Giải bài tập SGK Toán 12 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: -7; -8; -12; -20; -121.

Phương pháp giải

Các căn bậc hai của số thực \(a<0\) là \(\pm i\sqrt a.\)​

Hướng dẫn giải

Căn bậc hai phức của -7 là \(\small \pm i\sqrt{7}\)

Căn bậc hai phức của -8 là \(\small \pm i2\sqrt{2}\)

Căn bậc hai phức của -12 là \(\small \pm i2\sqrt{3}\)

Căn bậc hai phức của -20 là  \(\small \pm i2\sqrt{5}\)

Căn bậc hai phức của -11 là \(\small \pm 11i\)

Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức

a) \( - 3{z^2} +2z - 1 = 0\)

b) \(7{z^2} + {\rm{ }}3z + 2 = 0\)

c) \(5{z^2} -7z+ 11=  0\)

Phương pháp giải

Xét phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) với \(a,b,c\in \mathbb{R},a\ne0.\)

Đặt \(\Delta=b^2-4ac\)

• Nếu \(\Delta=0\) thì phương trình có một nghiệm kép (thực) \(x=-\frac{b}{2a}.\)
• Nếu \(\Delta>0\) thì phương trình có hai nghiệm thực \(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt \Delta}{2a}.\)
• Nếu \(\Delta<0\) thì phương trình có hai nghiệm phức \({x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}}.\)

​Hướng dẫn giải

Câu a

Xét phương trình -3z2 + 2z – 1 = 0.

\(\Delta ' = {(1)^2} - ( - 3)( - 1) = - 2 < 0.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm phức là: \(z_{1,2}= \frac{1\pm i\sqrt{2}}{3}.\)

Câu b

Xét phương trình 7z2 + 3z +2  = 0.  

\(\Delta = 9 - 4.7.2 = - 47 < 0.\)

 Vậy phương trình có hai nghiệm phức là: \(z_{1,2}=\frac{-3\pm i\sqrt{47}}{14}\).

Câu c

Xét phương trình 5z2 - 7z + 11 = 0

\(\Delta = 49 - 4.5.11 = - 171 < 0\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phức là: \(z_{1,2}=\frac{7\pm i\sqrt{171}}{10}\).

Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức

a) \(\small z^4 + z^2 - 6 = 0\)

b) \(\small z^4 + 7z^2 + 10 = 0\)

Phương pháp giải

Phương pháp giải phương trình \(a{z^4} + b{z^2} + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Bước 1: Đặt \({z^2} = t\), đưa về phương trình bậc hai ẩn t.

Bước 2: Giải phương trình bậc hai ẩn t: \(a{t^2} + bt + c = 0\).

Bước 3: Từ nghiệm t, ta giải tìm nghiệm x bằng cách tìm căn bậc hai của t.

Hướng dẫn giải

Câu a

Đặt \(t = z^2\) , ta được phương trình \({t^2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = - 3\end{array} \right.\)

Khi \(t = 2 \Rightarrow {z^2} = 2 \Rightarrow z _{1,2}=  \pm \sqrt 2 \)

Khi \(t =  - 3 \Rightarrow {z^2} =  - 3 \Rightarrow z _{3,4}=  \pm i\sqrt 3 \)

Vậy phương trình có bốn nghiệm là: \(± \sqrt2\) và \(± i\sqrt3\).

Câu b

Đặt \(t = z^2\) , ta được phương trình \({t^2} + 7t + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 2\\t = - 5\end{array} \right.\)

Khi \(t = -2 \Rightarrow {z^2} =- 2 \Rightarrow z_{1,2} =  \pm i\sqrt 2 \)

Khi \(t =  - 5 \Rightarrow {z^2} =  - 5 \Rightarrow z_{3,4} =  \pm i\sqrt 5 \)

Vậy phương trình có bốn nghiệm là: \(± i\sqrt2\) và \(± i\sqrt5\).

Cho \(a, b, c \in \mathbb R\), \(a \ne 0\), \(z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm của phương trình \(a{z^2} + {\rm{ }}bz{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Hãy tính \({z_1} + {z_2}\) và \({z_1} {z_2}\) theo các hệ số \(a, b, c\). 

Phương pháp giải

- Tính biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\).

- Chia các trường hợp của \(\Delta\):

TH1: \(\Delta  \ge 0\), sử dụng kết quả của định lí Vi-et đã biết.

TH2: \(\Delta  < 0\), gọi \(\delta\) là một căn bậc hai của \(\Delta\), suy ra các nghiệm phức của phương trình bậc hai và tính tổng, tích các nghiệm phức đó.

Hướng dẫn giải

Yêu cầu của bài toán này là kiểm chứng định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai trên tập số phức.

Trường hợp \(∆ ≥ 0\), theo định lí vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{b}{a}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

Trường hợp \(∆ < 0\),  gọi \(\delta\) là một căn bậc hai của \(\Delta\), khi đó các nghiệm của phương trình là: 

\(\begin{array}{l}{z_1} = \dfrac{{ - b + \delta }}{{2a}};\,\,{z_2} = \dfrac{{ - b - \delta }}{{2a}}\\\Rightarrow {z_1} + {z_2} = \dfrac{{ - b + \delta - b - \delta }}{{2a}} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{{\left( { - b + \delta } \right)\left( { - b - \delta } \right)}}{{4{a^2}}} = \dfrac{{{b^2} - {\delta ^2}}}{{4{a^2}}}\\= \dfrac{{{b^2} - \left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}} = \dfrac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \dfrac{c}{a}\end{array}\)

Vậy kết quả của định lí Vi-et vẫn đúng trong trường hợp \(∆ < 0\)

Cho \(z = a + bi\) là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận \(z\) và \( \overline{z}\) làm nghiệm

Phương pháp giải

\(z,\overline z \) là nghiệm của phương trình \(\left( {x - z} \right)\left( {x - \overline z } \right) = 0\).

Thay \(z,\overline z \) và phương trình trên, đưa về đúng dạng phương trình bậc hai

Hướng dẫn giải

Một phương trình bậc hai nhận \(z\) và \( \overline{z}\) làm nghiệm là

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\left( {x - z} \right)\left( {x - \overline z } \right) = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - x.\overline z - x.z + z.\overline z = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - \left( {z + \overline z } \right)x + z.\overline z = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - \left( {a + bi + a - bi} \right) + \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0
\end{array}\)

Vậy một phương trình bậc hai cần tìm là \({x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0\)