Giải bài tập SGK Toán 12 Ôn tập chương 3: Nguyên hàm. Tích phân và Ứng dụng

Hướng dẫn Giải bài tập Nguyên hàm, Tích phân và Ứng dụng sẽ giúp các em học sinh nắm vững phương pháp giải bài tập và ôn luyện tốt kiến thức đã học.

Giải bài tập SGK Toán 12 Ôn tập chương 3: Nguyên hàm. Tích phân và Ứng dụng

Giải bài tập SGK Toán 12 Ôn tập chương 3: Nguyên hàm. Tích phân và Ứng dụng

1. Bài tập tự luận

1.1. Giải bài 1 trang 126 SGK Giải tích 12

a) Phát biểu định nghĩa nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng

b) Nêu phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Cho ví dụ minh họa

Hướng dẫn giải

Câu a: Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K.

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F(x)=f(x) với mọi xK.

  • Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.
  • Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x)+C với C là một hằng số tùy ý.
  • Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số f(x) là f(x)dx. Khi đó : f(x)dx=F(x)+C,CR.

Câu b: Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lí: Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm và liên tục trên K thì: u(x)v(x)dx=u(x)v(x)u(x)v(x)dx

Một số dạng thường gặp:

Dạng 1: P(x).eax+bdx,P(x)sin(ax+b)dx,P(x)cos(ax+b)dx

Cách giải: Đặt u=P(x),dv=eax+bdx 

Hoặc dv=sin(ax+b)dx,dv=cos(ax+b)dx.

Dạng 2: P(x)ln(ax+b)dx

Cách giải: Đặt u=ln(ax+b),dv=P(x)dx.

Ví dụ minh họa

Giải phương trình I=xsin2xdx

Giải

Đặt {u=xdv=sin2xdx{du=dxv=12cos2x

I=12xcos2x+12cos2xdx=12xcos2x+14sin2x+C

1.2. Giải bài 2 trang 126 SGK Giải tích 12

a) Phát biểu định nghĩa tích phân của hàm số f(x) trên một đoạn

b) Nêu các tính chất của tích phân. Cho ví dụ minh họa

Hướng dẫn giải

Câu a: Định nghĩa tích phân của hàm số f(x) trên một đoạn

Định nghĩa: Cho hàm f(x) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì hiệu số F(b)F(a) được gọi là tích phân của f(x) từ a đến b và ký hiệu là baf(x)dx. Trong trường hợp \(a

Câu b: Các tính chất của tích phân và ví dụ minh họa
Các tính chất của tích phân:

Cho các hàm số f(x),g(x) liên tục trên K và a,b,c là ba số thuộc K.

  • aaf(x)dx=0
  • baf(x)dx=abf(x)dx
  • baf(x)dx=caf(x)dx+bcf(x)dx
  • bak.f(x)dx=kbaf(x)dx
  • ba[f(x)±g(x)]dx=baf(x)dx±bag(x)dx

Ví dụ minh họa

Tính tích phân: I=21x22xx3dx

Giải

I=21x22xx3dx=21(1x2x2)dx=(ln|x|+2x)|21

=(ln2+1)(ln1+2)=1+ln2

1.3. Giải bài 3 trang 126 SGK Giải tích 12

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

a) f(x)=(x1)(12x)(13x)

b) f(x)=sin4xcos22x

c) f(x)=11x2

d) f(x)=(ex1)3

Phương pháp giải

Biến đổi hàm số cần tính nguyên hàm về tổng của các hàm số mà ta đã biết công thức xác định nguyên hàm của chúng đã được học ở bài 1 chương 3 Giải tích 12.

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có f(x)=(x1)(6x25x+1)=x311x2+6x1

Vậy f(x)dx=3x42113x3+3x2C.

 Câu b

Ta có sin4x.cos22x=sin4x.12(1+cos4x)

Vậy f(x)dx=12sin4xdx+14sin8xdx=18cos4x132cos8x+C.

Câu c

Ta có

f(x)11x2=1(1x)(1+x)=a1x+b1+x=a(1+x)+b(1x)(1x)(1+x)=(ab)x+a+b(1x)(1+x){ab=0a+b=1f(x)=12[11x+11+x]

Vậy f(x)dx=1211+xdx121x1dx =12ln|x+1|12ln|x1|=12ln|x+1x1|+C.

