Giải bài tập SGK Toán 12 Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

Hướng dẫn Giải bài tập Cộng, trừ và nhân số phức sẽ giúp các em học sinh nắm vững phương pháp giải bài tập và ôn luyện tốt kiến thức đã học.

Giải bài tập SGK Toán 12 Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

1. Giải bài 1 trang 135 SGK Giải tích 12

Thực hiện các phép tính sau

a) (3 - 5i) + (2 + 4i)

b) (-2 - 3i) + (-1 - 7i)

c) (4 + 3i) - (5 - 7i)

d) (2 - 3i) - ( 5 - 41)

Phương pháp giải

Công thức cộng, trừ hai số phức

Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:

\(z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i\)

\(z_1-z_2=(a + bi) - ( c + di) = (a - c) + (b - d)i\)

Hướng dẫn giải

Câu a

 (3 - 5i) + (2 + 4i) = (3 + 2) + (-5i + 4i) = (3 + 2) + (-5 + 4)i = 5 - i.

Câu b

 (-2 - 3i) + (-1 - 7i) = (-2 - 1) + (-3i - 7i) = (-2 - 1) + (-3 - 7)i = -3 - 10i.

Câu c

 (4 + 3i) - (5 - 7i) = (4 - 5) + (3i + 7i) = (4 - 5) + (3 + 7)i =-1 + 10i.

Câu d

(2 - 3i) - ( 5 - 4i) = (2 - 5) + (-3i + 4i) = (2 - 5) + (-3 + 4)i =-3 + i.

2. Giải bài 2 trang 136 SGK Giải tích 12

Tính \(\small \alpha + \beta, \alpha - \beta\), biết

a) \(\small \alpha = 3, \beta = 2 i\)

b) \(\small \alpha = 1- 2i, \beta = 6i\)

c) \(\small \alpha = 5i, \beta = -7i\)

d) \(\small \alpha = 15, \beta = 4 - 2i\)

Phương pháp giải

Công thức cộng, trừ hai số phức

Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:

\(z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i\)

\(z_1-z_2=(a + bi) - ( c + di) = (a - c) + (b - d)i\)

Hướng dẫn giải

Câu a

 α + β = 3 + 2i;             α - β = 3 - 2i.                                     

Câu b

 α + β = 1 + 4i;             α - β = 1 - 8i.

Câu c

 α + β = -2i;                 α - β = 12i.    

Câu d

 α + β = 19 - 2i;             α - β = 11 + 2i.

3. Giải bài 3 trang 136 SGK Giải tích 12

Thực hiện các phép tính sau

a) (3 - 2i)(2 - 3i)

b) (-1 + i)(3 + 7i)

c) 5(4 + 3i)

d) (-2 - 5i).4i

Phương pháp giải

Công thức nhân hai số phức

Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:

\(z_1.z_2=(a + bi)( c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i\)

Hướng dẫn giải

Câu a

(3 - 2i)(2 - 3i) = 6 + 6i2 -9i - 4i = (6 - 6) + (-9 -4)i = -13i.

Câu b

(-1 + i)(3 + 7i) = -3 + 7i2 -7i + 3i =(-3 - 7) + (-7 + 3)i = -10 -4i.

Câu c

5(4 + 3i) = 20 + 15i.

Câu d

(-2 - 5i).4i = -8i - 20i2 = -8i -20(-1) = 20 - 8i.

4. Giải bài 4 trang 136 SGK Giải tích 12

Tính \({i^3},{i^4},{i^5}\)

Nêu cách tính \(i^n\) với \(n\) là một số tự nhiên tuỳ ý

Phương pháp giải

Phân tích \({i^3} = {i^2}.i;\,\,\,{i^4} = {i^3}.i;\,\,{i^5} = {i^4}.i\), sử dụng quy ước \({i^2} =  - 1\).

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}{i^3} = {i^2}.i = - 1.i = - i\\{i^4} = {i^3}.i = - i.i = - {i^2} = 1\\{i^5} = {i^4}.i = 1.i = i\end{array}\).

Ta có

Với \(n = 4k\) thì \({i^n} = {i^{4k}} = {\left( {{i^4}} \right)^k} = {1^k} = 1\)

Với \(n = 4k + 1\) thì \({i^n} = {i^{4k + 1}} = {i^{4k}}.i = 1.i = i\)

Với \(n = 4k + 2\) thì \({i^{4k + 2}} = {i^{4k}}.{i^2} = 1.\left( { - 1} \right) =  - 1\)

Với \(n = 4k + 3\) thì \({i^{4k + 3}} = {i^{4k}}.{i^3} = 1.\left( { - i} \right) =  - i\)

Vậy \({i^{4k}} = 1,\) \({i^{4k + 1}} = i,\)\({i^{4k + 2}} =  - 1,\)\({i^{4k + 3}} =  - i\).

5. Giải bài 5 trang 136 SGK Giải tích 12

Tính

a) \((2 + 3i)^2\)

b) \((2 + 3i)^3\)

Phương pháp giải

Sử dụng các hằng đẳng thức

\(\begin{array}{l}
{\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\\
{\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}
\end{array}\)

Hướng dẫn giải

Câu a

\(\begin{array}{l}
\,\,{\left( {2 + 3i} \right)^2}\\
\,\,\, = {2^2} + 2.2.3i + {\left( {3i} \right)^2}\\\,\,\, = 4 + 12i + 9i^2\\\,\,\, = 4 + 12i - 9\\\,\,\, = - 5 + 12i\end{array}\)

Câu b

\(\begin{array}{l}\,\,{\left( {2 + 3i} \right)^3}\\
\,\,\, = {2^3} + {3.2^2}.3i + 3.2.{\left( {3i} \right)^2} + {\left( {3i} \right)^3}\\ \,\,\, =8+36i+54i^2+27i^3 \\ \,\,\, =8+36i+54.(-1)+27.(-i)\\
\,\,\, = 8 + 36i - 54 - 27i\\
\,\,\, = - 46 + 9i
\end{array}\)

Ngày:23/07/2020 Chia sẻ bởi:Minh Ngoan

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM