Giải bài tập SGK Toán 12 Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian

Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau

a) d đi qua điểm M(5 ; 4 ; 1) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=(2 ; -3 ; 1)\)

b) d đi qua điểm A(2 ; -1 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α) có phương trình: \(x + y - z + 5 = 0\)

c) d đi qua điểm B(2 ; 0 ; -3) và song song với đường thẳng ∆ có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y =  - 3 - 3t\\
z = 4t
\end{array} \right.\)

d) d đi qua hai điểm P(1 ; 2 ; 3) và Q(5 ; 4 ; 4).

Phương pháp giải

Trong không gian, đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(M(x_0,y_0,z_0)\) và nhận vectơ \(\vec u=(a,;b;c)\) làm Vectơ chỉ phương (VTCP) có phương trình tham số là

\(\Delta: \left\{\begin{matrix} x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct \end {matrix}\right.(t\in\mathbb{R})\) (t được gọi là tham số).

Hướng dẫn giải

Câu a

Đường thẳng d đi qua điểm M(5 ; 4 ; 1) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=(2 ; -3 ; 1)\) nên có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + 2t\\
y = 4 - 3t\\
z = 1 + t
\end{array} \right.\)

Câu b

Mặt phẳng  \((\alpha )\): x + y - z + 5 = 0 có VTPT là \(\vec{n}=(1;1;-1)\)

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) nên d sẽ song song với phương của \(\vec{n}=(1;1;-1)\).

Suy ra \(\vec{n}=(1;1;-1)\) là một VTCP của đường thẳng d.

Mặc khác d đi qua A(2;-1;3) nên có phương trình tham số là \(\left\{\begin{matrix} x= 2+t & \\ y=-1+t \\ z=3-t& \end{matrix}\right.\).

Câu c

Đường thẳng ∆: \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=-3+3t \\ z=4t & \end{matrix}\right.\) có vectơ chỉ phương là \(\vec{a}=(2;3;4)\).

Đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ nên \(\vec{a}=(2;3;4)\) là một VTCP của d.

Mặc khác d đi qua B(2;0;-3) nên phương trình tham số của đường thẳng d là: \(\left\{\begin{matrix} x=2+2t & \\ y=3t \\ z=-3 + 4t & \end{matrix}\right.\).

Câu d

Đường thẳng d đi qua hai điểm P(1; 2; 3) và Q(5; 4; 4) nên d có một vectơ chỉ phương là  \(\overrightarrow{PQ}=(4 ; 2 ; -1)\).

Mặc khác d đi qua P(1;2;3) nên phương trình tham số của đường thẳng d là: \(\left\{\begin{matrix}x= 1+4t & \\ y =2+2t \\ z=3-t& \end{matrix}\right.\).

Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d: \left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=-3+2t & \\ z= 1+3t& \end{matrix}\right.\) lần lượt trên các mặt phẳng sau:

a) (Oxy)

b) (Oyz)

Phương pháp giải

Bài toán viết phương trình tham số của đường thẳng d' là hình chiếu vuông góc của đi trên mặt phẳng (P) cho trước:

Cách 1: Áp dụng cho trường hợp tổng quát:

• Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P).
• d' chính là giao tuyến của mặt phẳng (Q) và (P).

Cách 2: (P) là các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oxz), (Oyz).

• Các điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) thì z=0.
• Các điểm thuộc mặt phẳng (Oxz) thì y=0.
• Các điểm thuộc mặt phẳng (Oyz) thì x=0.

Từ đó ta suy ra ngay phương trình các đường thẳng cần tìm.

Hướng dẫn giải

Câu a

Cách 1

Phương trình mp(Oxy) là z = 0.

Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với (Oxy)

Vectơ chỉ phương của d là \(\vec{a}=(1;2;3)\)

Mp\((\alpha )\) nhận cặp vectơ chỉ phương là \(\vec{a}\) và \(\vec{k}=(0;0;1)\), do đó vectơpháp tuyến của \((\alpha )\) là \(\vec{n}_\alpha =\left [ \vec{a}; \vec{k} \right ]=(2;-1;0)\)

Hình chiếu vuông góc d' của d trên Oxy là giao điểm của hai mặt phẳng \((\alpha )\) và (Oxy).

Ta có \((\alpha )\) đi qua M(2;-3;1) và vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_\alpha =(2;-1;0)\) nên \((\alpha )\) có phương trình: \(2(x-2) - (y+3) = 0\)

Vậy \(M(x;y;z)\in d'\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-y-7=0\\ z=0 \end{matrix}\right. (*)\)

Vectơ chỉ phương của d' vuông góc với \(\vec{n}_\alpha\) và \(\vec{k}\) nên d' có vecto chỉ phương là: \(\vec{a}_{d'} =\left [ \vec{n}_d; \vec{k} \right ]=(-1;-2;0)\)

Từ (*) cho x = 2 ⇒ y = -3, z = 0 do đó \(A(2;-3;0)\in d'\)

Phương trình tham số của d' là: \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y = -3 +2t \\ z =0& \end{matrix}\right.\).

Cách 2

Khi chiếu vuông góc tất cả các điểm thuộc đường thẳng d lên mặt phẳng (Oxy), ta được các hình chiếu có tung độ và hoành độ giữ nguyên so với điểm ban đầu, cao độ bằng 0.

Vậy phương trình tham số hình chiếu của d lên mặt phẳng (Oxy) là \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y = -3 +2t \\ z =0& \end{matrix}\right.\).

Câu b

Cách 1

Phương trình mp(Oyz) là x=0.

Gọi \((\beta )\) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mp(Oyz).

Mp\((\beta )\) nhận \(\vec{a}\) và \(\vec{i}=(1;0;0)\) làm cặp vectơ chỉ phương nên vectơ pháp tuyến của \((\beta )\) là: \(\vec{n}_{\beta } =\left [ \vec{a}; \vec{i} \right ]=(0;3;-2)\)

\((\beta )\) đi qua M(2;-3;1) và vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_{\beta }\) nên \((\beta )\) có phương trình:

\(3(y-2)-2(z-1)=0\Leftrightarrow 3y-2z-4=0\)

Ta có \(M(x;y;z)\in d''\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x-2z-4=0\\ x=0 \end{matrix}\right.\)

(d'' là hình chiếu của d lên mp(Oyz).

Vectơ chỉ phương của d'' vuông góc với \(\vec{n}_{\beta }\) và \(\vec{i}\) nên d'' có vectơ chỉ phương là: \(\vec{a}_{d'} =\left [ \vec{n}_\beta ; \vec{i} \right ]=(0;-2;-3)\)

Từ (**) cho z = 1 ⇒ y = 2, x = 0. Do đó \(B(0;2;1)\in d''\)

Phương trình tham số của d'' là: \(\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=2-2t \\ z=1-3t& \end{matrix}\right.\).

Cách 2

Khi chiếu vuông góc tất cả các điểm thuộc đường thẳng d lên mặt phẳng (Oyz), ta được các hình chiếu có tung độ và cao độ giữ nguyên so với điểm ban đầu, hoành độ bằng 0.

Vậy phương trình tham số hình chiếu của d lên mặt phẳng (Oxy) là \(\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=2-2t \\ z=1-3t& \end{matrix}\right.\).

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d' trong các trường hợp sau:

a) \(d: \left\{\begin{matrix} x=-3+2t & \\ y=-2+3t& \\ z=6+4t& \end{matrix}\right.\)  và  \(d':\left\{\begin{matrix} x=5+t'& \\ y=-1-4t'& \\ z=20+t'& \end{matrix}\right.\)

b) \(d: \left\{\begin{matrix} x=1+t& \\ y=2+t& \\ z=3-t& \end{matrix}\right.\)   và   \(d':\left\{\begin{matrix} x=1+2t'& \\ y=-1+2t'& \\ z=2-2t'.& \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải

Trong không gian cho hai đường thẳng:  \(\Delta _1\) đi qua M1 và có một VTCP \(\overrightarrow{u_1}\), \(\Delta _2\) đi qua M2 và có một VTCP \(\overrightarrow{u_2}\).

