Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Bài 1: Các hàm số lượng giác

Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) \(y = \sqrt {3 - \sin x} \)

b) \( y = {{1 - \cos x} \over {\sin x}}\)

c) \(y = \sqrt {{{1 - \sin x} \over {1 + \cos x}}}\)

d) \(y = \tan \left( {2x + {\pi \over 3}} \right)\)

Phương pháp giải:

a) - Biểu thức \(\sqrt P \) có nghĩa khi \(P\ge 0.\)

- Sử dụng đánh giá \(-1 ≤ \sin x ≤ 1.\)

b) Biểu thức \(\dfrac{P}{Q}\) có nghĩa khi \(Q\ne 0\).

c) Biểu thức \(\sqrt {\frac{P}{Q}} \) xác định khi 

\( \left\{ \begin{array}{l} \frac{P}{Q} \ge 0\\ Q \ne 0 \end{array} \right.\)

d) Hàm số y = tan u xác định khi và chỉ khi \(u \ne \frac{\pi }{2} + k\pi\)

Hướng dẫn giải:

a) \(y = \sqrt {3 - \sin x} \)

Vì \(-1 ≤ \sin x ≤ 1\) nên:

\( \begin{array}{l} \Rightarrow 1 \ge - \sin x \ge - 1\\ \Rightarrow 1 + 3 \ge - \sin x + 3 \ge - 1 + 3\\ \Rightarrow 4 \ge 3 - \sin x \ge 2 > 0\\ \Rightarrow 3 - \sin x > 0,\forall x \in R \end{array}\)

Vậy tập xác định của hàm số là: D =\mathbb R

b) \(y = {{1 - \cos x} \over {\sin x}}\) xác định khi và chỉ khi \(\sin x ≠ 0\)

\( ⇔ x ≠ kπ, k \in\mathbb Z\)

Vậy tập xác định \(D =\mathbb R \backslash \left\{ kπ, k \in \mathbb Z\right\}\)

c) \(y = \sqrt {{{1 - \sin x} \over {1 + \cos x}}}\)

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \cos x}} \ge 0\\1 + \cos x \ne 0\end{array} \right.\left( * \right)\)

Ta có:

\(1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow 1 - \sin x \ge 0\) với mọi x.

\(1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow 1 + \cos x \ge 0\) với mọi x.

\( \Rightarrow \frac{{1 + \sin x}}{{1 + \cos x}} \ge 0\) với mọi x.

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow 1 + \cos x \ne 0\)

\( \Leftrightarrow \cos x \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne \pi + k2\pi\)

Vậy tập xác định \(D =\mathbb R\backslash\left\{ π + k2π, k \in\mathbb Z\right\}\)

d) \( y = \tan \left( {2x + {\pi \over 3}} \right)\)

Điều kiện xác định: \( \cos \left( {2x + {\pi \over 3}} \right) \ne 0\)

\( \Leftrightarrow 2x + {\pi \over 3} \ne {\pi \over 2} + k\pi \\ \Leftrightarrow 2x \ne \frac{\pi }{6} + k\pi \\ \Leftrightarrow x\ne {\pi \over {12}} + k{\pi \over 2},k \in \mathbb Z\)

Vậy tập xác định \(D =\mathbb R\backslash \left\{ {{\pi \over {12}} + k{\pi \over 2},k \in\mathbb Z} \right\}\)

Xét tính chẵn – lẻ của hàm số sau:

a) y = -2sin x

b) y = 3sin x – 2

c) y= sin x – cos x

d) \(y = \sin x\cos^2 x+ \tan x\)

Phương pháp giải:

a) d)  Cho hàm số y = f(x)

- Tìm TXĐ D

- Nếu \(x \in D \Rightarrow - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\) thì hàm số là hàm số lẻ.

- Nếu \(x \in D \Rightarrow - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\) thì hàm số là hàm số chẵn.

b) Lấy ví dụ kiểm tra, thay \(x = \frac{\pi }{2}, - x = - \frac{\pi }{2}\) , kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm này và so sánh.

c) Lấy ví dụ kiểm tra, thay \(x = \frac{\pi }{4}, - x = - \frac{\pi }{4}\) , kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm này và so sánh.

Hướng dẫn giải:

a) \(y = f(x) = -2\sin x\)

Tập xác định D = R, ta có:

\( f(-x) = -2\sin (-x) = - 2\left( { - \sin x} \right) = 2\sin x = -f(x), ∀x \in\mathbb R\)

Vậy y = -2sin x là hàm số lẻ.

b) y = f(x) = 3sin x – 2

Ta có: \(f\left( {{\pi \over 2}} \right) = 3\sin \frac{\pi }{2} - 2= 1\)

\( f\left( { - {\pi \over 2}} \right) = 3\sin (-\frac{\pi }{2}) - 2= - 5\)

\( f\left( { - {\pi \over 2}} \right) \ne - f\left( { - {\pi \over 2}} \right)\) và \(f\left( { - {\pi \over 2}} \right) \ne f\left( {{\pi \over 2}} \right)\) 

Nên hàm số y = 3sin x – 2 không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ.

c)  y = f(x) = sin x – cos x

Ta có:  \(f\left( {{\pi \over 4}} \right) = 0;f\left( { - {\pi \over 4}} \right) = - \sqrt 2\)

\( f\left( { - {\pi \over 4}} \right) \ne - f\left( {{\pi \over 4}} \right)\) và \(f\left( { - {\pi \over 4}} \right) \ne f\left( {{\pi \over 4}} \right)\) 

Nên y = sin x – cos x không phải là hàm số lẻ cũng không phải là hàm số chẵn.

d) \(y= f\left( x \right) = \sin x{\cos ^2}x + \tan x\)

Tập xác định \(D = \mathbb R \backslash \left\{{\pi \over 2} + k\pi,k \in \mathbb Z \right\}\)

\( ∀x \in D \) ta có \( – x \in D\)

\( \eqalign{ & f\left( { - x} \right) \cr&= \sin \left( { - x} \right){\cos ^2}\left( { - x} \right) + \tan \left( { - x} \right) \cr & = - \sin x{\cos ^2}x - \tan x\cr& = - \left( {\sin x{{\cos }^2}x + \tan x} \right) = - f\left( x \right) \cr}\)

Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) \( y = 2\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) + 3\)

b) \( y = \sqrt {1 - \sin \left( {{x^2}} \right)} - 1\)

c) \( y = 4\sin \sqrt x\)

Phương pháp giải:

a) Sử dụng lí thuyết \(- 1 \le \cos u \le 1\) với u là biểu thức của x.

b) c) Sử dụng lí thuyết \(- 1 \le \sin u \le 1\) với u là biểu thức của x.

Hướng dẫn giải:

a) \( y = 2\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) + 3\)

Ta có: \(-1 ≤ \cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) ≤ 1\)

\( \eqalign{ & \Rightarrow - 2 \le 2\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) \le 2\cr& \Rightarrow 1 \le 2\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) + 3 \le 5\cr& \Rightarrow 1 \le y \le 5 \cr &\text{ Vậy }\cr&\min \,y = 1\,khi\,x + {\pi \over 3} = \pi + k2\pi \,\cr&\text{ hay} \,x = {{2\pi } \over 3} + k2\pi \cr &\max \,y = 5\,khi\,x + {\pi \over 3} = k2\pi \cr&\text{ hay} \,x = - {\pi \over 3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb Z} \right) \cr} \)

b) \( y = \sqrt {1 - \sin \left( {{x^2}} \right)} - 1\)

ĐK: \(1 - \sin \left( {{x^2}} \right) \ge 0\)

Ta có:

\( - 1 \le \sin {x^2} \le 1\\ \Rightarrow 1 - \left( { - 1} \right) \ge 1 - \sin {x^2} \ge 1 - 1 \\ \Leftrightarrow 2 \ge 1 - \sin {x^2} \ge 0 \Rightarrow 0 \le 1 - \sin {x^2} \le 2 \\ \Rightarrow 0 \le \sqrt {1 - \sin {x^2}} \le \sqrt 2 \\ \Rightarrow 0- 1 \le \sqrt {1 - \sin {x^2}} - 1 \le \sqrt 2 - 1 \\ \Rightarrow - 1 \le y \le \sqrt 2 - 1\)

Vậy min y = - 1 khi \(\sin {x^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{\pi }{2} + k2\pi, \left( {k \ge 0,k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \max y = \sqrt 2 - 1\) khi \(\sin {x^2} = - 1 \Leftrightarrow {x^2} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi, \left( {k > 0,k \in \mathbb{Z}} \right)\)

c) \( y = 4\sin \sqrt x\)

Ta có:  \(- 1 \le \sin \sqrt x \le 1\)

\( \Rightarrow - 4 \le 4\sin \sqrt x \le 4 \\ ⇒ -4 ≤ y ≤ 4\)

Vậy min y = - 4 khi \(\sin \sqrt x = - 1 \Leftrightarrow \sqrt x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi, \left( {k \in \mathbb{Z},k > 0} \right)\)

 max y = 4 khi \(\sin \sqrt x = 1 \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{\pi }{2} + k2\pi, \left( {k \in \mathbb{Z},k \ge 0} \right)\)

Cho các hàm số f(x) = sin x, g(x) = cos x, h(x) = tan x và các khoảng \( {J_1} = \left( {\pi ;{{3\pi } \over 2}} \right)\); \({J_2} = \left( { - {\pi \over 4};{\pi \over 4}} \right)\); \({J_3} = \left( {{{31\pi } \over 4};{{33\pi } \over 4}} \right)\); \({J_4} = \left( { - {{452\pi } \over 3};{{601\pi } \over 4}} \right)\).

Hỏi hàm số nào trong ba hàm số trên đồng biến trên khoảng J₁? Trên khoảng J₂? Trên khoảng J₃? Trên khoảng J₄? (Trả lời bằng cách lập bảng).

Phương pháp giải:

Sử dụng lí thuyết:

- Hàm số y = sin x đồng biến trên \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)\)

- Hàm số y = cos x đồng biến trên \(\left( { - \pi + k2\pi ;k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)\)

- Hàm số y = tan x đồng biến trên \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right).\)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

+) \({J_1} = \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right) \subset \left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\)

⇒ Hàm số y = sin x nghịch biến trên J₁, hàm số y = tan x đồng biến trên J₁.

\( {J_1} = \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right) \subset \left( {\pi ;2\pi } \right)\)

⇒ Hàm số y = cos x đồng biến trên J₁.

+) \({J_2} = \left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right) \subset \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)

⇒ Hàm số y = sin x đồng biến trên J₂, hàm số y = tan x đồng biến trên J₂.

\( {J_2} = \left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right) = \left( { - \frac{\pi }{4};0} \right) \cup \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right)\)

Ta có: Hàm số y = cos x chỉ đồng biến trên \(\left( {\frac{\pi }{4};0} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\)

⇒ Hàm số y = cos x không đồng biến trên J₂

+) \({J_3} = \left( {\frac{{31\pi }}{4};\frac{{33\pi }}{4}} \right) = \left( {8\pi - \frac{\pi }{4};8\pi + \frac{\pi }{4}} \right)\)

⇒ Hàm số y = sin x và hàm số y = tan x đồng biến trên J₃, hàm số y = cos x không đồng biến trên J₃

+) \({J_4} = \left( { - \frac{{452\pi }}{3};\frac{{601\pi }}{4}} \right) = \left( { - 150\pi - \frac{{2\pi }}{3}; - 150\pi - \frac{\pi }{4}} \right)\)

⇒ Hàm số y = sin x, y = tan x không đồng biến trên J₄, hàm số y = cos x đồng biến trên J₄

Ta có bảng sau, trong đó dấu “ +” có nghĩa “đồng biến”, dấu “0” có nghĩa “không đồng biến” :

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai? Giải thích vì sao?

a) Trên mỗi khoảng mà hàm số y = sin x đồng biến thì hàm số y = cos x nghịch biến.

b) Trên mỗi khoảng mà hàm số \(y = \sin^2 x\) đồng biến thì hàm số \(y = \cos^2 x\) nghịch biến.

