Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 4: Vi phân

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 2x + 1.\)

Hãy tính \(\Delta f\left( 1 \right),df\left( 1 \right)\) và so sánh chúng, nếu

a) \(\Delta x = 1\)

b) \( \Delta x = 0,1\)

c) \( \Delta x = 0,01\)

Phương pháp giải:

Tính \(\Delta f(x)\) rồi thay các \(\Delta x\) vào kiểm tra.

Hướng dẫn giải:

Gọi \(\Delta x\) là số gia của đối số tại x = 1 ta có:

\( \begin{array}{l}\Delta f\left( 1 \right) = f\left( {1 + \Delta x} \right) - f\left( 1 \right)\\ = {\left( {1 + \Delta x} \right)^3} - 2\left( {1 + \Delta x} \right) + 1 - 0\\ = 1 + 3\Delta x + 3{\left( {\Delta x} \right)^2} + {\left( {\Delta x} \right)^3}\\ - 2 - 2\Delta x + 1\\ = \Delta x + 3{\left( {\Delta x} \right)^2} + {\left( {\Delta x} \right)^3}\\f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2\\ \Rightarrow f'\left( 1 \right) = {3.1^2} - 2 = 1\\ \Rightarrow df\left( 1 \right) = f'\left( 1 \right)\Delta x = \Delta x\end{array}\)

Vậy 

\(\begin{array}{l}\Delta f\left( 1 \right) = \Delta x + 3{\left( {\Delta x} \right)^2} + {\left( {\Delta x} \right)^3}\\df\left( 1 \right) = \Delta x\end{array}\)

Với

\( \begin{array}{l}\Delta x = 1\\ \Rightarrow \Delta f\left( 1 \right) = 1 + 3 + 1 = 5\\df\left( 1 \right) = 1\\ \Rightarrow \Delta f\left( 1 \right) > df\left( 1 \right)\end{array}\)

b) Với

\( \begin{array}{l}\Delta x = 0,1\\ \Rightarrow \Delta f\left( 1 \right) = 0,1 + 3.0,{1^2} + 0,{1^3}\\ = 0,131\\df\left( 1 \right) = 0,1\\ \Rightarrow \Delta f\left( 1 \right) > df\left( 1 \right)\end{array}\)

c) Với

\( \begin{array}{l}\Delta x = 0,01\\ \Rightarrow \Delta f\left( 1 \right) = 0,01 + 3.0,{01^2} + 0,{01^3}\\ = 0,010301\\df\left( 1 \right) = 0,01\\ \Rightarrow \Delta f\left( 1 \right) > df\left( 1 \right)\end{array}\)

Tìm vi phân của hàm số sau: \(y = {1 \over {{x^2}}}.\)

Phương pháp giải:

- Tính y' bằng cách sử dụng công thứ đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\).

- Sử dụng công thức \(dy = y'dx.\)

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l} y' = \dfrac{{ - \left( {{x^2}} \right)'}}{{{x^4}}} = \dfrac{{ - 2x}}{{{x^4}}} = - \dfrac{2}{{{x^3}}}\\ \Rightarrow dy = y'dx = - \dfrac{2}{{{x^3}}}dx \end{array}\)

Tìm vi phân của hàm số sau: \(y = {{x + 2} \over {x - 1}}.\)

Phương pháp giải:

- Tính y' bằng cách sử dụng công thức đạo hàm của thương \(\left( {\frac{u}{v}} \right) = \frac{{u'.v - u.v'}}{{{v^2}}}\)

- Sử dụng công thức dy = y'dx.

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l} y' = \dfrac{{\left( {x + 2} \right)'\left( {x - 1} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)'}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{x - 1 - x - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow dy = y'dx = - \dfrac{3}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}dx \end{array}\)

Tìm vi phân của hàm số sau: \(y = {\sin ^2}x.\)

Phương pháp giải:

- Tính y' bằng cách sử dụng công thức đạo hàm (sinx)' = cosx.

