 5.92 trang 213 SBT Đại số & Giải tích 11
Tìm d(sin3x)
A. 2cos3xdx B. 5sin3xdx
C. 3cos3xdx D. cos3xdx
Phương pháp giải:
- Tính y' bằng cách sử dụng công thức đạo hàm (sin u)' = u'.cosu.
- Sử dụng công thức dy = y'dx.
Hướng dẫn giải:
d(sin3x)=(sin3x)′dx=3cos3xdx
Chọn đáp án: C.
Tham khảo thêm
- doc Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
- doc Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm
- doc Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của các hàm số lượng giác