Phương pháp giải:

a) Xét tính đồng biến, nghịch biến của hai hàm số trên \(\left( { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right)\).

b) - Giả sử \(y = \sin^2 x\) đồng biến trên khoảng I.

- Chứng minh \(y = \cos^2 x\) nghịch biến trên khoảng I.

Hướng dẫn giải:

a) Sai vì trên khoảng \(\left( { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right)\) hàm số y = sin x đồng biến nhưng hàm số y = cos x không nghịch biến.

b) Đúng do  \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\)

Giả sử  đồng biến trên khoảng I, khi đó với \(x_1,x_2\in I \) và \(x_1<x_2 \) thì \( {\sin ^2}{x_1}< {\sin ^2}{x_2}\)

\( \Rightarrow 1 - {\sin ^2}{x_1} > 1 - {\sin ^2}{x_2}\)

\( \Rightarrow {\cos ^2}{x_1} > {\cos ^2}{x_2}\)

\( ⇒ y = \cos^2 x\) nghịch biến trên I.

Cho hàm số y = f(x) = 2sin 2x

a. Chứng minh rằng với số nguyên k tùy ý, luôn có f(x + kπ) = f(x) với mọi x.

b. Lập bảng biến thiên của hàm số y = 2sin 2x trên đoạn \( \left[ { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right].\)

c. Vẽ đồ thị của hàm số y = 2sin 2x.

Phương pháp giải:

a) Thay x = x + kπ vào f(x).

b) Vẽ bảng biến thiên của hàm số y = 2sin 2x trên đoạn \( \left[ { - {\pi \over 2};{\pi \over 2}} \right].\)

c) Vẽ đồ thị của hàm số y = 2sin 2x dựa trên bảng biến thiên ở câu b.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có

f(x + kπ) = 2sin 2(x + kπ)

 = 2sin (2x + k2π) = 2sin 2x = f(x), \( ∀ x \in\mathbb R\)

b) Bảng biến thiên:

c)Đồ thị:

Xét tính chẵn – lẻ của mỗi hàm số sau:

a. \( y = \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right)\)

b. \( y = \tan \left| x \right|\)

c. \( y = \tan x - \sin 2x.\)

Phương pháp giải:

a) Lấy ví dụ kiểm tra, thay \(x = \frac{\pi }{4};x = - \frac{\pi }{4}\) , kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm này và so sánh.

b) c) Xét tính chẵn - lẻ của hàm số y = f(x):

- Tìm TXĐ D

- Nếu D là tập đối xứng, f(-x) = f(x): Hàm số chẵn.

- Nếu D là tập đối xứng, f(-x) = -f(x): Hàm số lẻ

Hướng dẫn giải:

a) \( y =f(x)= \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right)\)

Ta có:

\( \eqalign{ & f\left( x \right) = \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right)\cr&f\left( {{\pi \over 4}} \right) = 1,f\left( { - {\pi \over 4}} \right) = 0 \cr & f\left( { - {\pi \over 4}} \right) \ne f\left( {{\pi \over 4}} \right)\cr& \text{và }f\left( { - {\pi \over 4}} \right) \ne - f\left( {{\pi \over 4}} \right) \cr}\)

Nên \(y = \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right)\) không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ.

b) \(y =f(x)= \tan \left| x \right|\)

Tập xác định \(D =\mathbb R \backslash \left\{ {{\pi \over 2} + k\pi,k \in \mathbb Z} \right\}\)

\( x \in D ⇒ -x \in D \) và \(f(-x) = \tan |-x| = \tan |x| = f(x)\)

Do đó y = tan |x| là hàm số chẵn.

c) y = f(x) = tan x - sin 2x.

