Giải bài tập SGK Toán 12 Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức
Hướng dẫn Giải bài tập Cộng, trừ và nhân số phức sẽ giúp các em học sinh nắm vững phương pháp giải bài tập và ôn luyện tốt kiến thức đã học.
Mục lục nội dung
1. Giải bài 1 trang 135 SGK Giải tích 12
Thực hiện các phép tính sau
a) (3 - 5i) + (2 + 4i)
b) (-2 - 3i) + (-1 - 7i)
c) (4 + 3i) - (5 - 7i)
d) (2 - 3i) - ( 5 - 41)
Phương pháp giải
Công thức cộng, trừ hai số phức
Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:
\(z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i\)
\(z_1-z_2=(a + bi) - ( c + di) = (a - c) + (b - d)i\)
Hướng dẫn giải
Câu a
(3 - 5i) + (2 + 4i) = (3 + 2) + (-5i + 4i) = (3 + 2) + (-5 + 4)i = 5 - i.
Câu b
(-2 - 3i) + (-1 - 7i) = (-2 - 1) + (-3i - 7i) = (-2 - 1) + (-3 - 7)i = -3 - 10i.
Câu c
(4 + 3i) - (5 - 7i) = (4 - 5) + (3i + 7i) = (4 - 5) + (3 + 7)i =-1 + 10i.
Câu d
(2 - 3i) - ( 5 - 4i) = (2 - 5) + (-3i + 4i) = (2 - 5) + (-3 + 4)i =-3 + i.
2. Giải bài 2 trang 136 SGK Giải tích 12
Tính \(\small \alpha + \beta, \alpha - \beta\), biết
a) \(\small \alpha = 3, \beta = 2 i\)
b) \(\small \alpha = 1- 2i, \beta = 6i\)
c) \(\small \alpha = 5i, \beta = -7i\)
d) \(\small \alpha = 15, \beta = 4 - 2i\)
Phương pháp giải
Công thức cộng, trừ hai số phức
Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:
\(z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i\)
\(z_1-z_2=(a + bi) - ( c + di) = (a - c) + (b - d)i\)
Hướng dẫn giải
Câu a
α + β = 3 + 2i; α - β = 3 - 2i.
Câu b
α + β = 1 + 4i; α - β = 1 - 8i.
Câu c
α + β = -2i; α - β = 12i.
Câu d
α + β = 19 - 2i; α - β = 11 + 2i.
3. Giải bài 3 trang 136 SGK Giải tích 12
Thực hiện các phép tính sau
a) (3 - 2i)(2 - 3i)
b) (-1 + i)(3 + 7i)
c) 5(4 + 3i)
d) (-2 - 5i).4i
Phương pháp giải
Công thức nhân hai số phức
Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:
\(z_1.z_2=(a + bi)( c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i\)
Hướng dẫn giải
Câu a
(3 - 2i)(2 - 3i) = 6 + 6i2 -9i - 4i = (6 - 6) + (-9 -4)i = -13i.
Câu b
(-1 + i)(3 + 7i) = -3 + 7i2 -7i + 3i =(-3 - 7) + (-7 + 3)i = -10 -4i.
Câu c
5(4 + 3i) = 20 + 15i.
Câu d
(-2 - 5i).4i = -8i - 20i2 = -8i -20(-1) = 20 - 8i.
4. Giải bài 4 trang 136 SGK Giải tích 12
Tính \({i^3},{i^4},{i^5}\)
Nêu cách tính \(i^n\) với \(n\) là một số tự nhiên tuỳ ý
Phương pháp giải
Phân tích \({i^3} = {i^2}.i;\,\,\,{i^4} = {i^3}.i;\,\,{i^5} = {i^4}.i\), sử dụng quy ước \({i^2} = - 1\).
Hướng dẫn giải
\(\begin{array}{l}{i^3} = {i^2}.i = - 1.i = - i\\{i^4} = {i^3}.i = - i.i = - {i^2} = 1\\{i^5} = {i^4}.i = 1.i = i\end{array}\).
Ta có
Với \(n = 4k\) thì \({i^n} = {i^{4k}} = {\left( {{i^4}} \right)^k} = {1^k} = 1\)
Với \(n = 4k + 1\) thì \({i^n} = {i^{4k + 1}} = {i^{4k}}.i = 1.i = i\)
Với \(n = 4k + 2\) thì \({i^{4k + 2}} = {i^{4k}}.{i^2} = 1.\left( { - 1} \right) = - 1\)
Với \(n = 4k + 3\) thì \({i^{4k + 3}} = {i^{4k}}.{i^3} = 1.\left( { - i} \right) = - i\)
Vậy \({i^{4k}} = 1,\) \({i^{4k + 1}} = i,\)\({i^{4k + 2}} = - 1,\)\({i^{4k + 3}} = - i\).
5. Giải bài 5 trang 136 SGK Giải tích 12
Tính
a) \((2 + 3i)^2\)
b) \((2 + 3i)^3\)
Phương pháp giải
Sử dụng các hằng đẳng thức
\(\begin{array}{l}
{\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\\
{\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}
\end{array}\)
Hướng dẫn giải
Câu a
\(\begin{array}{l}
\,\,{\left( {2 + 3i} \right)^2}\\
\,\,\, = {2^2} + 2.2.3i + {\left( {3i} \right)^2}\\\,\,\, = 4 + 12i + 9i^2\\\,\,\, = 4 + 12i - 9\\\,\,\, = - 5 + 12i\end{array}\)
Câu b
\(\begin{array}{l}\,\,{\left( {2 + 3i} \right)^3}\\
\,\,\, = {2^3} + {3.2^2}.3i + 3.2.{\left( {3i} \right)^2} + {\left( {3i} \right)^3}\\ \,\,\, =8+36i+54i^2+27i^3 \\ \,\,\, =8+36i+54.(-1)+27.(-i)\\
\,\,\, = 8 + 36i - 54 - 27i\\
\,\,\, = - 46 + 9i
\end{array}\)
Tham khảo thêm
- doc Giải bài tập SGK Toán 12 Bài 1: Số phức
- doc Giải bài tập SGK Toán 12 Bài 3: Phép chia số phức
- doc Giải bài tập SGK Toán 12 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực
- doc Giải bài tập SGK Toán 12 Ôn tập chương 4: Số phức