Giải bài tập SBT Toán 11 Bài 1+Bài 2: Phép biến hình. Phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho \(\vec v=(2;-1) \), điểm M = (3;2). Tìm tọa độ của các điểm A sao cho:

a) \(A=T_{\vec v}(M)\);

b) \(M=T_{\vec v}(A) . \)

Phương pháp giải:

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:

- Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(x;y) và vectơ \(\vec v(a;b) \). Gọi điểm \(M’=(x’;y’)=T_{\vec v}(M) \).

- Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

a) Giả sử A = (x;y) .

Theo đề cho \(A=T_{\vec v}(M)\) khi đó

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2\\y = 2 - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 1\end{array} \right.\)

Vậy A = (5;1).

b) Giả sử A = (x;y) .

Theo đề cho \(M=T_{\vec v}(A)\) khi đó

 \(\left\{ \begin{array}{l}3 = x + 2\\2 = y - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\end{array} \right.\)

Vậy A = (1;3).

Trong mặt phẳng Oxy cho \(\vec v=(-2;1) \), đường thẳng d có phương trình \(2x-3y+3=0 \), đường thẳng \(d_1\) có phương trình \(2x-3y-5=0 \).

a) Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua \(T_{\vec v} \).

b) Tìm tọa độ của \(\vec w\) có giá vuông góc với đường thẳng d để \(d_1\) là ảnh của d qua \(T_{\vec w} \).

Phương pháp giải:

a) Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

+ Gọi phương trình d' .

+ Lấy một điểm \(A \in d \), tìm ảnh A' của A qua \({T_{\overrightarrow v }} \).

+ Cho \(A' \in d'\) và suy ra phương trình của d'.

b) - Ta có \(d_1=T_{\vec w}(d) \) nên \(\vec w \) có điểm đầu thuộc d điểm cuối thuộc \(d_1 \).

- Viết phương trình đường thẳng \(d_2\) đi qua 2 điểm đầu, cuối đó.

- Tìm giao của \(d_2\) với d và \(d_1 \).

Hướng dẫn giải:

a) Lấy một điểm thuộc d, chẳng hạn M = (0;1).

Khi đó \(M’=T_{\vec v}(M) =(0-2;1+1)=(-2;2) \in d’ .\)

Vì d’ song song với d nên phương trình của nó có dạng \(2x-3y+C=0 .\)

Do \(M’\in d’\) nên \(2.(-2)-3.2+C=0\) từ đó suy ra C = 10.

Do đó d’ có phương trình \(2x-3y+10=0 .\)

b)

Lấy một điểm thuộc d, chẳng hạn M = (0;1).

Gọi đường thẳng \(d_2\) qua M vuông góc với d khi đó \(d_2\) có vectơ chỉ phương là \(\vec v=(2;-3) \).

Do đó phương trình của \(d_2\) là \(\dfrac{x-0}{2}=\dfrac{y-1}{-3}\) hay \(3x+2y-2=0 \).

Gọi M’ là giao của \(d_1\) với \(d_2\) thì tọa độ của nó phải thỏa mãn hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y - 5 = 0\\3x + 2y - 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{16}}{{13}}\\y = - \dfrac{{11}}{{13}}\end{array} \right.\)

Từ đó suy ra \(\overrightarrow {\rm{w}} = \overrightarrow {MM'} = \left( {\dfrac{{16}}{{13}}; - \dfrac{{24}}{{13}}} \right) \).

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình \(3x-y-9=0 \). Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d’ đi qua gốc tọa độ và viết phương trình đường thẳng d’.

Phương pháp giải:

- Tìm điểm đầu, điểm cuối của vectơ tịnh tiến lần lượt thuộc đường thẳng d và d’.

- d' song song với d và đi qua gốc tọa độ.

Hướng dẫn giải:

Phép tịnh tiến theo vectơ có phương song song với trục Ox, do đó Ox chứa vectơ tịnh tiến.

Giao của d với trục Ox là điểm A(3;0).

Phép tịnh tiến phải tìm có vectơ tịnh tiến \(\vec v=\vec {AO}=(-3;0) \).

Đường thẳng d’ song song với d và đi qua gốc tọa độ nên nó có phương trình \(3x-y=0 \).

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình \(x^2+y^2-2x+4y-4=0 \). Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec v=(-2;5) \).

Phương pháp giải:

- Tìm tâm của đường tròn mới bằng cách sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:

+ Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(x;y) và vectơ \(\vec v(a;b) \). Gọi điểm \(M’=(x’;y’)=T_{\vec v}(M) \).

+ Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right. \).

- Bán kính của đường tròn sau khi tịnh tiến vẫn giữ nguyên.

Hướng dẫn giải:

Ta có (C) là đường tròn tâm I(1;-2), bán kính r = 3.

Gọi \(I’=T_{\vec v}(I) =(1-2;-2+5)=(-1;3) \)

(C’) là ảnh của (C) qua \(T_{\vec v}\) thì (C’) là đường tròn tâm (I’) bán kính r = 3.

Do đó (C’) có phương trình \({(x+1)}^2+{(y-3)}^2=9 .\)

Cho đoạn thẳng AB và đường tròn (C) tâm O, bán kính r nằm về một phía của đường thẳng AB. Lấy điểm M trên (C), rồi dựng hình bình hành ABMM’. Tìm tập hợp các điểm M’ khi M di động trên (C).

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa: \(T_{\vec v}(M) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {MM'} = \vec v \).

Hướng dẫn giải:

Do tứ giác ABMM’ là hình bình hành nên \(\vec{BA}=\vec{MM’}\).

Từ đó suy ra M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec{BA}\).

Từ đó suy ra tập hợp các điểm M’ là đường tròn (C’), ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec {BA} \).