Tập xác định \(D =\mathbb R \backslash \left\{ {{\pi \over 2} + k\pi,k \in\mathbb Z} \right\}\)

\( x \in D ⇒ -x \in D\)

\(f(-x) = \tan(-x) – \sin(-2x)\)

\( = -\tan x + \sin 2x = -(\tan x – \sin 2x) = -f(x)\)

Do đó y = tan x – sin 2x là hàm số lẻ.

Cho các hàm số sau:

a) \(y = - {\sin ^2}x\)

b) \(y = 3{\tan ^2}x + 1\)

c) \(y = \sin x\cos x\)

d) \(y = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x\)

Chứng minh rằng mỗi hàm số y = f(x) đó đều có tính chất: f(x + kπ) = f(x) với \(k \in\mathbb Z\), x thuộc tập xác định của hàm số f.

Phương pháp giải:

Tính f(x + kπ) và so sánh với f(x)

Hướng dẫn giải:

a) \(y = - {\sin ^2}x\)

Với \(k \in\mathbb Z\) ta có:

\( \begin{array}{l} f\left( x \right) = - {\sin ^2}x\\ = - \frac{{1 - \cos 2x}}{2} = \frac{{\cos 2x + 1}}{2}\\ \Rightarrow f\left( {x + k\pi } \right)\\ = \frac{{\cos \left[ {2\left( {x + k\pi } \right)} \right] + 1}}{2}\\ = \frac{{\cos \left( {2x + k2\pi } \right) + 1}}{2}\\ = \frac{{\cos 2x + 1}}{2}\\ = f\left( x \right) \end{array}\)

b) \(y = 3{\tan ^2}x + 1\)

Với \(k \in\mathbb Z\) ta có:

\( \eqalign{ & f\left( x \right) = 3{\tan ^2}x + 1 \cr & f\left( {x + k\pi } \right) = 3{\tan ^2}\left( {x + k\pi } \right) + 1 \cr&= 3{\tan ^2}x + 1 = f\left( x \right) \cr}\)

c) \( y = \sin x\cos x\)

Với \(k \in\mathbb Z\) ta có:

\( \eqalign{ & f\left( {x + k\pi } \right) = \sin \left( {x + k\pi } \right).\cos \left( {x + k\pi } \right) \cr&= {\left( { - 1} \right)^k}\sin x.{\left( { - 1} \right)^k}\cos x \cr & = {\left( { - 1} \right)^{2k}}\sin x\cos x\cr&= \sin x\cos x = f\left( x \right) \cr}\)

d) \(y = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x\)

Với \(k \in\mathbb Z\) ta có:

\( \eqalign{ & f\left( x \right) = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x \cr & f\left( {x + k\pi } \right) \cr&= \sin \left( {x + k\pi } \right)\cos \left( {x + k\pi } \right) \cr&+ {{\sqrt 3 } \over 2}\cos \left( {2x + k2\pi } \right) \cr & = {\left( { - 1} \right)^k}\sin x{\left( { - 1} \right)^k}\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x \cr&= \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x = f\left( x \right) \cr}\)

Cho hàm số \(y = f(x) = A\sin(ωx + \alpha)\) (A, ω và \(\alpha \) là những hằng số; A và ω khác 0). Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k, ta có \( f\left( {x + k.{{2\pi } \over \omega }} \right) = f\left( x \right)\) với mọi x. 

Phương pháp giải:

Tính \( f\left( {x + k.{{2\pi } \over \omega }} \right) \) và so sánh với f(x)

Hướng dẫn giải:

Với \(k \in \mathbb Z\) ta có :

\( \eqalign{ & f\left( {x + k.{{2\pi } \over \omega }} \right) \cr&= A\sin \left[ {\omega \left( {x + k{{2\pi } \over \omega }} \right) + \alpha } \right] \cr & = A\sin \left( {\omega x + \alpha + k2\pi } \right) \cr&= A\sin \left( {\omega x + \alpha } \right) \cr&= f\left( x \right) \cr}\)

Chứng minh rằng mọi giao điểm của đường thẳng xác định bởi phương trình \(y = {x \over 3}\) với đồ thị của hàm số y = sin x đều cách gốc tọa độ một khoảng nhỏ hơn \( \sqrt {10}\)

Phương pháp giải:

Lấy hai điểm thuộc đường thẳng \(y = {x \over 3}\).