- Sử dụng công thức dy = y'dx.

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l} y' = 2\sin x\left( {\sin x} \right)'\\ = 2\sin x\cos x\\ = \sin 2x\\ \Rightarrow dy = y'dx = \sin 2xdx \end{array}\)

Tìm vi phân của hàm số sau: \(y = {{\tan \sqrt x } \over {\sqrt x }}.\)

Phương pháp giải:

- Tính y' bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {\frac{u}{v}} \right) = \frac{{u'.v - u.v'}}{{{v^2}}}\) và \(\left( {\tan u} \right)'{\rm{ }} = \;\frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}\)

- Sử dụng công thức dy = y'dx.

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l} y' = \dfrac{{\left( {\tan \sqrt x } \right)'.\sqrt x - \tan \sqrt x.\left( {\sqrt x } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x } \right)'.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\sqrt x }}.\sqrt x - \tan \sqrt x.\dfrac{1}{{2\sqrt x }}}}{x}\\ = \dfrac{{\dfrac{1}{{2\sqrt x }}.\dfrac{{\sqrt x }}{{{{\cos }^2}\sqrt x }} - \dfrac{{\tan \sqrt x }}{{2\sqrt x }}}}{x}\\ = \dfrac{{\dfrac{1}{{2{{\cos }^2}\sqrt x }} - \dfrac{{\tan \sqrt x }}{{2\sqrt x }}}}{x}\\ = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt x - \tan \sqrt x.{{\cos }^2}\sqrt x }}{{2\sqrt x {{\cos }^2}\sqrt x }}}}{x}\\ = \dfrac{{\sqrt x - \dfrac{{\sin \sqrt x }}{{\cos \sqrt x }}.{{\cos }^2}\sqrt x }}{{2x\sqrt x {{\cos }^2}\sqrt x }}\\ = \dfrac{{\sqrt x - \sin \sqrt x \cos \sqrt x }}{{2x\sqrt x {{\cos }^2}\sqrt x }}\\ = \dfrac{{2\sqrt x - 2\sin \sqrt x \cos \sqrt x }}{{4x\sqrt x {{\cos }^2}\sqrt x }}\\ = \dfrac{{2\sqrt x - \sin \left( {2\sqrt x } \right)}}{{4x\sqrt x {{\cos }^2}\sqrt x }}\\ \Rightarrow dy = y'dx\\ = \dfrac{{2\sqrt x - \sin \left( {2\sqrt x } \right)}}{{4x\sqrt x {{\cos }^2}\sqrt x }}dx \end{array}\)

Tìm \({{d\left( {\tan x} \right)} \over {d\left( {\cot x} \right)}}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức dy = y'dx, \(\left( {\tan x} \right)'{\rm{ }} = \;\frac{{1}}{{{{\cos }^2}x}}\), \(\left( {\cot x} \right)'{\rm{ }} = \;\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l} \dfrac{{d\left( {\tan x} \right)}}{{d\left( {\cot x} \right)}} = \dfrac{{\left( {\tan x} \right)'dx}}{{\left( {\cot x} \right)'dx}}\\ = \dfrac{{\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}{{ - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}}} = - \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\\ = - {\tan ^2}x \end{array} \left( {x \ne k{\pi \over 2},k \in Z} \right).\)

Chứng minh rằng vi phân dy và số gia \Delta y của hàm số y = ax + b trùng nhau.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức dy = y'dx và \(\Delta f\left( x \right) = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right).\)

Hướng dẫn giải:

\( y = ax + b \Rightarrow y' = a \) và \(dy = adx = a\Delta x ;\)

\( \Delta y = a\left( {x + \Delta x} \right) + b - \left[ {ax + b} \right] = a\Delta x.\)

Vậy \(dy = \Delta y.\)

