Giải bài tập SGK Toán 12 Bài 4: Đường tiệm cận

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

a) $y=\frac{x}{2-x}$

b) $y=\frac{-x+7}{x+1}$

c) $y=\frac{2x-5}{5x-2}$

d) $y=\frac{7}{x}-1$

Phương pháp giải

- Để giải bài 1, các em cùng ôn lại lý thuyết về sự tồn tại tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

• Đường thẳng $y=b$ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau

$\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x) = b$; $\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = b$

• Đường thẳng $x=a$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau

$\lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = \pm \infty$; $\lim_{x\rightarrow a^-} f(x) = \pm \infty$

- Với hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {c \ne 0;ad - bc \ne 0} \right)$ ta có thể suy ra ngay tiệm cận ngang là đường thẳng $y = \frac{a}{c}$, tiệm cận đứng là đường thẳng $x =  - \frac{d}{c}$

Hướng dẫn giải

Câu a: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{x}{2-x}$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{x}{{2 - x}} =  + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{x}{{2 - x}} =  - \infty$

Nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{x}{{2 - x}} =  - 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{x}{{2 - x}} =  - 1$

Nên đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu b: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{-x+7}{x+1}$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = + \infty ;$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = - \infty$

Nên x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = - 1;$$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x + 7}}{{x + 1}} = - 1$ 

Nên đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu c: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{2x-5}{5x-2}$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^ + }} \frac{{2x - 5}}{{5x - 2}} = - \infty ;$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^ - }} \frac{{2x - 5}}{{5x - 2}} = + \infty$ 

Nên đường thẳng $x=\frac{2}{5}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 5}}{{5x - 2}} = \frac{2}{5};$$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 5}}{{5x - 2}} = \frac{2}{5}$

Nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y=\frac{2}{5}$ làm tiệm cận ngang.

Câu d: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{7}{x} - 1} \right) = - 1;$$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{7}{x} - 1} \right) = - 1$ 

Nên đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\frac{7}{x} - 1} \right) = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\frac{7}{x} - 1} \right) = - \infty$ 

Nên đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

a) $y=\frac{2-x}{9-x^2}$

b) $y=\frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2}$

c) $y=\frac{x^2-3x+2}{x+1}$

d) $y=\frac{\sqrt {x}+1}{\sqrt {x}-1}$

Phương pháp giải

• Đường thẳng $y=b$ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau

$\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x) = b$; $\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = b$

• Đường thẳng $x=a$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau

$\lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = \pm \infty$; $\lim_{x\rightarrow a^-} f(x) = \pm \infty$

• Với hàm số $y=f(x) = \frac{{h(x)}}{{g(x)}}$  để tìm tiệm cận đứng ta tiến hành giải phương trình g(x) = 0. Giả sử nếu x0 là nghiệm của phương trình g(x) = 0, nếu h(x0) khác 0, thì đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x). 

Phương pháp giải

Câu a: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2-x}{9-x^2}$

$\lim_{x\rightarrow (-3)^-}\frac{2-x}{9-x^2}=+\infty$; $\lim_{x\rightarrow (-3)^+}\frac{2-x}{9-x^2}=+\infty$ 

Nên đường thẳng x = -3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\lim_{x\rightarrow 3^-}\frac{2-x}{9-x^2}=-\infty$; $\lim_{x\rightarrow 3^+}\frac{2-x}{9-x^2}=-\infty$

Nên đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2-x}{9-x^2}=0$; $\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{2-x}{9-x^2}=0$

Nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu b: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2}$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = + \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = + \infty$

Nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng: $x=-1;x=\frac{3}{5}$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \frac{1}{5}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 - 2x - 5{x^2}}} = - \frac{1}{5}$

Nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=-\frac{1}{5}$.

Câu c: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-3x+2}{x+1}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} = - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ +}} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} = + \infty$ 

Nên đường thẳng x = -1 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\frac{x^{2}-3x+2}{x+1}=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\frac{x^2(1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^{2}})}{x(1+\frac{1}{x})}=-\infty$ và $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\frac{x^{2}-3x+2}{x+1}=+\infty$ 

Nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Câu d: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt {x}+1}{\sqrt {x}-1}$

Hàm số xác định khi: $\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ \sqrt{x}-1\neq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ x\neq 1 \end{matrix}\right.$

Vì $\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=-\infty$

(hoặc $\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=+\infty$ ) nên đường thẳng x = 1 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Vì $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x}(1+\frac{1}{\sqrt{x}})}{\sqrt{x}(1-\frac{1}{\sqrt{x}})}=1$ 

nên đường thẳng y = 1 là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số