Để xét vị trí tương đối của \(\Delta _1\) và \(\Delta _2\) ta thực hiện các bước sau:

- Kiểm tra có tồn tại số thực \(k\ne0\) sao cho \(\overrightarrow {{u_1}} = k\overrightarrow {{u_2}}\) hay không:

• \(\Delta _1\) // \(\Delta _2\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u_1}=k.\overrightarrow{u_2}\\ M_1\in \Delta _1, M_1\notin \Delta _2 \end{matrix}\right.\).
• \(\Delta _1\equiv \Delta _2 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u_1}=k.\overrightarrow{u_2}\\ M_1\in \Delta _1, M_1\in \Delta _2 \end{matrix}\right.\)​

- Nếu không tồn tại \(k\ne 0\) để \(\overrightarrow {{u_1}} = k\overrightarrow {{u_2}}\) ta suy ra \(\Delta _1\) và \(\Delta _2\) chéo nhau hoặc cắt nhau.

Lập hệ phương trình tìm giao điểm của \(\Delta _1\) và \(\Delta _2\), nếu hệ có một nghiệm suy ra, hai đường thẳng cắt nhau; nếu hệ vô nghiệm thì hai đường thẳng chéo nhau.

Cách làm sẽ giúp các em tiết kiệm thời gian, bản chất hoàn toàn tương tự với nội dung đã được trình bày trong SGK:

"Trong không gian cho hai đường thẳng:  \(\Delta _1\) đi qua M1 và có một VTCP \(\overrightarrow{u_1}\), \(\Delta _2\) đi qua M2 và có một VTCP \(\overrightarrow{u_2}\).

Khi đó Vị trí tương đối giữa \(\Delta _1\) và \(\Delta _2\) được xác định như sau

• \(\Delta _1\) và \(\Delta _2\) chéo nhau \(\Leftrightarrow \left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ]. \overrightarrow{M_1.M_2}\neq 0\).
• \(\Delta _1\) và \(\Delta _2\) cắt nhau \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ]. \overrightarrow{M_1.M_2}= 0\\ \overrightarrow{u_1}\neq k. \overrightarrow{u_2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\).
• \(\Delta _1\) // \(\Delta _2\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u_1}=k.\overrightarrow{u_2}\\ M_1\in \Delta _1, M_1\notin \Delta _2 \end{matrix}\right.\).
• \(\Delta _1\equiv \Delta _2 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u_1}=k.\overrightarrow{u_2}\\ M_1\in \Delta _1, M_1\in \Delta _2 \end{matrix}\right.\).

Hướng dẫn giải

Câu a

Đường thẳng d có VTCP \(\overrightarrow u = (2;3;4)\).

Đường thẳng d' có VTCP \(\overrightarrow u ' = (1; - 4;1)\).

Ta thấy \(\overrightarrow u \ne k\overrightarrow u ',\forall k \ne 0.\)

Vậy d và d' cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình:

Từ (1) và (2), ta suy ra \(\left\{\begin{matrix} 2t-t'=8\\ 3t+4t'=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t=3\\ t'=-2 \end{matrix}\right.\)

Các giá trị này của t và t' thoả mãn phương trình (3).

Vậy hai đường thẳng d và d' cắt nhau tại M(3;7;18).

Câu b

Đường thẳng d đi qua điểm M(1 ; 2 ; 3) và có vecto chỉ phương \(\vec{a}=(1;1;-1)\) đường thẳng d' đi qua điểm M'(1;-1;2) và có vecto chỉ phương là \(\vec{a}=(2;2;-2)\).

Ta có: \(\vec{a}=2\vec{a}\) và \(M \notin d'\).

Suy ra d' // d.

Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:

\(d:\left\{\begin{matrix} x=1+at & \\ y=t & \\ z= -1+2t & \end{matrix}\right.\)     \(d':\left\{\begin{matrix} x=1-t' & \\ y=2+2t' & \\ z= 3-t'. & \end{matrix}\right.\) 

Phương pháp giải

Hai đường thẳng cắt nhau khi phương trình giao điểm của chúng có một nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ta có lời giải chi tiết bài 4 như sau

Hai đường thẳng d và d' cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau đây đối với t và t' có nghiệm: \(\left\{\begin{matrix} 1+at=1-t' &(1)\\ t = 2+2t' & (2)\\ -1+2t=3-t' & (3) \end{matrix}\right.\)

Từ hệ (2) và (3) ta suy ra \(\left\{\begin{matrix} t=2\\ t'=0 \end{matrix}\right.\)

Thay các giá trị trên của t và t' vào phương trình (1) ta được: 1 + 2a ⇔ a = 0.

Vậy hai đường thẳng d và d' cắt nhau khi và chỉ khi a = 0.

Tìm số giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α) :

a) d: \(\left\{\begin{matrix} x=12+4t & \\ y=9+3t & \\ z=1+t & \end{matrix}\right.\) và \((\alpha ): 3x + 5y - z - 2 = 0\);

b) d:  \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y = 2 - t\\
z = 1 + 2t
\end{array} \right.\)  và \((\alpha ) : x + 3y + z = 0\)

c) d:  \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y = 1 + 2t\\
z = 2 - 3t
\end{array} \right.\)  và \((\alpha ) : x + y + z - 4 = 0\)

Phương pháp giải

Lần lượt thay các biểu thức x, y, z theo tham số t từ phương trình đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng \(\left ( \alpha \right )\), giải phương trình và tìm nghiệm t. Từ đó suy ra được số giao điểm của d và \(\left ( \alpha \right )\).

Hướng dẫn giải

Câu a

Xét phương trình: 

\(\begin{array}{l} 3(12 + 4t) + 5(9 + 3t) - (1 + t) - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 26t + 78 = 0 \Leftrightarrow t = - 3. \end{array}\)

Suy ra đường thẳng d cắt mặt phẳng \(\left ( \alpha \right )\) tại một điểm A(0;0;-2).

Câu b

Xét phương trình: 

\((1 + t) + 3(2 - t) + (1 + 2t) + 1 = 0 \Leftrightarrow 9 = 0\) (Vô lý).

Suy ra d song song \(\left ( \alpha \right )\).

Vậy d và \(\left ( \alpha \right )\) không có điểm chung.

Câu c

Xét phương trình: \((1 + t) + (1 + 2t) + (2 - 3t) - 4 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0\) (Luôn đúng).

Vậy d nằm trong mặt phẳng \(\left ( \alpha \right )\).

Nên d và \(\left ( \alpha \right )\) có vô số điểm chung.

Tính khoảng cách giữa đường thẳng  ∆: \(\left\{\begin{matrix} x=-3 +2t & \\ y=-1+3t & \\ z=-1 +2t & \end{matrix}\right.\) với mặt phẳng \(\small (\alpha ) : 2x - 2y + z + 3 = 0\).

Phương pháp giải

Cho đường thẳng \(\Delta\) song song với mặt phẳng (P). M là một điểm thuộc đường thẳng \(\Delta\).

Khi đó: \(d(\Delta;(P))=d(M;(P))\).

Hướng dẫn giải

Lời giải chi tiết bài 6 như sau

Xét phương trình: \(2( - 3 + 2t) - 2( - 1 + 3t) + ( - 1 + 2t) + 3 = 0 \Leftrightarrow 2 = 0\) (Vô nghiệm).

Suy ra: \(\Delta //\left( \alpha \right)\)

Mặc khác \(\Delta\) đi qua điểm A(-3;-1;-1).

Cho điểm A(1 ; 0 ; 0) và đường thẳng ∆: \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=1+2t & \\ z=t & \end{matrix}\right.\).

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng ∆.

b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng ∆.