Chứng minh rằng với \(\left| x \right|\) rất bé so với \(a > 0\left( {\left| x \right| \le a} \right)\) ta có

\( \sqrt {{a^2} + x} \approx a + {x \over {2a}}{\rm{ }}\left( {a > 0} \right).\)

Áp dụng công thức trên, hãy tính gần đúng các số sau:

a) \(\sqrt {146}\)

b) \( \sqrt {34}\)

c) \( \sqrt {120}.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\Delta y = y\left( x \right) - y\left( 0 \right).\)

Hướng dẫn giải:

Đặt \(y\left( x \right) = \sqrt {{a^2} + x}\), ta có:

\( y'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {{a^2} + x} \right)'}}{{2\sqrt {{a^2} + x} }} = \dfrac{1}{{2\sqrt {{a^2} + x} }}\)

Từ đó

\( \begin{array}{l} \Delta y = y\left( x \right) - y\left( 0 \right) \approx y'\left( 0 \right)x\\ \Rightarrow \sqrt {{a^2} + x} - \sqrt {{a^2} + 0} \approx \dfrac{1}{{2\sqrt {{a^2} + 0} }}x\\ \Rightarrow \sqrt {{a^2} + x} - a \approx \dfrac{x}{{2a}}\\ \Rightarrow \sqrt {{a^2} + x} \approx a + \dfrac{x}{{2a}} \end{array}\)

Áp dụng :

\( \begin{array}{l} \sqrt {146} = \sqrt {{{12}^2} + 2} \\ \approx 12 + \dfrac{2}{{2.12}} \approx 12,0833 \end{array}\)

b) \( \begin{array}{l} \sqrt {34} = \sqrt {{6^2} - 2} \approx 6 - \dfrac{2}{{2.6}} \approx 5,8333 \end{array}\)

c) \( \begin{array}{l} \sqrt {120} = \sqrt {{{11}^2} - 1} \approx 11 - \dfrac{1}{{2.11}} \approx 10,9545 \end{array}\)

Cho \(y = \dfrac{1}{{{x^3}}}\). Hãy viết dy.

Phương pháp giải:

- Tính y' bằng cách sử dụng công thức đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\).

- Sử dụng công thức dy = y'dx.

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}y' = \dfrac{{ - \left( {{x^3}} \right)'}}{{{x^6}}} = \dfrac{{ - 3{x^2}}}{{{x^6}}} = \dfrac{{ - 3}}{{{x^4}}}\\ \Rightarrow dy = y'dx = - \dfrac{3}{{{x^4}}}dx\end{array}\)

Chọn đáp án: B

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^2}\sqrt x\). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. f(x) liên tục x = 0

B. f(x) có đạo hàm tại x = 0

C. f(x) không có vi phân tại x = 0

D. f(x) có đạo hàm tại x = 1

Phương pháp giải:

Tính f'(x) bằng cách sử dụng công thức (sin u )' = u'. cos u.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l} f'(x) = 2\sin \sqrt x .(\sin \sqrt x )'\\ = 2\sin \sqrt x .\left( {\sqrt x } \right)'.\cos \sqrt x \\ = 2\sin \sqrt x .\frac{1}{{2\sqrt x }}.\cos \sqrt x \\ = \frac{{\sin \sqrt x .\cos \sqrt x }}{{\sqrt x }} \end{array}\)

Nên f(x) không có đạo hàm tại x = 0

Chọn đáp án: B

Tìm d(sin3x)

A. 2cos3xdx     B. 5sin3xdx

C. 3cos3xdx     D. cos3xdx

Phương pháp giải:

- Tính y' bằng cách sử dụng công thức đạo hàm (sin u)' = u'.cosu.

- Sử dụng công thức dy = y'dx.

Hướng dẫn giải:

\( \begin{array}{l}d\left( {\sin 3x} \right) = \left( {\sin 3x} \right)'dx\\ = 3\cos 3xdx\end{array}\)

Chọn đáp án: C.