Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Chương 4 Bài 1: Dãy số có giới hạn 0

Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0:

a) \({{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n + 5}}\)

b) \({{\sin n} \over {n + 5}}\)

c) \({{\cos 2n} \over {\sqrt n + 1}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý:

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right).\)

Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi n và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\left| {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n + 5}}} \right| = {1 \over {n + 5}} < {1 \over n} \\ \lim {1 \over n} = 0 \\ \Rightarrow \lim {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n + 5}} = 0\)

b) \(\left| {{{\sin n} \over {n + 5}}} \right| \le {1 \over {n + 5}} < {1 \over n}\)

\(\lim {1 \over n} = 0\) 

\(\Rightarrow \lim {{\sin n} \over {n + 5}} = 0\)

c) \(\left| {{{\cos 2n} \over {\sqrt n + 1}}} \right| \le {1 \over {\sqrt n + 1}} < {1 \over {\sqrt n }}\)

\(\lim{1 \over {\sqrt n }} = 0\)

\(\Rightarrow \lim {{\cos 2n} \over {\sqrt n + 1}} = 0\)

Chứng minh rằng hai dãy số (u_n) và (v_n) với \({u_n} = {1 \over {n\left( {n + 1} \right)}},\,{v_n} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}\cos n} \over {{n^2} + 1}}\) có giới hạn 0.

Phương pháp giải:

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right).\)

Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi n và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\eqalign{ & \left| {{u_n}} \right| = {1 \over {n\left( {n + 1} \right)}} < {1 \over n}\cr &\,\lim {1 \over n} = 0 \\& \Rightarrow \lim {u_n} = 0 \cr & \left| {{v_n}} \right| = \left| {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}\cos n} \over {{n^2} + 1}}} \right| \cr &= {{\left| {\cos n} \right|} \over {{n^2} + 1}} \le {1 \over {{n^2} + 1}} < {1 \over {{n^2}}}\cr &\lim {1 \over {{n^2}}} = 0 \cr & \Rightarrow \lim {v_n} = 0 \cr}\)

Chứng minh rằng các dãy số (un) sau đây có giới hạn 0:

a) \({u_n} = {\left( {0,99} \right)^n}\)

b) \({u_n} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{2^n} + 1}}\)

c) \({u_n} = - {{\sin {{n\pi } \over 5}} \over {{{\left( {1,01} \right)}^n}}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lý:

+) Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right).\)

Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi n và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).

+) Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\left| {0,99} \right| < 1\)

Nên \(\lim {u_n} = \lim {\left( {0,99} \right)^n} = 0\)

b) 

\(\eqalign{ & \left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{2^n} + 1}}} \right| = {1 \over {{2^n} + 1}}\cr & <\frac{1}{{{2^n}}} = {\left( {{1 \over 2}} \right)^n}\cr &\lim {\left( {{1 \over 2}} \right)^n} = 0 \cr & \Rightarrow \lim {u_n} = 0 \cr} \)

c) \(\left| {{u_n}} \right| = {{\left| {\sin {{n\pi } \over 5}} \right|} \over {{{\left( {1,01} \right)}^n}}} \le \frac{1}{{1,{{01}^n}}} = {\left( {{1 \over {1,01}}} \right)^n}\)

\(\lim {\left( {{1 \over {1,01}}} \right)^n} = 0\)

\(\Rightarrow \lim {u_n} = 0\)

Cho dãy số (un) với \( {u_n} = {n \over {{3^n}}}\)

a) Chứng minh rằng \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} \le {2 \over 3}\) với mọi n.

b) Bằng phương pháp qui nạp, chứng minh rằng \(0 < {u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}\) với mọi n.

c) Chứng minh dãy số (u_n) có giới hạn 0.

Phương pháp giải:

a) Tính u_n, u_{n + 1}, \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}}\) và suy ra đpcm.

b) Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi n ≥ 1, ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n = k (k ≥ 1) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

c) Sử dụng các định lý:

+) Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\)

Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi n và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).

+) Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(\eqalign{ & {{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{n + 1} \over {{3^{n + 1}}}}:{n \over {{3^n}}} = \frac{{n + 1}}{{{{3.3}^n}}}.\frac{{{3^n}}}{n}\cr &= {1 \over 3}.{{n + 1} \over n} = {1 \over 3}\left( {1 + {1 \over n}} \right) \cr & \le {1 \over 3}(1+1)={2 \over 3},\forall n \ge 1. \cr} \)

(Vì \(\forall n \ge 1 \Rightarrow \dfrac{1}{n} \le 1\))

b) Rõ ràng u_n> 0, ∀n ≥ 1.

Ta chứng minh \( {u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

+) Với n = 1 ta có \({u_1} = {1 \over 3} \le {2 \over 3}\)

Vậy (1) đúng với n = 1

+) Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có:

\({u_k} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^k}\)

Khi đó \(\frac{{{u_{k + 1}}}}{{{u_k}}} \le \frac{2}{3} \Leftrightarrow {u_{k + 1}} \le {2 \over 3}{u_k}\) (theo câu a)

\(\Rightarrow {u_{k + 1}} \le {2 \over 3}.{\left( {{2 \over 3}} \right)^k} = {\left( {{2 \over 3}} \right)^{k + 1}}\)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 nên (1) đúng với mọi n.

c) Ta có:

\(0 < {u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n} \Rightarrow \left| {{u_n}} \right| \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}\)

Mà

\(\lim {\left( {{2 \over 3}} \right)^n} = 0\) \( \Rightarrow \lim \left| {{u_n}} \right| = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0\)