Giải bài tập SGK Toán 11 Nâng cao Chương 4 Bài 1: Dãy số có giới hạn 0

Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0:

a) ${{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n + 5}}$

b) ${{\sin n} \over {n + 5}}$

c) ${{\cos 2n} \over {\sqrt n + 1}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý:

Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right).$

Nếu $\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}$ với mọi n và $\lim {v_n} = 0$ thì $\lim {u_n} = 0$.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\left| {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n + 5}}} \right| = {1 \over {n + 5}} < {1 \over n} \\ \lim {1 \over n} = 0 \\ \Rightarrow \lim {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n + 5}} = 0$

b) $\left| {{{\sin n} \over {n + 5}}} \right| \le {1 \over {n + 5}} < {1 \over n}$

$\lim {1 \over n} = 0$ 

$\Rightarrow \lim {{\sin n} \over {n + 5}} = 0$

c) $\left| {{{\cos 2n} \over {\sqrt n + 1}}} \right| \le {1 \over {\sqrt n + 1}} < {1 \over {\sqrt n }}$

$\lim{1 \over {\sqrt n }} = 0$

$\Rightarrow \lim {{\cos 2n} \over {\sqrt n + 1}} = 0$

Chứng minh rằng hai dãy số (u_n) và (v_n) với ${u_n} = {1 \over {n\left( {n + 1} \right)}},\,{v_n} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}\cos n} \over {{n^2} + 1}}$ có giới hạn 0.

Phương pháp giải:

Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right).$

Nếu $\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}$ với mọi n và $\lim {v_n} = 0$ thì $\lim {u_n} = 0$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\eqalign{ & \left| {{u_n}} \right| = {1 \over {n\left( {n + 1} \right)}} < {1 \over n}\cr &\,\lim {1 \over n} = 0 \\& \Rightarrow \lim {u_n} = 0 \cr & \left| {{v_n}} \right| = \left| {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}\cos n} \over {{n^2} + 1}}} \right| \cr &= {{\left| {\cos n} \right|} \over {{n^2} + 1}} \le {1 \over {{n^2} + 1}} < {1 \over {{n^2}}}\cr &\lim {1 \over {{n^2}}} = 0 \cr & \Rightarrow \lim {v_n} = 0 \cr}$

Chứng minh rằng các dãy số (un) sau đây có giới hạn 0:

a) ${u_n} = {\left( {0,99} \right)^n}$

b) ${u_n} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{2^n} + 1}}$

c) ${u_n} = - {{\sin {{n\pi } \over 5}} \over {{{\left( {1,01} \right)}^n}}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lý:

+) Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right).$

Nếu $\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}$ với mọi n và $\lim {v_n} = 0$ thì $\lim {u_n} = 0$.

+) Nếu $\left| q \right| < 1$ thì $\lim {q^n} = 0$.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\left| {0,99} \right| < 1$

Nên $\lim {u_n} = \lim {\left( {0,99} \right)^n} = 0$

b) 

$\eqalign{ & \left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{2^n} + 1}}} \right| = {1 \over {{2^n} + 1}}\cr & <\frac{1}{{{2^n}}} = {\left( {{1 \over 2}} \right)^n}\cr &\lim {\left( {{1 \over 2}} \right)^n} = 0 \cr & \Rightarrow \lim {u_n} = 0 \cr}$

c) $\left| {{u_n}} \right| = {{\left| {\sin {{n\pi } \over 5}} \right|} \over {{{\left( {1,01} \right)}^n}}} \le \frac{1}{{1,{{01}^n}}} = {\left( {{1 \over {1,01}}} \right)^n}$

$\lim {\left( {{1 \over {1,01}}} \right)^n} = 0$

$\Rightarrow \lim {u_n} = 0$

Cho dãy số (un) với ${u_n} = {n \over {{3^n}}}$

a) Chứng minh rằng ${{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} \le {2 \over 3}$ với mọi n.

b) Bằng phương pháp qui nạp, chứng minh rằng $0 < {u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}$ với mọi n.

c) Chứng minh dãy số (u_n) có giới hạn 0.

Phương pháp giải:

a) Tính u_n, u_{n + 1}, ${{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}}$ và suy ra đpcm.

b) Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi n ≥ 1, ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi n = 1 .

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n = k (k ≥ 1) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

c) Sử dụng các định lý:

+) Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)$

Nếu $\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}$ với mọi n và $\lim {v_n} = 0$ thì $\lim {u_n} = 0$.

+) Nếu $\left| q \right| < 1$ thì $\lim {q^n} = 0$.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\eqalign{ & {{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{n + 1} \over {{3^{n + 1}}}}:{n \over {{3^n}}} = \frac{{n + 1}}{{{{3.3}^n}}}.\frac{{{3^n}}}{n}\cr &= {1 \over 3}.{{n + 1} \over n} = {1 \over 3}\left( {1 + {1 \over n}} \right) \cr & \le {1 \over 3}(1+1)={2 \over 3},\forall n \ge 1. \cr}$

(Vì $\forall n \ge 1 \Rightarrow \dfrac{1}{n} \le 1$)

b) Rõ ràng u_n> 0, ∀n ≥ 1.

Ta chứng minh ${u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}\,\,\,\,\left( 1 \right)$

+) Với n = 1 ta có ${u_1} = {1 \over 3} \le {2 \over 3}$

Vậy (1) đúng với n = 1

+) Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có:

${u_k} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^k}$

Khi đó $\frac{{{u_{k + 1}}}}{{{u_k}}} \le \frac{2}{3} \Leftrightarrow {u_{k + 1}} \le {2 \over 3}{u_k}$ (theo câu a)

$\Rightarrow {u_{k + 1}} \le {2 \over 3}.{\left( {{2 \over 3}} \right)^k} = {\left( {{2 \over 3}} \right)^{k + 1}}$

Vậy (1) đúng với n = k + 1 nên (1) đúng với mọi n.

c) Ta có:

$0 < {u_n} \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n} \Rightarrow \left| {{u_n}} \right| \le {\left( {{2 \over 3}} \right)^n}$

Mà

$\lim {\left( {{2 \over 3}} \right)^n} = 0$ $\Rightarrow \lim \left| {{u_n}} \right| = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0$