Sử sụng bất đẳng thức tam giác suy ra điều phải chứng minh.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng \(y = {x \over 3}\) đi qua các điểm E(-3 ; -1) và F(3 ; 1)

Chỉ có đoạn thẳng EF của đường thẳng đó nằm trong dải \(\left\{ {\left( {x{\rm{ }};{\rm{ }}y} \right)| - 1{\rm{ }} \le {\rm{ }}y{\rm{ }} \le {\rm{ }}1} \right\}\) (dải này chứa đồ thị của hàm số y = sin x ).

Vậy các giao điểm của đường thẳng \(y = {x \over 3}\) với đồ thị của hàm số y = sin x phải thuộc đoạn EF.

Mọi điểm của đoạn thẳng này cách O một khoảng không dài hơn \(OE=OF=\sqrt {3^2 + 1^2} = \sqrt {10}\)

Rõ ràng E, F không thuộc đồ thị của hàm số y = sin x nên khoảng cách từ các giao điểm đến O nhỏ hơn \(\sqrt {10}.\)

Từ đồ thị của hàm số y = sin x, hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau và vẽ đồ thị của các hàm số đó:

a. y = - sin x

b. y = |sin x|

c. y = sin|x|

Phương pháp giải:

a) Đồ thị của hàm số y = -sin x là hình đối xứng qua trục hoành của đồ thị hàm số y = sin x

b) Sử dụng công thức: \(\left| {\sin x} \right| = \left\{ {\matrix{{\sin x\,\text{ nếu }\,\sin x \ge 0} \cr { - \sin x\,\text{ nếu }\,\sin x < 0} \cr} } \right.\)

⇒ Đồ thị của hàm số y = |sin x|.

c) Sử dụng công thức \(\sin \left| x \right| = \left\{ {\matrix{{\sin x\,\text{ nếu }\,x \ge 0} \cr { - \sin x\,\text{ nếu }\,x < 0} \cr} } \right.\)

⇒ Đồ thị của hàm số y = sin |x|.

Hướng dẫn giải:

a) y = - sin x

Đồ thị của hàm số y = -sin x là hình đối xứng qua trục hoành của đồ thị hàm số y = sin x

b) y = |sin x|

Ta có: 

\(\left| {\sin x} \right| = \left\{ {\matrix{{\sin x\,\text{ nếu }\,\sin x \ge 0} \cr { - \sin x\,\text{ nếu }\,\sin x < 0} \cr} } \right.\)

Do đó đồ thị của hàm số y = |sin x| có được từ đồ thị (C) của hàm số y = sin x bằng cách:

- Giữ nguyên phần đồ thị của (C) nằm trong nửa mặt phẳng y ≥ 0 (tức nửa mặt phẳng bên trên trục hoành kể cả bờ Ox ).

- Lấy hình đối xứng qua trục hoành của phần đồ thị (C) nằm trong nửa mặt phẳng y < 0 (tức là nửa mặt phẳng bên dưới trục hoành không kể bờ Ox );

- Xóa phần đồ thị của (C) nằm trong nửa mặt phẳng y < 0.

- Đồ thị y = |\sin x| là đường liền nét trong hình dưới đây:

c) y = sin|x|

Ta có:

\(\sin \left| x \right| = \left\{ {\matrix{{\sin x\,\text{ nếu }\,x \ge 0} \cr { - \sin x\,\text{ nếu }\,x < 0} \cr} } \right.\)

Do đó đồ thị của hàm số y = sin|x| có được từ đồ thị (C) của hàm số y = sin x bằng cách:

- Giữ nguyên phần đồ thị của (C) nằm trong nửa mặt phẳng x ≥ 0 (tức nửa mặt phẳng bên phải trục tung kể cả bờ Oy ).