Phương pháp giải

Để tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường thẳng \(\Delta\) ta thực hiện các bước sau:

• Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua A và vuông góc với \(\Delta\).
• Tìm giao điểm của \((\alpha )\) và \(\Delta\) chính là tọa độ của điểm H cần tìm.

A' đối xứng với A qua \(\Delta\) suy ra H chính là trung điểm của AA'.

Hướng dẫn giải

Câu a

Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương \(\vec{a}_\Delta= (1 ; 2 ; 1)\)

Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với ∆

Khi đó \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến \(\vec{n}_\alpha =\vec{a}_\Delta =(1;2;1)\)

Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) là:

\(1.(x-1) +2.y+1.z=0\Leftrightarrow x+2y+z-1=0\)  (1)

Hình chiếu vuông góc H của A trên đường thẳng ∆ là giao điểm của ∆ và \((\alpha )\).

Thay x = 2 + 1, y = 1 + 2t, z = t vào (1) ta được

\(2+t+2+4t+t-1=0\Leftrightarrow t=-\frac{1}{2}\)

Vậy \(H\left( {\frac{3}{2};0; - \frac{1}{2}} \right)\)

Câu b

A' là điểm đối xứng của A qua ∆.

Suy ra H chính là trung điểm của AA', với H là hình chiếu vuông góc của A lên ∆.

\(\left\{ \begin{array}{l} {x_H} = \frac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}\\ {y_H} = \frac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2}\\ {z_H} = \frac{{{z_A} + {z_{A'}}}}{2} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = 2\\ {y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A} = 0\\ {z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A} = - 1 \end{array} \right.\)

Vậy ta được A'(2;0;-1).

Cho điểm M(1 ; 4 ; 2) và mặt phẳng \(\small (\alpha ): x + y + z -1 = 0\)

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng \(\small (\alpha )\).

b) Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng \(\small (\alpha )\).

c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng \(\small (\alpha )\).

Phương pháp giải

Để tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng \(\small (\alpha )\), ta thực hiện các bước sau:

• Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua H và vuông góc với \(\small (\alpha )\).
• Tìm tọa độ giao điểm của \(\Delta\) và \(\small (\alpha )\) chính là tọa độ điểm H cần tìm.

Điểm M' đối xứng với M qua \(\small (\alpha )\), suy ra H chính là trung điểm của MM'.

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng đến tính khoảng cách từ M đến \(\small (\alpha )\) hoặc tính độ dài MH cũng chính là khoảng cách từ M đến \(\small (\alpha )\).

Hướng dẫn giải

Câu a

Mặt phẳng \((\alpha )\) vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_\alpha =(1;1;1)\)

Gọi \(\Delta\) là đường thẳng đi qua M và vuông góc với \((\alpha )\), suy ra \(\vec{n}_\alpha =(1;1;1)\) là một vectơ chỉ phương của  \(\Delta\).

Vậy phương trình tham số của \(\Delta\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y = 4 + y\\
z = 2 + t
\end{array} \right.\)

Toạ độ H lầ nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=1+t \ \ (1)\\ y=4+t \ \ (2)\\ z=2+t \ \ (3)\\ x+y+z-1=0 \ \ (4)\end{matrix}\right.\)

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta được:

1 + t + 4 + t + 2 + t - 1= 0 ⇔ 3t + 6 = 0 ⇔ t = -2

Khi đó x = -1; y= -2; z = 0.

Vậy H(-1;2;0).

Câu b

Gọi M' là điểm đối xứng của M qua \((\alpha )\).

Suy ra H là trung điểm của MM'.

Nên: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_H} = \frac{{{x_M} + {x_{M'}}}}{2}\\ {y_H} = \frac{{{y_M} + {y_{M'}}}}{2}\\ {z_H} = \frac{{{z_M} + {z_{M'}}}}{2} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = - 3\\ {y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = 0\\ {z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M} = - 2 \end{array} \right.\)

Vậy M'(-3 ; 0 ;2).