Câu d

Ta có: (ex1)3dx=(e3x3e2x+3ex1)dx =13e3x32e2x+3exx+C.

1.4. Giải bài 4 trang 126 SGK Giải tích 12

Tính

a) (2x)sinxdx

b) (x+1)2xdx

c) e3x+1ex+1dx

d) 1(sinx+cosx)2dx

e) 11+x+xdx

f) 1(1+x)(2x)dx

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản và các phương pháp tính nguyên hàm để làm bài toán.

Hướng dẫn giải

Câu a

Đặt {u=2xdv=sinxdx{du=dxv=cosx

Áp dụng cộng thức tính nguyên hàm từng phần ta có:
(2x)sinxdx=(2x)cosxcosxdx

=(x2)cosxsinx+C

Câu b

(x+1)2x=x2+2x+1x12dx

=(x32+2x12+x12)dx

=x32dx+2x12dx+x12dx

=11+32x32+1+21+12x12+1+1112x12+1+C

=25x52+43x32+2x12+C.

Câu c

e3x+1ex+1dx=(e2xex+1)dx=e2xdxexdx+dx

=12e2xd(2x)exdx+dx=12e2xex+x+C

Câu d

 1(sinx+cosx)2dx=12dxcos2(xπ4)=12tan(xπ4)+C

Câu e

11+x+xdx=1+xx1+xxdx

=(1+xx)dx=1+xdxxdx

=(1+x)12d(1+x)x12dx

=23(1+x)3223x32+C

Câu f

1(1+x)(2x)dx=13(11+x+12x)dx

=13(dx1+x+dx2x)=13(d(1+x)1+xd(2x)2x)

=13(ln|1+x|ln|2x|)+C=13ln|1+x2x|+C

1.5. Giải bài 5 trang 127 SGK Giải tích 12

Tính

a) 03x1+xdx

b) 6411+x3xdx

c) 20x2.e3xdx

d) π01+sin2xdx

Phương pháp giải

  • Sử dụng phương pháp đổi biến và các công thức tính tích phân cơ bản để tính tích phân.
  • Chú ý: Khi đổi biến cần đổi cận.

Hướng dẫn giải

Câu a

30x1+xdx=30x+111+xdx

=30x+11+xdx30dx1+x

=30(x+1)12dx30(1+x)12dx

=30(x+1)12d(x+1)30(1+x)12d(1+x)

=23(x+1)32|302(1+x)12|30=232.412+2

=163234+2=1432=83

Câu b

Đặt t=6xx=t6dx=6t5dt.

Khi x = 1 ⇒ t = 1

Khi x = 64 ⇒ t = 2

Do đó ta có: I=6411+x3xdx=211+t3t2.6t5dt=21(6t3+6t6)dt

=[3t42+6t77]|21=3(161)2+6(1281)7=183914.

Câu c

Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần bằng cách đặt: 

{u=x2dv=e3xdx{du=2xdxv=13e3x

Ta có

20x2e3xdx=13x3.e3x|202320x.e3xdx=43e62320x.e3xdx

Lại tiếp tục đặt: {u1=x2dv1=e3xdx{du1=dxv1=13e3x

Ta được

20x.e3xdx=13x.e3x|201320e3xdx

=23e619e3x|20=23e619e6+19

Do đó: 20x2.e3xdx=43e623(23e619e6+19)

=43e649e6+227e6227=2627e6227=227(13e61)

Câu d

Ta có

1+sin2x=(sinx+cosx)2=2cos2(xπ4)

=2|cos(xπ4)|

Mặt khác ta có

cos(xπ4)0,   x[0;3π4]

và cos(xπ4)0,   x[3π4;π]

