Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 3: Phép đối xứng trục

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M = (3;-5), đường thẳng d có phương trình \(3x+2y-6=0 \) và đường tròn (C) có phương trình: \(x^2+y^2-2x+4y-4=0\). Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua trục Ox.

Phương pháp giải:

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng:

- Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M(x;y) và \(M’=Đ_d(M)=(x’;y’)\).

- Nếu chọn d là trục Ox thì \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x\\y' = - y\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Gọi M’, d’ và (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua trục Ox.

Khi đó M’ = (3;5).

Để tìm d’ ta viết biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox:

\(\left\{ \begin{array}{l}x' = x\\y' =- y\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x'\\y =- y'\end{array} \right. (1).\)

Thay (1) vào phương trình của đường thẳng d ta được \(3x’-2y’-6=0\).

⇒ d’: \(3x-2y-6=0\).

Thay (1) vào phương trình của (C) ta được \({(x’)}^2+{(y’)}^2-2x’-4y’-4=0\).

⇒ (C’): \({(x-1)}^2+{(y-2)}^2=9\).

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình \(x-5y+7=0\) và đường thẳng d’ có phương trình \(5x-y-13=0\). Tìm phép đối xứng trục biến d thành d’.

Phương pháp giải:

Trục đối xứng của hai đường thẳng cắt nhau chính là đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng đó.

Hướng dẫn giải:

Ta thấy d và d’ không song song với nhau.

Do đó trục đối xứng \(\Delta\) của phép đối xứng biến d thành d’ chính là đường phân giác của góc tạo bởi d và d’.

Từ đó suy ra khoảng cách từ một điểm có tọa độ (x;y) thuộc ​\(\Delta\)​ đến d và d’ là bằng nhau

Nên ta có: 

\(\dfrac{{\left| {x - 5y + 7} \right|}}{{\sqrt {1 + 25} }} = \dfrac{{\left| {5x - y - 13} \right|}}{{\sqrt {25 + 1} }} \\ \Leftrightarrow x - 5y + 7 = \pm (5x - y - 13).\)

Từ đó tìm được hai phép đối xứng qua các trục: \(\Delta_1\) có phương trình \(x+y-5=0 , \Delta_2\) có phương trình \(x-y-1=0\).

Cho hai đường thẳng c, d cắt nhau và hai điểm A, B không thuộc hai đường thẳng đó. Hãy dựng điểm C trên c, điểm D trên d sao cho tứ giác ABCD là hình thang cân nhận AB là một cạnh đáy (không cần biện luận).

Phương pháp giải:

B, C theo thứ tự là ảnh của A, D qua phép đối xứng qua đường trung trực của cạnh AB.

Hướng dẫn giải:

Ta thấy rằng B, C theo thứ tự là ảnh của A, D qua phép đối xứng qua đường trung trực của cạnh AB, từ đó suy ra cách dựng:

- Dựng đường trung trực \(\Delta\) của đoạn AB

- Dựng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng qua trục \(\Delta\).

Gọi \(C=d’\cap c.\)

- Dựng D là ảnh của C qua phép đối xứng qua trục \(\Delta\).

Cho đường thẳng d và hai điểm A, B không thuộc d nhưng nằm cùng phía đối với d. Tìm trên d điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến A và B là bé nhất.

Phương pháp giải:

- Dựng một điểm B’ ta tìm cách xác định nó như là ảnh của một điểm đã biết qua một phép đối xứng trục.

- Sử dụng tính chất  AB + BC bé nhất khi A ,B , C thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Gọi B’ là ảnh của B qua phép đối xứng qua trục d.

Khi đó với mỗi điểm M thuộc d ta có MA + MB = MA + MB’ nên MA + MB’ bé nhất ⇒ A, M, B’ thẳng hàng.

Tức là \(M=(AB’)\cap d.\)