Câu c

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng \((\alpha )\):

Áp dụng công thức ta có:

\({d_{\left( {M,\left( \alpha  \right)} \right)}} = \frac{{\left| {1 + 4 + 2 - 1} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} }} = \frac{6}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \).

Cho hai đường thẳng: \(d: \left\{\begin{matrix} x=1-t & \\ y=2+2t & \\ z=3t& \end{matrix}\right.\)   và \(d': \left\{\begin{matrix} x=1+t' & \\ y=3-2t' & \\ z=1& \end{matrix}\right.\). Chứng minh d và d' chéo nhau.

Phương pháp giải

Trong không gian cho hai đường thẳng:  \(\Delta _1\) đi qua M1 và có một VTCP \(\overrightarrow{u_1}\), \(\Delta _2\) đi qua M2 và có một VTCP \(\overrightarrow{u_2}\).

\(\Delta _1\) và \(\Delta _2\) chéo nhau \(\Leftrightarrow \left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ]. \overrightarrow{M_1.M_2}\neq 0\).

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua điểm Mo(1;2;0) và có vecto chỉ phương \(\vec{a}=(-1;2;3)\).

Đường thẳng d' đi qua điểm M'o(1;3;1) và có vecto chỉ phương \(\vec{a'}=(1;-2;0)\).

Ta có \(\left[ {\vec a,\vec a'} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ { - 2}&0 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 1}\\ 0&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2\\ 1&{ - 2} \end{array}} \right|} \right) = (6;3;0)\).

\(\overrightarrow{M_0M'_0}=(0;1;1)\).

\(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {a'} } \right].\overrightarrow {MM'} = 6.0 + 1.3 + 0.1 = 3 \ne 0.\)

Vậy d và d' chéo nhau.

Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A'BD) và B'D'C). 

Phương pháp giải

Từ dữ kiện đề bài, ta chọn một đỉnh bất kì của hình lập phương là gốc tọa độ. Khi đó, 3 cạnh của hình lập phương đi qua đỉnh đó chính là phương của các trục Ox, Oy, Oz.

Sau khi xây dựng xong hệ trục tọa độ, ta xác định tọa độ các đỉnh lúc này và tiến hành giải bài toán bằng phương pháp tọa độ trong không gian.

Hướng dẫn giải

Ta chọn hệ toạ độ Oxyz sao cho \(O\equiv A, \vec{i}=\overrightarrow{AB},\vec{j}=\overrightarrow{AD}, \vec{k}=\overrightarrow{AA'}\)

Trong hệ toạ độ Oxyz ta có: A'(0;0;1), B(1;0;0), D(0;1;0), B'(1;0;1), D'(0;1;1), C(1;1;0).

Đặt \((\alpha )=(A'BD)\) và \((\beta )=(B'D'C')\).

Mặt phẳng \(\left ( \alpha \right )\) đi qua B(1;0;0), D(0;1;0), A'(0;0;1). Nên ta có phương trình theo đoạn chắn của \(\left ( \alpha \right )\) là:

\((\alpha ):\frac{x}{1}+\frac{y}{1}+\frac{z}{1}=1\) suy ra \(x+y+z-1=0.\)

Ta có

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {B'D'} = \left( { - 1;1;0} \right)\\ \overrightarrow {B'C} = (0;1; - 1)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {B'D'} ;\overrightarrow {B'C} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 1&{ - 1} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}\\ { - 1}&0 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1\\ 0&1 \end{array}} \right|} \right) = \left( { - 1; - 1; - 1} \right) \end{array}\)

Mặt phẳng \(\left ( \beta \right )\) đi qua B'(1;0;1) và nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {B'D'} ;\overrightarrow {B'C} } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến, nên có phương trình là:

\((\beta ):(x-1)+(y-1)+z=0\Leftrightarrow x+y+z-2=0\).

Vậy ta có

\(d(A,(\alpha ))=\frac{\left | -1 \right |}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\).

\(d(A,(\beta ))=\frac{\left | -2 \right |}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\).