- Xóa phần đồ thị của (C) nằm trong nửa mặt phẳng x < 0 (tức nửa mặt phẳng bên trái trục tung không kể bờ Oy ).

- Lấy hình đối xứng qua trục tung của phần đồ thị (C) nằm trong nửa mặt phẳng x > 0

- Đồ thị y = sin|x| là đường nét liền trong hình dưới đây: 

a) Từ đồ thị của hàm số y = cos x, hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau và vẽ đồ thị của các hàm số đó:

 y = cos x + 2

\( y = \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right)\)

b) Hỏi mỗi hàm số đó có phải là hàm số tuần hoàn không ?

Phương pháp giải:

a) Sử dụng lý thuyết tịnh tiến đồ thị:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Khi đó:

+) Hàm số y = f(x) + p có được do tịnh tiến (C) lên trên p đơn vị (p > 0).

+) Hàm số y = f(x - q) có được do tịnh tiến (C) sang phải q đơn vị (q > 0).

b) Tính f(x + 2π) và so sánh với f(x)

- Nếu f(x + 2π) = f(x) thì hàm số tuần hoàn.

- Nếu f(x + 2π) \(\ne\) f(x) thì hàm số không tuần hoàn.

Hướng dẫn giải:

a) Đồ thị của hàm số y = cos x + 2 có được do tịnh tiến đồ thị của hàm số y = cos x lên trên một đoạn có độ dài bằng 2.

Đồ thị của hàm số \(y = \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right)\) có được do tịnh tiến đồ thị của hàm số y = cosx sang phải một đoạn có độ dài \({\pi \over 4}\)

b) Các hàm số trên đều là hàm tuần hoàn vì:

Nếu f(x) = cos x + 2 thì f(x + 2π) = cos(x + 2π) + 2 = cos x + 2 = f(x), \(∀x \in\mathbb R\)

Và nếu \(g(x) = \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right)\) thì:

\( g(x + 2π) = \cos \left( {x + 2\pi - {\pi \over 4}} \right) \\ =\cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = g\left( x \right), ∀x \in\mathbb R\)

Xét hàm số \( y = f\left( x \right) = \cos {x \over 2}\)

a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k, f(x + k4π) = f(x) với mọi x.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = \cos {x \over 2}\) trên đoạn [-2π ; 2π].

c) Vẽ đồ thị của các hàm số y = cos x và \(y = \cos {x \over 2}\) trong cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. 

d) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình F biến mỗi điểm (x ; y) thành điểm (x'; y') sao cho x'= 2x và y'= y. Chứng minh rằng F biến đồ thị của hàm số y = cos x thành đồ thị của hàm số \( y = \cos {x \over 2}.\)

Phương pháp giải:

a) Tính f(x + k4π) và so sánh với f(x).

b) Vẽ bảng biến thiên của hàm số \(y = \cos {x \over 2}\) trên đoạn [-2π ; 2π].

c) Dựa vào bảng biến thiên ở câu b, vẽ đồ thị hàm số \(y = \cos {x \over 2}\).

d) Tính x, y theo x', y' và thế vào y = cos x.

Hướng dẫn giải:

a) \(f\left( {x + k4\pi } \right) = \cos \frac{{x + k4\pi }}{2}\)

\( = \cos \left( {{x \over 2} + k2\pi } \right) = \cos {x \over 2} = f\left( x \right)\)

b) Bảng biến thiên:

c) Đồ thị của các hàm số y = cos x và \(y = \cos {x \over 2}\) trong cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. 

d) Ta có:

\( \left\{ \begin{array}{l} x' = 2x\\ y' = y \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{x'}}{2}\\ y =y' \end{array} \right.\)

Do đó \(y = \cos x \Leftrightarrow y' = \cos {{x'} \over 2}.\)

Do đó phép biến đổi xác định bởi (x ; y) ↦ (x' ; y') sao cho x' = 2x, y'= y biến đồ thị hàm số y = cos x thành đồ thị hàm số \( y = \cos {x \over 2}.\)