Do đó

π01+sin2xdx=2π0cos(xπ4)|dx

=23π40cos(xπ4)dx203π4cos(xπ4)dx

=2sin(xπ4)|3π402sin(xπ4)|03π4

=2(1+22)2(221)=2+2=22

1.6. Giải bài 6 trang 127 SGK Giải tích 12

Tính

a) π20cos2xsin2xdx

b) 11|222x|dx

c) 21(x+1)(x+2)(x+3)x2dx

d) π21(sinx+cosx)2dx

e) π1(x+sinx)2dx

g) π0(x+sinx)2dx

Phương pháp giải

  • Sử dụng công thức hạ bậc đưa về tích phân các hàm lượng giác cơ bản.
  • Xét dấu, phá dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân.
  • Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về các hàm đa thức, phân thức cơ bản và tính tích phân.
  • Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về dạng tổng, hiệu hai phân thức đơn giản đã biết cách tính tích phân.
  • Thu gọn biểu thức (sinx+cosx)2 đưa về các hàm số lượng giác cơ bản.
  • Khai triển biểu thức dưới dấu tích phân, kết hợp với công thức hạ bậc, phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân.

Hướng dẫn giải

Câu a

Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân ta có:

cos2x.sin2x=cos2x1cos2x2=12cos2x12cos22x

=12cos2x14(1+cos4x)=12cos2x14cos4x14

Do đó

π20cos2xsin2xdx=π20(12cos2x14cos4x14)dx

=14sin2x|π20116sin4x|π2014x|π20=π8

Câu b

Ta có: {2x2x0  x[0;1]2x2x0  x[1;0)

Do đó: 11|2x2x|dx=01(2x2x)dx+10(2x2x)dx

=(2xln22xln2)|01+(2xln2+2xln2)|10

=1ln21ln2+2ln2+12ln2+2ln2+12ln21ln21ln2=1ln2

Câu c

Ta có

(x+1)(x+2)(x+3)x2=x+6x+6x2+11x

Do đó: 21(x+1)(x+2)(x+3)x2dx=21(x+6x+6x2+11x)dx

=(x22+6x6x+11lnx)|21

=2+123+11ln212+66=212+11ln2
Câu d

Phân tích biểu thức dưới dấu tích phân ta được:

1x22x3=1(x+1)(x3)=14(1x31x+1)

Do đó:

201x22x3dx=1420(1x31x+1)dx

=14ln|x3x+1||20=14(ln13ln3)=12ln3

Câu e

Ta có

(sinx+cosx)2=1+sin2x

Do đó: π20(sinx+cosx)2dx=π20(1+sin2x)dx

=(x12cos2x)|π20=π2+12+12=π2+1

Câu g

π0(x+sinx)2dx=π0(x2+2xsinx+sin2x)dx

=π0(x2+2xsinx+1212cos2x)dx

=(x33+12x14sin2x)|π0

=π33+π2+2π0xsinxdx

Xét π0xsinxdx. Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần bằng cách đặt:

{u=xdv=sinxdx{du=dxv=cosx

Ta được

π0xsindx=xcosx|π0+π0cosxdx=π+sinx|π0=π

Vậy π0(x+sinx)2dx=π33+π2+2π=π33+5π2

1.7. Giải bài 7 trang 127 SGK Giải tích 12

Xét hình phẳng D giới hạn bởi y=21x2 và y=2(1x)

a) Tính diện tích hình D

b) Quay hình D xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.

Phương pháp giải

a) Hình phẳng được giới hạn bởi đường các đồ thị hàm số y=f(x); y=g(x) và các đường thẳng \(x=a; \, \, x=b \, (a

b) Thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường x=a,x=b,y=f(x),y=g(x) quanh OxV=πba|f2(x)g2(x)|dx

Hướng dẫn giải

Câu a

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

21x2=2(1x){1x01x2=(1x)2{x12x22x=0{x1[x=0x=1[x=0x=1

Đồ thị của hàm số y=21x2 là một nửa elip x2+y24=1 với y0.

Từ đồ thị trên ta có, diện tích của D:

S=10[21x22(1x)]dx=2[101x2dx10(1x)dx]

Tính 101x2dx:

Đặt x=sint , ta có: dx=costdt; x=0t=0; x=1t=π2

Suy ra

101x2dx=π201sin2t.costdt=π20cost.costdt=π20cos2tdt=12π20(1+cos2t)dt=12[t+12sin2t]|π20=π410(1x)dx=(xx22)|10=12D=2(π412)=π21

Câu b

Dựa vào hình trên ta có thể tích cần tìm là:

V=π10[(21x2)2(2(1x))2]dx=π10[4(1x2)4(1x)2]dx

=4π10[(1x2)(1x)2]dx=8π10(xx2)dx=8π(x22x33)|10=8π(1213)=4π3(đvdt).

2. Bài tập trắc nghiệm

2.1. Giải bài 1 trang 127 SGK Giải tích 12

Tính dx1x kết quả

 (A) C1x

(B) C1x

(C) 21x+C

(D) 21x+C

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân để làm bài toán hoặc sử dụng phương pháp đổi biến.

Chú ý nguyên hàm cơ bản: 12udu=u+C

Hướng dẫn giải

Ta có

dx1x=d(1x)1x =2.d(1x)21x =21x+C.

Chọn đáp án C

2.2. Giải bài 2 trang 128 SGK Giải tích 12

Tính 2x.ln2xdx, kết quả sai là

(A) 2x+1+C       

(B) 2(2x1)+C

(C) 2(2x+1)+C

(D) 2x+C

Phương pháp giải

  • Đổi biến tìm nguyên hàm đã cho.
  • Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) thì hàm số F(x)+C cũng là nguyên hàm của hàm số.

Hướng dẫn giải

Đặt t=x dt=12xdxdxx=2dt. Khi đó,

2x.ln2xdx =2t.ln2.2dt =2.d(2t) =2.2t+C=2.2x+C.

Do đó D sai.

Chọn đáp án D

2.3. Giải bài 3 trang 128 SGK Giải tích 12

 Tích phân π0cos2xsinxdx bằng

(A) 23

(B) 23

(C) 32

(D) 0

0

Phương pháp giải

Dùng phương pháp đưa vào vi phân để tính tích phân.

Hướng dẫn giải

Ta có

π0cos2x.sinxdx=π0cos2xd(cosx)=cos3x3|π0=13+13=23.

Chọn đáp án B

2.4. Giải bài 4 trang 128 SGK Giải tích 12

Cho hai tích phân π20sin2xdx,π20cos2xdx , hãy chỉ ra khẳng định đúng:

A. π20sin2xdx>π20cos2xdx

B. π20sin2xdx<π20cos2xdx

C. π20sin2xdx=π20cos2xdx

D. Không so sánh được

Phương pháp giải

  • Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác.
  • Áp dụng phương pháp đổi biến để tính tích phân và so sánh.

Hướng dẫn giải

Nếu đặt u=π2x thì dx=du

π20sin2xdx=0π2sin2(π2u)(du)=π20cos2udu=π20cos2xdx

 Chọn đáp án C

2.5. Giải bài 5 trang 128 SGK Giải tích 12

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong

Câu a:  y=x3 và y=x5 bằng

(A) 0

(B) -4

(C) 16

(D) 2

Câu b: y=x+sinx và y=x (0x2π) bằng:

(A) -4

(B) 4

(C) 0

(D) 1

Phương pháp giải

Hình phẳng được giới hạn bởi đường các đồ thị hàm số y=f(x); y=g(x) và các đường thẳng \(x=a; \, \, x=b \, (a

Hướng dẫn giải

Câu a

Xét phương trình: x3=x5x=1;x=0;x=1

Do đó diện tích cần tìm là:

S=01(x5x3)dx+10(x3x5)dx

=(x66x44)|01+(x44x66)|10=112+112=16.

Chọn đáp án C

Câu b

Xét phương trình: x+sinx=xsinx=0x=0;xπ;x=2π

Do đó: S=π0sinxdx2π0sinxdx=cosx|π0+cosx|2π0=2+2=4

Chọn đáp án B

2.6. Giải bài 6 trang 128 SGK Giải tích 12

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x và y=x quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

(A) 0

(B) π

(C) π

(D) π6

Phương pháp giải

Quay hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số y=f(x);y=g(x) và các đường thẳng \(x=a;\, \, y=b \, (a

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng y=x  và y=x là:

x=xx=0 hoặc x=1

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

V=π10|(x)2x2|dx =π10|xx2|dx

Với 0x1 thì xx2 nên:

V=π10(xx2)dx=π[x22x33]|10=π6

Chọn đáp án D

Ngày:23/07/2020 Chia sẻ bởi:Xuân Quỳnh

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM